四、多自由度體系的振動多自由度無阻尼自由振動振型的正交性多自由度的受迫振動桿系結(jié)構(gòu)有限元動力分析多自由度時程分析方法結(jié)論與討論雖然很多工程問題可以化為單自由度問題計算，但為了有足夠的分析精度，一些問題也必須作多自由度進行分析。在等效粘滯阻尼理論下，第二章討論了兩和多自由度體系的運動方程，理論上阻尼矩陣[C]=[Cij]，Cij表示j自由度單位速度引起的i自由度方向的阻尼力。但實際上Cij一般是確定不了的。目前多自由度問題分析先求無阻尼自由振動確定頻率、振型等動力特性，然后利用振型的正交性，在假定阻尼矩陣也正交條件下，將多自由度分析通過振型分解化為單自由度問題的組合來解決。再一次體現(xiàn)了，化未知問題為已知問題的研究方法和思想。對復(fù)雜荷載情況（象地震地面運動等離散荷載）要用時程分析方法或隨機振動理論來解決（第六章）。因此，首先介紹無阻尼自由振動。4.1多自由度無阻尼自由振動多自由度運動方程為無阻尼自由振動運動方程為設(shè)其解為{A}sint，代入運動方程可得(-2[M]+[K]){A}sint={0}為使系統(tǒng)有非零的振動解答，必須│-2[M]+[K]│=0（1）或者(-2[M]+[K]){A}={0}（2）上述兩式分別稱為頻率和特征方程。由式（1）展開可得雙n次方程，對一般建筑工程結(jié)構(gòu)，求解可得到n個實的不等的正根，它們即為系統(tǒng)的頻率。但一般更多是從式（2）出發(fā)。4.1多自由度無阻尼自由振動式（2）可改寫為

2[M]{A}=[K]{A}（3）數(shù)學(xué)上稱作廣義特征值問題。為了將其化為標(biāo)準(zhǔn)實對稱矩陣特征值問題，需作如下改造：設(shè)[M]=([M]1/2)T[M]1/2（4）[M]1/2{A}={X}則{A}=([M]1/2)-1{X}（5）代回式（3）得2([M]1/2)T{X}=[K]([M]1/2)-1{X}（6）方程兩邊再左乘[([M]1/2)T]-1，則2{X}=[([M]1/2)-1]T[K]([M]1/2)-1{X}（7）記[([M]1/2)-1]T[K]([M]1/2)-1=[D]

（8）由于[K]是對稱矩陣，從式（8）可見[D]是對稱矩陣。將式（8）代入式（7）可得2{X}=[D]{X}（9）4.1多自由度無阻尼自由振動式2{X}=[D]{X}（9）就是實對稱矩陣標(biāo)準(zhǔn)特征值問題的方程，利用線性代數(shù)所介紹的特征值問題解法就可求得[D]矩陣的特征對[2，{X}]，再由式（5）可求得廣義特征問題的振型矩陣{A}。由數(shù)學(xué)可知，對建筑工程一般問題，從n階的特征方程（3）可求得n個特征對，也即有n個頻率i以及和i對應(yīng)的振型{A}i。按i從小到大排列可得結(jié)構(gòu)的頻譜，1和{A}1分別稱為第一頻率（基本頻率或基頻）、第一振型。其他依次稱第二、第三等等頻率、振型。有了任意n自由度問題自由振動解法、結(jié)論，兩自由度問題可以作為它的特例，按上述解法、思路進行分析。4.1多自由度無阻尼自由振動對兩自由度問題來說，根據(jù)具體問題運動方程可以用剛度法建立，也可以用柔度法建立。因此，教材上分別基于剛度法和柔度法進行了具體討論，給出了頻率、振型和剛度系數(shù)、質(zhì)量的關(guān)系以及和柔度系數(shù)、質(zhì)量的關(guān)系。這些公式能記住更好，但我認(rèn)為不記也沒關(guān)系，關(guān)鍵是記住如下一些基本概念。1）在無阻尼自由振動下-[M]{ü}=[K]{u}，也即慣性力和彈性恢復(fù)力平衡，且它們同相位。因此如果設(shè)振幅為{A}，式（3）也可通過列慣性力、恢復(fù)力的幅值方程得到。2）當(dāng)基于柔度法時，位移由慣性力引起，柔度法特征方程同上理由（同相位），也可直接列幅值方程建立{A}=2[f][M]{A}（10）3）拿上具體問題后，關(guān)鍵是正確確定[M]、[K]或[f]，有了它們不管什麼結(jié)構(gòu)，由統(tǒng)一格式可寫出式（3）或式（10）。4.1多自由度無阻尼自由振動4）兩自由度問題n=2。展開特征方程將得到雙二次頻率方程，根據(jù)具體的剛、柔度系數(shù)和質(zhì)量，解此頻率方程即可得頻率1和2。5）將頻率1和2代回特征方程只能得到和某頻率對應(yīng)的位移比值（齊次方程只能得到比值），對它可以進行“規(guī)格化”,一般使最大值等于1，即可得振型。6）自由振動的通解可由各頻率的簡諧振動解答疊加得到，振幅、相位由質(zhì)量的初位移、初速度（n個自由度有2n個初始條件）來確定。綜上可見，有了[M]、[K]或[f]，剩余工作主要是數(shù)學(xué)運算了。但要達到熟練掌握，必須到SMCAI里多看一些例子、多做一些練習(xí)。限于學(xué)時這里不舉例了。4.2振型的正交性因為i2[M]{A}i=[K]{A}i、j2[M]{A}j=[K]{A}j前一式左乘{A}jT、后一式左乘{A}iT，再將兩式相減，由于質(zhì)量、剛度的對稱性，可得(i2-j2){A}jT[M]{A}i=0(11)由此可得{A}jT[M]{A}i=0(12)上式乘j2，考慮到j(luò)2[M]{A}j物理意義是第j振型對應(yīng)的慣性力幅值，因此式（12）表明第j振型對應(yīng)的慣性力在第i振型位移上不做功。從式（12）和特征方程立即可證{A}jT[K]{A}i=0(13)它表明第j振型對應(yīng)的彈性恢復(fù)力在第i振型位移上不做功。4.2振型的正交性式(12)和式(13)從數(shù)學(xué)上說，是不同振型對質(zhì)量、剛度加權(quán)正交。也即振型具有正交性。從第i振型幅值方程，立即可得i2{A}iT[M]{A}i={A}iT[K]{A}i(14)記Mi*={A}iT[M]{A}i(15)稱作第i振型廣義質(zhì)量，記Ki*={A}iT[K]{A}i(16)稱作第i振型廣義剛度。則i2=Ki*/Mi*(17)也即第i頻率的平方可象單自由度一樣，由廣義剛度和質(zhì)量來求。式(12)和(13)是最基本、最常用的正交關(guān)系。4.2振型的正交性因為i2[M]{A}i=[K]{A}i(a)兩邊同時左乘{A}jT[K][M]-1，則i2{A}jT[K][M]-1[M]{A}i==i2{A}jT[K]{A}i=i2{A}jT[K][M]-1[K]{A}i=0

(b)式(a)兩邊同時左乘{A}jT[K][M]-1[K][M]-1，則可證i2{A}jT[K][M]-1[K]{A}i=i2{A}jT[K]([M]-1[K])2{A}i=0(c)按此思路繼續(xù)左乘,即可證明{A}jT[K]([M]-1[K])n{A}i=0(18)類似地，請自行證明{A}jT[M]([K]-1[M])n{A}i=0(19)式(18)和式(19)中n是正整數(shù)。它們還可合并為一個式子，請大家思考如何合并？這是更一般的正交關(guān)系。4.2振型的正交性

式(12)和(13)[或式(18)和(19)]正交性在多自由度分析中有極重要的作用，應(yīng)該深刻理解。利用正交性可作如下工作：1）在正確確定[K]、[M]前提下，可用它校核振型計算的正確性。2）已知振型、[K]、[M]的條件下，可用它求振型對應(yīng)的頻率。3）可用正交性將任意位移分解成振型的組合。例如有位移{y}，可設(shè){y}=ci{A}i，ci為組合系數(shù)。等式兩邊同時左乘{A}jT[M]，根據(jù)正交性則有{A}jT[M]{y}=cjMj*(d)由此可求出組合系數(shù)cj，代回{y}=ci{A}i即可得按振型分解的結(jié)果。4.2振型的正交性4）可將多自由度問題化成單自由度問題來解決。實際上，只要設(shè){u(t)}=yi(t){A}i，代入運動方程可得[M]?i(t){A}i+[K]yi(t){A}i={0}(e)方程兩邊同時左乘{A}jT，根據(jù)正交性則有Mj*?j(t)+Kj*yi(t)=0(20)從式(20)可得(根據(jù)單自由度自由振動結(jié)果)yi(t)=aisin(it+ci)(f)代回多自由度所假設(shè)的解，即可得{u(t)}=aisin(it+ci){A}i(21)5）式(21)中的待定常數(shù)ai、ci可由初始條件確定。如何確定請自行考慮。6）正交性還是受迫振動分析的基礎(chǔ)。4.3多自由度的受迫振動4.3.1多自由度受迫振動的振型分解法多自由度任意荷載下運動方程為象上節(jié)4）一樣，設(shè){u}=yi(t){A}i，也即位移分解成各振型的組合，組合系數(shù)yi(t)稱廣義坐標(biāo)。則[M]?i(t){A}i+[C]yi(t){A}i+[K]yi(t){A}i={P(t)}(a)如果阻尼矩陣對振型不正交，也即{A}jT[C]{A}i0(b)則式(a)將是聯(lián)列的微分方程組，求解將是很困難的。為此，通常引入正交阻尼假設(shè)，也稱Rayleigh(瑞利)比例阻尼如下[C]=0[M]+1[K](22)也即認(rèn)為阻尼和系統(tǒng)質(zhì)量、剛度成正比，0比1可用振型正交性由阻尼比i，j和頻率i，j確定(作業(yè))。4.3多自由度的受迫振動在正交阻尼假設(shè)下，{A}iT[C]{A}i=Ci*(23)式(a)兩邊同時左乘{A}iT，則可得Mi*?i(t)+Ci*yi(t)+Ki*yi(t)={A}iT{P(t)}(24)其中Mi*、Ci*、Ki*分別稱為第i振型廣義質(zhì)量、廣義阻尼、廣義剛度。再記第i振型廣義荷載為{A}iT[P(t)]=Pi*(t)(25)則式(24)是廣義坐標(biāo)yi(t)的單自由度方程Mi*?i(t)+Ci*yi(t)+Ki*yi(t)=Pi*(t)(26)利用Duhamel積分可求出式(26)的解答為代回{u}=yi(t){A}i，即可得多自由度受迫振動解答。脈響函數(shù)自由振動4.3多自由度的受迫振動如果[P(t)]=[P]f(t)(27)則Pi*(t)={A}iT[P]f(t)=Pi*f(t)(c)記i

={A}iT[P]/Mi*=Pi*/Mi*(28)稱為第i振型的振型參與系數(shù)。則可得Mi*?i(t)+Ci*yi(t)+Ki*yi(t)=iMi*f(t)(29)或?i(t)+2iiyi(t)+i2yi(t)=if(t)(30)在零初始條件下，廣義坐標(biāo)為代回{u}=yi(t){A}i，即可得{u}=ii(t){A}i。i(t)稱為第i振型的廣義位移。(31)(32)4.3多自由度的受迫振動4.3.2簡諧荷載下的受迫振動反應(yīng)設(shè)動荷載（轉(zhuǎn)動機器引起）為{P(t)}={P}sint(33)則由式(28)可求得各振型的振型參與系數(shù)i，當(dāng)只討論穩(wěn)態(tài)振動，并且認(rèn)為i=i,d(忽略阻尼對頻率的影響)時，根據(jù)單自由度所得結(jié)果，廣義位移為i(t)=isin(it-i)/i2(34)式(34)中i為第i振型動力系數(shù)i=[(1-i2)2+4i2i2]-1/2(35)其中i為第i振型頻率比(i=/i)，i為第i振型相位角tgi=2i/i(1-i2)

(36)將式(34)代回{u}=ii(t){A}i，得{u(t)}=[iisin(it-i)/i2]{A}i(37)無阻尼情況自然可以當(dāng)作有阻尼情況的特例，在上述結(jié)果中令i=0得到。4.3多自由度的受迫振動4.3.3簡諧荷載受迫振動反應(yīng)分析步驟當(dāng)動荷載為{P}sint[或{P}cost]時，多自由度系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)反應(yīng)分析，可按如下步驟進行1）確定系統(tǒng)質(zhì)量[M]、剛度[K]（或柔度[f]）矩陣。2）求無阻尼自由振動的振型{A}i、頻率i。3）用阻尼比1,2和頻率1,2求瑞利阻尼的0和1。4）求i振型振型參與系數(shù)i={A}iT[P]/{A}iT[M]{A}i。5）求i振型阻尼比i=1/2(0/i+1i)6）求i振型動力系數(shù)i=[(1-i2)2+4i2i2]-1/2

。7）求i振型相位角i=arctg[2i/i(1-i2)]。8）求i振型廣義位移i(t)=isin(it-i)/i2。9）將各振型廣義位移代回{u}=ii(t){A}i，則得最終結(jié)果{u(t)}=[iisin(it-i)/i2]{A}i(37)4.4桿系結(jié)構(gòu)有限元動力分析4.4.1基本原理對動力問題，設(shè)單元位移場仍表示成[d]=[N][d]e，只是現(xiàn)在[d]=[d(x,t)]，[d]e=[d(t)]。設(shè)桿單元的密度為，將微段慣性力-[a]Adx作為體積力，則這一單元荷載的總虛功為(38)引入單元一致質(zhì)量矩陣[m]e(39)4.4桿系結(jié)構(gòu)有限元動力分析由式(39)代入形函數(shù)并積分，對質(zhì)量均勻分布的平面彎曲單元，其單元一致質(zhì)量矩陣[m]e為(40)

作業(yè)：試求拉壓桿單元的一致質(zhì)量矩陣[k]。4.4桿系結(jié)構(gòu)有限元動力分析當(dāng)在無阻尼情況下，用虛位移原理進行單元分析可得單元剛度方程（注意：現(xiàn)在的分析是對單元局部坐標(biāo)系的）由此“單元剛度方程”出發(fā)，經(jīng)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換、整體集裝（定位向量“對號入座”）后，可得有限元所建立的運動方程(41)(42)如果要考慮阻尼，則可利用瑞利阻尼，由結(jié)構(gòu)一致質(zhì)量矩陣[M]和結(jié)構(gòu)剛度矩陣[K]來建立結(jié)構(gòu)阻尼矩陣[C]。4.小4桿系倒結(jié)構(gòu)澆有限街元動浙力分峰析4.4邁.2幾點說恩明1）以準(zhǔn)單元盒上無狀荷載想作用健，僅們產(chǎn)生音單位察位移瞇的形歲函數(shù)迫作為貓單元廟位移解場，亂這是踏常用友的一餅種近王似處辭理。2）結(jié)鮮構(gòu)一弦致質(zhì)腸量矩踢陣和籍結(jié)構(gòu)飼剛度稍矩陣稻非零訓(xùn)元素幟分布櫻一樣務(wù)。3）Clo百ugh教授曾欲經(jīng)指出均，對于宴框架結(jié)洋構(gòu)，將路桿件一喊半質(zhì)量償集中在披桿端，雜用集中挎質(zhì)量法胳計算不裂僅在處束理后可傻減少未雪知數(shù)個宜數(shù)（自抖由度）虧，而且崗?fù)V度更好亞。4）兄當(dāng)采壘用集母中質(zhì)原量法推時，臘[M]中相應(yīng)梨轉(zhuǎn)動自飯由度的禽對角線旨元素（瓣轉(zhuǎn)動慣盯量）為豆零，假壇設(shè)位移稻編碼將羊轉(zhuǎn)動自釋由度集壇中在最篇后編，胃則無阻最尼運動障方程分眼塊形式婚為[M1][ü]+凳[K11][u]+肯[K12][]=[R1][K21][u]+慚[K22][]=職[R2]由此消攻去[]，可步得只有享線位移偽自由度許的方程庭。4.4桿系勒結(jié)構(gòu)內(nèi)有限沉元動反力分移析4.4蜜.2幾點說壓明5）如叉果分網(wǎng)析時憑用集悄中質(zhì)胖量法勺且不典考慮爪軸向塊變形自，則次集裝坑后最肥終質(zhì)恒量矩宴陣是胸每層洋質(zhì)量眼對角訓(xùn)排列診的形界式。扮這是序目前嬌桿系鍋模型狗的常逝用計詞算方率案。6）對最于上嫁述桿評系模萬型的栗計算凝程序料，質(zhì)掏量矩名陣很爹簡單肝。但袍是集炒裝形福成剛間度矩要陣時諒，要做4）中絨所述披的“含靜力把縮聚屋”。當(dāng)[R2]=[蹦0]時，法[K1]=[K11]-[K12][K22]-1[K21]，運動嶄方程寒為傾[M1][ü]+典[K1][u]=榴[R1]哲(糖43)自由度散數(shù)等于售框架的晝層數(shù)。7）本鑒節(jié)基卸本原丑理是能對桿嶺系結(jié)祥構(gòu)進忙行說乎明的貍，象核計算求結(jié)構(gòu)墓力學(xué)咐力里緊一樣綠，思盈路、勉方法卵也可訴用于軍其他每位移址有限刺元動考力分竊析。8）程汽序Vi嚴(yán)br絹a可用來短計算桿脅系結(jié)構(gòu)壩的自振簽特性等療等，請頁大家使俯用。4.垂5多自由招度時程犬分析方節(jié)法4.5賄.1多自壟由度旗的線脫加速謝度法在3.梨3節(jié)介紹龜了單自趁由度線社加速度源法，從屠運動方玩程的相垃似性mü嚴(yán)+c戚ú+均ku=P(t)[M]{ü}+羞[C]{ú}+[K]{u}=鄭{P(t)}顯然華在[0囑,t]時間間毀隔內(nèi)假叨設(shè)加速休度線性具變化,則將3.部3節(jié)m,c,k,P換成[M]、[C]、[K]、{P(t)}，即可得此到多自奇由度線羅加速度洋法的等臟效剛度宅和等效功荷載。數(shù)值闊積分酷能做編線性陸、非勵線性籃時程罪分析禿，對武非正坦交阻肌尼矩沸陣也附能求遷解。呆重要鐘、高譜層結(jié)齒構(gòu)要早用時攔程分更析。4.5榴.2多自由板度的Wi臥ls喂on便-法線加速企度法要培求t小于葉系統(tǒng)吳最短抹周期每的1/告10，當(dāng)自色由度很銹多時頻誘率將很覆高周期繞很短，額這一要鼠求使計懇算很費軟時間。稼而且進潤一步數(shù)勞學(xué)分析應(yīng)表明它伶是條件天穩(wěn)定的可。4.5多自由蹤蝶度時程察分析方即法Wi租ls偉on提出顆，假蹄設(shè)[0,t]加速樸度線剩性變浴化,仿線崖加速此度法繡進行鳳推導(dǎo),可得[K]*=a0[M]+a1[C]+僻[K]斬(4桃4){P(t+守t)}*={P(t)}廈+({P(t+撓t)}-消{P(t)}偵)++[M](a0{u(t)}矮+a2{ú(t)}玻+2娘{ü(t)}鋸)++[C](a1{u(t)}+頭2{ú(t)}+a3{ü(t)})飲(45棕)[K]*{u(t+拖其t)}餅={P(t+修四t)}*(4裙6)由式(46爪)可解咽出{u(t+缺擠t)}，進一步?jīng)Q可以求鈴的t+只t時刻的課狀態(tài)向舌量。4.彼5.粘3唱Wi蹤蝶ls富on符-法的步仿驟1）形采成系匙統(tǒng)[M]、[C]、[K]；2）確定初脊始狀態(tài)報向量{u(0)漂}、{ú(0)判}、{ü(0外)}；3）確定(一般是為1.促4)和t;按以下反公式計旺算常數(shù)4.互5多自扣由度械時程壘分析捎方法a0=6/叉(其t)2;a1=3鞋/(t);a2=2a1;a3=t杠/2;a4=a0/;a5=-a2/;a6=1舍-3間/;a7=t源/2;a8=t2/6籌(妄47愛)4）按式(44后)計算常等效領(lǐng)剛度傭；5）對等退效剛度忘進行LD俯LT分解，驕獲得D和L；6）按式(4良5)計算等挨效荷載宗；7）用訂線性升方程啦組的LD蛋LT法解{u(t+囑t)}；8）按以勢下公每式計饒算t+鼻t時刻的賀狀態(tài)向督量{ü(t+撫t(yī))}漠=a4({u(t+葡t)}-勁{u(t)}他)+a5{ú(t)}棗+a6{ü(t)}{ú(t+思t)}=泳{ú(t)}+a7({ü(t+怠t)}+書{ü(t)})陵(4副8){u(t+控t)}=僵{u(t)}糧+t{ú(t)}領(lǐng)+a8({ü(t+擺t)}+選2{ü(t)}驢)9）按6）~8）逐步砌計算，欲求整個彈時程的牽反應(yīng)。4.5霸.4允Wil死son漆-法的幾修點說明1）這執(zhí)是無水條件果穩(wěn)定素的算玩法；4.稅5多自由友度時程江分析方齒法2）用這接種方裕法會繪帶來聯(lián)附加我的阻示尼（即算法臥阻尼賓），找使頻修率減水少，悄周期肚增長轉(zhuǎn)。3）當(dāng)t太大時室，有所謂甚“超越世現(xiàn)象”啄，導(dǎo)致發(fā)助散。4）其截矮斷誤差此為t2量級勸，因耀此精能度較割低。未提高卡精度撿就得乳減小種步長t，這又將挎增加工鑄作量。4.5謠.5其他富數(shù)值街逐步普積分塑方法為了輕提高帆精度話，國械內(nèi)外去學(xué)者巖做了綱很多早研究寺，目麗前常瞎用的雅算法絨除上擊述兩濱種外拼，還捧有Ne元wm返ar紐奉k法、He士lb謙ot湖-H摸er隱bo法、Ru盾ng巨e-將Ku惕tt倡a法、Gil倍l法、中根心差分節(jié)法、修怕正的Wi元ls旬on隱-法（孫市煥純）法、四階怕的差分筐格式（罵楊真榮革）等等者，本人攝