1111半角模型已知如圖：①∠2=∠；②OB.2

F

連接，eq\o\ac(△,)繞O旋轉(zhuǎn)eq\o\ac(△,)的位置，連接F，F(xiàn)E可eq\o\ac(△,)≌△OEFF'

F

模分∵△≌△OAF，∴∠∠，OF′.∴∠2=∠，2∴∠∠3=∠2∴∠∠4=∠2又∵公共邊，∴△OEFOEF（1半角模型的命名：存在兩個(gè)角度是一半關(guān)系，并且這兩個(gè)角共頂點(diǎn)；（2通過先旋轉(zhuǎn)全等再軸對(duì)稱全等，一般結(jié)論是證明線段和差關(guān)系；（3常見的半角模型是90°含45°，含模實(shí)例1已，正方形中，的兩邊分別交線段CB、DC于點(diǎn)、．（1求證BM+DN=MN（2作AH⊥于H求證：．1

證明：（）延長ND到，使DE=BM∵四邊形ABCD正方形，∴AD=AB在ADE和，AB

BM∴△ADE△．∴AE=AM，DAE=BAM∵∠MAN=45°∴∠BAM+∠．∴∠MAN=EAN=45°．在和AEN中AANEAN

ANAN∴△≌△．∴．∴BM+DN=DE+DN=EN=MN（2）由（）知eq\o\ac(△,)AMNAEN．∴

．AMNAEN1即AH．22又∵，∴AH=AD．即．2

例在等eq\o\ac(△,)ABC的邊、AC上別有兩點(diǎn)、N，eq\o\ac(△,)ABC外點(diǎn)，且∠∠BDC=120°BD=DC究當(dāng)M分在線段AC上移動(dòng)時(shí)、NC、MN之的數(shù)量系．（1如圖①，當(dāng)DM=DN時(shí)，、、MN之的數(shù)量關(guān)系；（2如圖②，當(dāng)DM≠DN時(shí)猜想（）問的結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明．圖①

圖②解答（1）BM、NC、之的數(shù)量關(guān)系是BM+NC=MN．（2猜想BM+NC=MN證明：如圖③，延長AC至E使，連接．∵BD=CD，且∠BDC=120°，∴∠∠．又∵△是邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°．∴∠MBD=NCD=90°．eq\o\ac(△,)MBDeq\o\ac(△,)ECD中∵DB=DC，∠DBM=DCE=90°，BM=CEeq\o\ac(△,)≌ECD（）．∴DM=DE，∠BDM=．∴∠∠∠MDN=60°．eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)EDN中∵，MDN=∠，DN=DN，eq\o\ac(△,)≌（SAS）．∴MN=NE=NC+CE=NC+BM3

圖③例如圖，在四邊形ABCD中，∠，AB=AD，、分是BC長線上的點(diǎn)，且

12

∠BAD．求證：．證明：在BE上取BG使BG=DF連接AG．∵∠B+ADC=180°∠∠，∴∠∠ADF在ABGeq\o\ac(△,)ADF中AD

BGDFeq\o\ac(△,)≌ADF（SAS．∴∠∠DAF，AG=AF．∴∠∠BAD．∴∠EAF=

11∠BAD=∠．2∴∠GAE=EAF．在和AEF，GAEFAE

eq\o\ac(△,)AEG（）．∴．4

∵，∴EF=BE-FD跟練：．已知，正方形ABCD，M在CB延長線上，在DC長線上，MAN=45°求證：MN=DN-BM【答案】證明：如圖，在DN上取DE=MB，連接AE，∵四邊形ABCD是方形，∴AD=AB∠D=∠ABC=90°．eq\o\ac(△,)ABMeq\o\ac(△,)ADE中ABABM

BMDE∴△ABM≌△ADE．∴AM=AE，∠MAB=∠EAD．∵∠MAN=45°=MAB+，∴∠DAE+∠BAN=45°．∴∠EAN=90°-45°=45°=∠．eq\o\ac(△,)AMNeq\o\ac(△,)AEN中，AEANEAN

ANAN∴△ABM△．5

∴．∵DN-DE=EN∴DN-BM=MN．．已知，如圖①在RtABC中∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D、分別為線段BC兩動(dòng)點(diǎn)，若∠，探究線段BD、三線段之間的數(shù)量關(guān)系．小明的思路是：eq\o\ac(△,)繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得eq\o\ac(△,)，接E′D使題得到解決．請你參考小明的思路探究并解決以下問題：（1）猜想BD、三線段之間的數(shù)量關(guān)系式，并對(duì)你的猜想給予證明；（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在線段上動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)到線段CB延長線上時(shí)，如圖②其他條件不變，（）中探究的結(jié)論否發(fā)生改變？請說明你的猜想并給予證明．圖①【答案】解答：（）猜想DE=BD

+EC．

圖②證明：eq\o\ac(△,)AEC繞A順針旋轉(zhuǎn)90°得eq\o\ac(△,)，如圖①∴△ACE≌△．∴′=EC，，C=∠ABE，∠′AB．在eq\o\ac(△,)ABC中∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°．∴∠ABC+∠′=90°，∠∴′B

+BD2′D

．又∵∠DAE=45°∴∠BAD+∠．∴∠′AB+∠BAD=45°，即．∴eq\o\ac(△,)≌△．∴DE=D．∴2=BD2+EC．6

圖①（2結(jié)論：關(guān)系式DE=BD2仍成立．證明：作∠∠BAD，且截取，連接DF，連接FE，如圖②∴△AFD≌△ABD∴FD=DB∠AFD=∠ABD又∵AB=AC，∴AF=AC．∵∠∠FAD+∠DAE=FAD+45°，∠∠BAC-∠BAE=90°-（∠）（45°-∠DAB=45°+∠DAB∴∠．又∵AE=AE，∴△AFE△．∴FE=EC∠∠ACE=45°．∠AFD=ABD=180°-ABC=135°∴∠DFE=∠AFD-∠AFE=135°-45°=90°．在eq\o\ac(△,)，

2

．即DE2+EC

．圖②．已知，在等eq\o\ac(△,)ABC中點(diǎn)O是ACBC的直平分線的交點(diǎn)MN分在直線AC、BC上，且∠．（1如圖①，當(dāng)CM=CN時(shí)M、分在邊AC、上時(shí)，請寫出AMCN三者之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖②，當(dāng)CM時(shí)MN分在邊、時(shí)，）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請你加以證明；若不成立，請說明理由；（3如圖③點(diǎn)M在AC上點(diǎn)在BC的長線上時(shí)直接寫線段AM、三之間的數(shù)量關(guān)系．7

圖①【答案】結(jié)論：（）AM=CN+MN如圖①

圖②

圖③圖①（2成立；證明：如圖②，在AC上取AE=CN，連接、OA、．∵O是AC、BC垂直平分線的交點(diǎn)，eq\o\ac(△,)ABC等邊三角形，∴OA=OC，∠，∠．又∵，∴△OAE≌．∴OE=ON∠AOE=∠．∴∠∠．∵∠，∴∠∠．∴△MOE△．∴ME=MN∴AM=AE+ME=CN+MN．圖②（3如圖③，AM=MN-CN8

圖③．如圖，在四邊形ABCD，∠，，、分是線段BC的1點(diǎn)，且．證：∠∠BAD2【答案】證明：如圖，eq\o\ac(△,)ADF繞A順針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)得eq\o\ac(△,)，旋轉(zhuǎn)到AB，AF旋轉(zhuǎn)到AG，∴AG=AFBG=DF∠ABG=∠，∠BAG=．∵∠ABC+∠，∴∠ABC+∠．∴點(diǎn)GBC共．∵BE+FD=EF，∴．eq\o\ac(△,)AEG中

AFAE∴△AEG≌△AEF∴∠EAG=∠．∴∠EAB+∠BAG=．又∵∠∠DAF，∴∠EAB+∠∠EAF∴∠EAF=

12

∠BAD．9

．如圖①，已知四邊BCDEAF的邊分別與的延線交于點(diǎn)，與的長線交于點(diǎn)E，連接．（1四邊形為方形當(dāng)∠EAF45°EF與DFBE之有怎樣的數(shù)量關(guān)系？（只需直接寫出結(jié)論）（2如圖②如果四邊形中＝∠ABC與互補(bǔ)當(dāng)∠＝

12

∠時(shí)，EF與DFBE之有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出結(jié)論并證明．（3在（）中，若＝4，DC，＝2，eq\o\ac(△,)CEF的周長（直接寫出結(jié)論）解答：（1）EF=DF-BE（2）EF=DF-BE證明：如圖，在DF截取DM=BE，接AM，∵∠D+∠ABC=∠ABE+∠ABC=180°∵∵AD=ABeq\o\ac(△,)ADMeq\o\ac(△,)ABE中BEABE

ADABeq\