趨勢外推法

一、趨勢外推法概念：如果通過對時間序列的分析和計算,能找到一條比較合適的函數(shù)曲線來近似反映社會經濟變量y關于時間t的變化和趨勢,那么當有理由相信這種規(guī)律和趨勢能夠延伸到未來時,便可用此模型對該社會經濟現(xiàn)象的未來進行預測,這就是趨勢外推法。

目前一頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點趨勢外推法的兩個假定：（1）社會經濟現(xiàn)象的發(fā)展過程是漸進的,沒有跳躍式突變；（2）社會經濟現(xiàn)象未來與過去的發(fā)展變化規(guī)律基本一致。

目前二頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點二、趨勢模型的種類多項式曲線外推模型：一次（線性）預測模型：二次（二次拋物線）預測模型：三次（三次拋物線）預測模型：一般形式：目前三頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點指數(shù)曲線預測模型：一般形式：

修正的指數(shù)曲線預測模型：目前四頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點對數(shù)曲線預測模型：生長曲線趨勢外推法：皮爾曲線預測模型：龔珀茲曲線預測模型：

目前五頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點

三、趨勢模型的選擇方法經驗法:數(shù)學和經濟分析結合,選定模型圖形識別法：

這種方法是通過繪制散點圖來進行的，即將時間序列的數(shù)據(jù)繪制成以時間t為橫軸，時序觀察值為縱軸的圖形，觀察并將其變化曲線與各類函數(shù)曲線模型的圖形進行比較，以便選擇較為合適的模型。有時所繪圖形與幾種數(shù)學模型的曲線相近,可試算,計算回溯擬合值,選擇均方差最小的模型。目前六頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點差分法：

利用差分法把數(shù)據(jù)修勻，使非平穩(wěn)序列達到平穩(wěn)序列。差分法可分為普通差分法和廣義差分法兩類。一階、二階、k階差分

廣義差分法就是先計算時間序列的廣義差分(時間序列的倒數(shù)或對數(shù)的差分,以及相鄰項的比率或差分的比率等),然后,根據(jù)算得的時間序列差分的特點,選擇適宜的數(shù)學模型。目前七頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點差分法識別標準：差分特性使用模型一階差分相等或大致相等一次線性模型二階差分相等或大致相等二次線性模型三階差分相等或大致相等三次線性模型環(huán)比相等或大致相等指數(shù)曲線模型一階差分比率相等或大致相等修正指數(shù)曲線模型目前八頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點

多項式趨勢預測模型及應用

特別:直線(一元時間回歸)模型參數(shù)估計的簡捷算法

套用參數(shù)估計公式,注意到,yt一般都是等間隔的時期或時點指標值,它與時間t并無嚴格的因果關系。時間t的取值只起到一種標明事物發(fā)展先后次序的作用,只要保持t的等間隔性及其先后次序,我們可以給t賦以任何數(shù)值。通常讓t的T個取值以原點為對稱,從而有化簡公式為

目前九頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點例1:某市最近幾年工業(yè)總產值資料如下表所列,試預測1999年該市的工業(yè)總產值。年份199019911992199319941995199619971998t值-4-3-2-101234工業(yè)總產值yt5.05.66.16.87.48.28.89.610.4一階差分_0.60.50.70.60.80.60.80.8目前十頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點解:若畫出散點圖,看出,時間序列呈明顯的線性趨勢。計算一階差分,基本上接近一個常數(shù),其波動范圍在0.5～0.8之間。因此,可配一元線性時間回歸模型進行預測。利用如上公式,易得回歸模型為

1999年對應的t=5

預測該年的工業(yè)總產值

目前十一頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點

指數(shù)曲線趨勢外推法一、常見的指數(shù)曲線模型指數(shù)曲線預測模型：修正指數(shù)曲線預測模型:

目前十二頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點二、模型的選擇

廣義差分法

對于指數(shù)曲線,一階差比率(也稱環(huán)比)為常數(shù)

對修正的指數(shù)曲線,一階差分比率

當時間序列算得的一階差分比率大致相等時,就可以配修正指數(shù)曲線模型進行預測。目前十三頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點指數(shù)曲線模型的參數(shù)估計及應用對指數(shù)曲線模型取對數(shù),作變換,轉化為直線模型。為計算方便,仍然約定于是目前十四頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點例2:某自行車廠最近幾年產量數(shù)據(jù)如下表所列,試預測該廠1999年的產量。指數(shù)曲線預測模型:預測1999年的產量年份199319941995199619971998t值-5-3-1135產量yt

(萬輛)8.710.613.316.520.626.0環(huán)比_1.21.31.21.21.3目前十五頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點

曲線的擬合優(yōu)度分析實際的預測對象往往無法通過圖形直觀確認某種模型，而是與幾種模型接近。這時，一般先初選幾個模型，待對模型的擬合優(yōu)度分析后再確定究竟用哪一種模型。評判擬合優(yōu)度的好壞一般使用標準誤差來作為優(yōu)度好壞的指標：例3:下表是我國1952年到1983年社會商品零售總額(按當年價格計算），分析預測我國社會商品零售總額。目前十六頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點年份時序（t）總額（yt

）年份時序（t）總額（

yt

）年份時序（t）總額（

yt

）19521276.8196312604.51974231163.619532348.0196413638.21975241271.119543381.1196514670.31976251339.419554392.2196615732.81977261432.819565461.0196716770.51978271558.619576474.2196817737.31979281800.019587548.0196918801.51980292140.019598638.0197019858.01981302350.019609696.9197120929.21982312570.0196110607.71972211023.31983322849.4196211604.01973221106.7目前十七頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點（1）對數(shù)據(jù)畫折線圖分析，以社會商品零售總額為

y軸，年份為x軸。目前十八頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點（2）從圖形可以看出大致的曲線增長模式，較符合的模型有二次曲線和指數(shù)曲線模型。但無法確定哪一個模型能更好地擬合該曲線，則我們將分別對該兩種模型進行參數(shù)擬合。

適用的二次曲線模型為：

適用的指數(shù)曲線模型為：目前十九頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點（3）進行二次曲線擬合。首先產生序列，得到估計模型為：其中調整的，，則方程通過顯著性檢驗，擬合效果很好。標準誤差為151.7。

(4)進行指數(shù)曲線模型擬合。對模型兩邊取對數(shù)：產生序列，之后進行普通最小二乘估計該模型,最終得到估計模型為：目前二十頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點

其中調整的，，則方程通過顯著性檢驗，擬合效果很好。標準誤差為：175.37。（5）通過以上兩次模型的擬合分析，我們發(fā)現(xiàn)采用二次曲線模型擬合的效果更好。因此，運用方程：進行預測將會取得較好的效果。目前二十一頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點修正指數(shù)曲線模型的參數(shù)估計及應用對于修正指數(shù)曲線模型一般0<B<1,y=K為其漸進線水平。用三段總和法來估計參數(shù),設時間序列的數(shù)據(jù)為于是得A、B、K的估計式為目前二十二頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點修正指數(shù)曲線預測模型

1）模型的形式

目前二十三頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點2）模型的識別目前二十四頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點例4

我國衛(wèi)生機構人員總數(shù)如表4.13所示，試預測2003年我國衛(wèi)生機構總人數(shù)。解:繪制散點圖，如圖4.13所示。目前二十五頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點目前二十六頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點得:目前二十七頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點

所以我國衛(wèi)生機構總人數(shù)修正指數(shù)曲線模型為:

將代入模型,得到2003年我國衛(wèi)生機構總人數(shù)的預測值:目前二十八頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點例5:某商品1991年投放市場以來,社會總需求量統(tǒng)計資料如下表所列,試預測2000年的社會總需求量。解:描散點圖,初步確定模型;計算一階差分比率,進一步驗證選用修正指數(shù)曲線模型是否合適;

估計模型參數(shù)。所求修正指數(shù)曲線預測模型:預測2000年的社會總需求量:年份199119921993199419951996199719981999總需求量50.060.068.069.671.171.772.372.873.2一階差分_1081.61.50.60.60.50.4一階差分比率__0.80.20.940.41.00.830.8目前二十九頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點此例反映了這樣的時間序列變化規(guī)律:初期迅速增加,一段時期后增長量逐漸降低,而逐增長量的環(huán)比速度又大體上一致,最后發(fā)展水平趨向于某一正的常數(shù)極限,那么,這種時間序列的發(fā)展趨勢就適宜用修正指數(shù)曲線來描述和預測。目前三十頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點

生長曲線趨勢外推法一般產品(或技術)的發(fā)展,基本上都要經歷一個萌芽、發(fā)展、成熟、衰落的過程。這里介紹兩種能夠較好地描述產品或技術生命周期規(guī)律的典型S型生長曲線模型:皮爾曲線和龔珀茲曲線模型。一、皮爾曲線模型及其應用皮爾(Pearl)是美國生物學家和人口統(tǒng)計學家,提出了著名的S型生長曲線模型:其中,參數(shù)L、a、b為正數(shù)。目前三十一頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點皮爾曲線適用于生物繁殖、人口發(fā)展統(tǒng)計與預測;尤其適合處于成熟期的商品或技術的發(fā)展趨勢分析與預測。

模型的識別:倒數(shù)的一階差分比率為模型的參數(shù)估計及應用:令則有于是,可套用修正指數(shù)曲線的估計參數(shù)公式。注意,L是生長曲線的上限,有時通過定性分析或專家咨詢所定的L值往往比由公式計算得到的L值更接近實際,預測效果更好。

目前三十二頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點例6:吉林省1966～1983年年度人口數(shù)如下表所列,試預測該省1984年以后年度人口數(shù)。年份t值人口年份t值人口年份t值人口196601679.3197261962.71978122149.3196711722.1197372007.91979132184.6196821766.3197482034.51980142210.7196931808.2197592063.91981152230.9197041860.41976102092.61982162257.6197151915.21977112117.91983172269.5目前三十三頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點解:人口的數(shù)量變動一般符合皮爾曲線所反映的規(guī)律。通過計算時間序列數(shù)據(jù)倒數(shù)的一階差分比率,確定選用該模型。所求皮爾曲線趨勢預測模型為:通過計算回溯擬合值與觀察擬合誤差,發(fā)現(xiàn)所建模型對1987年以前歷史數(shù)據(jù)的擬合效果相當好。但是1988年以后,預測誤差越來越大。通過調整吉林省2010年人口的上限值L,重新計算模型中相應的參數(shù)a,修正皮爾曲線模型。對照模型調整后的人口預測值與實際值,計算預測誤差,發(fā)現(xiàn)1992年開始,修正模型的預測效果大大優(yōu)于原先的模型。故吉林省人口趨勢宜用兩個皮爾曲線模型刻畫,分時間段使用。目前三十四頁\總數(shù)四十二頁\編于十八點二、龔珀茲曲線預測模型及應用龔珀茲曲線的數(shù)學表達式是:其中參數(shù):0<a<1