關(guān)于概率論與數(shù)理統(tǒng)計第五章第1頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月設非負r.v.

X的期望E(X)存在，則對于任意實數(shù)

>0,證

僅證連續(xù)型r.v.的情形

重要不等式

§5.1大數(shù)定律第2頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月設隨機變量

X的k階絕對原點矩E(|X|k)存在，則對于任意實數(shù)

>0,推論1設隨機變量

X的方差D(X)存在，則對于任意實數(shù)

>0,推論2——切貝雪夫(chebyshev)不等式或當2D(X)

無實際意義,——馬爾可夫(Markov)不等式第3頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月例1設有一大批種子，其中良種占1/6.試估計在任選的6000粒種子中,良種所占比例與1/6比較上下小于1%的概率.解

設

X

表示6000粒種子中的良種數(shù),X~B(6000,1/6)第4頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月實際精確計算用Poisson分布近似計算取=1000第5頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月大數(shù)定律貝努里（Bernoulli）大數(shù)定律設

nA

是n

次獨立重復試驗中事件A發(fā)生的次數(shù),p

是每次試驗中A發(fā)生的概率,則有或第6頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月證

引入r.v.序列{Xk}設則相互獨立，記由Chebyshev不等式第7頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月故第8頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月在概率的統(tǒng)計定義中,事件A

發(fā)生的頻率“穩(wěn)定于”事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是指：頻率與

p

有較大偏差是小概率事件,因而在n

足夠大時,可以用頻率近似代替p.這種穩(wěn)定稱為依概率穩(wěn)定.貝努里(Bernoulli)大數(shù)定律的意義第9頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月定義a

是一常數(shù)，(或則稱r.v.序列依概率收斂于常數(shù)a,記作故是一系列r.v.設有若第10頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月在Bernoulli定理的證明過程中，Yn

是相互獨立的服從(0,1)分布的r.v.序列{Xk}的算術(shù)平均值,Yn

依概率收斂于其數(shù)學期望

p.

結(jié)果同樣適用于服從其它分布的獨立r.v.序列第11頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月Chebyshev大數(shù)定律相互獨立，設r.v.序列(指任意給定n>1,

相互獨立)且具有相同的數(shù)學期望和方差則有或第12頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月定理的意義當

n

足夠大時,算術(shù)平均值幾乎是一常數(shù).具有相同數(shù)學期望和方差的獨立r.v.序列的算術(shù)平均值依概率收斂于數(shù)學期望.算術(shù)均值數(shù)學期望近似代替可被第13頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月注2相互獨立的條件可以去掉，代之以注1不一定有相同的數(shù)學期望與方差，可設有第14頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月相設r.v.序列則有互獨立具有相同的分布，且記注3第15頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月則則連續(xù)，若第16頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月第二節(jié)中心極限定理一、問題的引入二、基本定理三、典型例題四、小結(jié)第17頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月一、問題的引入實例:考察射擊命中點與靶心距離的偏差.這種偏差是大量微小的偶然因素造成的微小誤差的總和,這些因素包括:瞄準誤差、測量誤差、子彈制造過程方面(如外形、重量等)的誤差以及射擊時武器的振動、氣象因素(如風速、風向、能見度、溫度等)的作用,所有這些不同因素所引起的微小誤差是相互獨立的,并且它們中每一個對總和產(chǎn)生的影響不大.問題:某個隨機變量是由大量相互獨立且均勻小的隨機變量相加而成的,研究其概率分布情況.第18頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月二、基本定理定理四（獨立同分布的中心極限定理）第19頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月定理四表明:第20頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月李雅普諾夫定理五(李雅普諾夫定理)第21頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月則隨機變量之和的標準化變量第22頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月定理五表明:(如實例中射擊偏差服從正態(tài)分布)下面介紹的定理六是定理四的特殊情況.第23頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月證明根據(jù)第四章第二節(jié)例題可知德莫佛拉普拉斯定理六(德莫佛－拉普拉斯定理)第24頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)定理四得定理六表明:正態(tài)分布是二項分布的極限分布,當n充分大時,可以利用該定理來計算二項分布的概率.第25頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月下面的圖形表明:正態(tài)分布是二項分布的逼近.第26頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月三、典型例題解由定理四,隨機變量Z近似服從正態(tài)分布N(0,1),例1第27頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月其中第28頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月一船舶在某海區(qū)航行,已知每遭受一次海浪的沖擊,縱搖角大于3o的概率為1/3,若船舶遭受了90000次波浪沖擊,問其中有29500～30500次縱搖角大于3o的概率是多少？解將船舶每遭受一次海浪的沖擊看作一次試驗,并假設各次試驗是獨立的,在90000次波浪沖擊中縱搖角大于3o的次數(shù)為X,則X是一個隨機變量,例2第29頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月所求概率為分布律為直接計算很麻煩，利用德莫佛－拉普拉斯定理第30頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月第31頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月某保險公司的老年人壽保險有1萬人參加,每人每年交200元.若老人在該年內(nèi)死亡,公司付給家屬1萬元.設老年人死亡率為0.017,試求保險公司在一年內(nèi)的這項保險中虧本的概率.解設X為一年中投保老人的死亡數(shù),由德莫佛－拉普拉斯定理知,例3第32頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月保險公司虧本的概率第33頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月對于一個學生而言,來參加家長會的家長人數(shù)是一個隨機變量.設一個學生無家長、1名家長、2名家長來參加會議的概率分別為0.05，0.8，0.15.若學校共有400名學生,設各學生參加會議的家長數(shù)相互獨立,且服從同一分布.(1)求參加會議的家長數(shù)X超過450的概率;(2)求有1名家長來參加會議的學生數(shù)不多于340的概率.解例4第34頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)獨立同分布的中心極限定理，第35頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月第36頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月由德莫佛－拉普拉斯定理知,第37頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月證例5第38頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)獨立同分布的中心極限定理，第39頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月第40頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月四、小結(jié)三個中心極限定理獨立同分布的中心極限定理李雅普諾夫定理德莫佛－拉普拉斯定理中心極限定理表明,在相當一般的條件下,當獨立隨機變量的個數(shù)增加時,其和的分布趨于正態(tài)分布.

第41頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月李雅普諾夫資料AleksandrMikhailovichLyapunovBorn:6Jun.1857inYaroslavl,Russia

Died:3Nov.1918inOdessa,Russia第42頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月德莫佛資料AbrahamdeMoivreBorn:26May.1667inVitry(nearParis),France

Died:27Nov.1754inLondon,England第43頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月拉普拉斯資料Pierre-SimonLaplaceBorn:23Mar.1749inBeaumont-en-Auge,Normandy,France

Died:5Mar.1827inParis,France第44頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月第五章大數(shù)定律及中心極限定理

習題課二、主要內(nèi)容三、典型例題一、重點與難點第45頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月一、重點與難點1.重點中心極限定理及其運用.2.難點證明隨機變量服從大數(shù)定律.第46頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月大數(shù)定律二、主要內(nèi)容中心極限定理定理一定理二定理三定理一的另一種表示定理一定理二定理三第47頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月契比雪夫定理的特殊情況第48頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月定理一的另一種表示第49頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月伯努利大數(shù)定理第50頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月辛欽定理第51頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月獨立同分布的中心極限定理第52頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月第53頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月李雅普諾夫定理第54頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月則隨機變量之和的標準化變量第55頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月德莫佛－拉普拉斯定理第56頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月三、典型例題解例1第57頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)獨立同分布的中心極限定理知