2022年湖南省懷化市袁家學校中學部高二數(shù)學理下學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.甲校有3600名學生，乙校有5400名學生，丙校有1800名學生，為統(tǒng)計三校學生某方面的情況，計劃采用分層抽樣法，抽取一個樣本容量為90人的樣本，應在這三校分別抽取學生(

)A．30人，30人，30人

B．30人，45人，15人C．20人，30人，40人

D．30人，50人，10人參考答案：B略2.已知函數(shù)f（x）=e2x﹣t，g（x）=tex﹣1，對任意x∈R，f（x）≥g（x）恒成立，則實數(shù)t的取值范圍為（）A．t≤1 B．t≤2﹣2 C．t≤2 D．t≤2﹣3參考答案：B【考點】函數(shù)恒成立問題．【分析】設F（x）=f（x）﹣g（x），則F（x）=f（x）﹣g（x）=e2x﹣tex+1﹣t對任意x∈R，最小值為0，由此能求出實數(shù)t的取值范圍．【解答】解：設F（x）=f（x）﹣g（x），∵函數(shù)f（x）=e2x﹣t，g（x）=tex﹣1，對任意x∈R，f（x）≥g（x）恒成立，∴F（x）=f（x）﹣g（x）=e2x﹣tex+1﹣t對任意x∈R，最小值為0，F(xiàn)′（x）=2e2x﹣tex，由F′（x）=0，得x=ln，∴F（ln）=﹣te+1﹣t≥0，整理，得t2+4t﹣4≤0，解得﹣2﹣2＜t＜2﹣2．故選：B．3.已知f（x）=x2+2xf′（1）﹣6，則f′（1）等于（）A．4 B．﹣2 C．0 D．2參考答案：B【考點】63：導數(shù)的運算．【分析】對函數(shù)f（x）的解析式求導，得到其導函數(shù)，把x=1代入導函數(shù)中，列出關于f'（1）的方程，進而得到f'（1）的值【解答】解：求導得：f′（x）=2x+2f′（1），令x=1，得到f′（1）=2+2f′（1），解得：f′（1）=﹣2，故選：B．4.如果直線與直線互相垂直，那么的值等于（

）A、

B、

C、

D、..參考答案：D略5.命題“?x∈R，2x＞0”的否定是（）A．?x0∈R，2＞0 B．?x0∈R，2≤0C．?x∈R，2x＜0 D．?x∈R，2x≤0參考答案：B【考點】命題的否定．【分析】直接利用全稱命題的否定是特稱命題寫出結果即可．【解答】解：因為全稱命題的否定是特稱命題，所以命題“?x∈R，2x＞0”的否定是?x0∈R，2≤0．故選：B6.已知下列說法：①對于線性回歸方程，變量x增加一個單位時，平均增加5個單位；②甲、乙兩個模型的R2分別為0.98和0.80，則模型甲的擬合效果更好；③對分類變量X與Y，隨機變量K2的觀測值k越大，則判斷“X與Y有關系”的把握程度越大；④兩個隨機變量的線性相關性越強，則相關系數(shù)就越接近1．其中說法錯誤的個數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4參考答案：B【分析】根據(jù)回歸分析、獨立性檢驗相關結論來對題中幾個命題的真假進行判斷?！驹斀狻繉τ诿}①，對于回歸直線，變量增加一個單位時，平均減少5個單位，命題①錯誤；對于命題②，相關指數(shù)R2越大，擬合效果越好，則模型甲的擬合效果更好，命題②正確；對于命題③，對分類變量X與Y，隨機變量K2的觀測值k越大，根據(jù)臨界值表，則犯錯誤的概率就越小，則判斷“X與Y有關系”的把握程度越高，命題③正確；對于命題④，兩個隨機變量的線性相關性越強，則相關系的絕對值越接近于1，命題④錯誤.故選：B.【點睛】本題考查回歸分析、獨立性檢驗相關概念的理解，意在考查學生對這些基礎知識的理解和掌握情況，屬于基礎題。7.直線經(jīng)過一定點，則該定點的坐標為（）Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．參考答案：A8.把“二進制”數(shù)化為“五進制”數(shù)是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C無9.點在曲線上移動時，過點的切線的傾斜角的取值范圍是

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略10.把邊長為2的正三角形ABC沿BC邊上的中線AD折成90o的二面角B—AD—C后，點到平面ABC的距離為(

)．A．

B．

C．

D．1參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.對一塊邊長為1的正方形進行如下操作:第一步,將它分割成3x3方格，接著用中心和四個角的5個小正方形，構成如圖①所示的幾何圖形，其面積S1=；第二步,將圖①的5個小正方形中的每個小正方形都進行與第一步相同的操作,得到圖②;依此類推，到第?步,所得圖形的面積Sn=()n.若將以上操作類比推廣到棱長為1的正方體中，則(I)當n=1時,所得幾何體的體積V1=______.(II)到第n步時，所得幾何體的體積Vn=______.記數(shù)列為，其中，.定義變換，將中的變?yōu)椋蛔優(yōu)?設；例如，則.（1）若，則中的項數(shù)為

；（2）設為，記中相鄰兩項都是的數(shù)對個數(shù)為，則關于的表達式為

.參考答案：，（1）（2）12.已知數(shù)列{an}的首項a1=m，其前n項和為Sn，且滿足Sn+Sn+1=3n2+2n，若對?n∈N+，an＜an+1恒成立，則m的取值范圍是．參考答案：（﹣2，）【考點】8E：數(shù)列的求和．【分析】Sn+Sn+1=3n2+2n，n=1時，2a1+a2=5，解得a2．n≥2時，利用遞推關系可得：an+1+an=6n﹣1，于是an+1﹣an﹣1=6，因此數(shù)列{an}的奇數(shù)項與偶數(shù)項分別成等差數(shù)列，對n分類討論即可得出【解答】解：∵Sn+Sn+1=3n2+2n，∴n=1時，2a1+a2=5，解得a2=5﹣2m．n≥2時，Sn﹣1+Sn=3（n﹣1）2+2（n﹣1），∴an+1+an=6n﹣1，∴an+an﹣1=6n﹣7，∴an+1﹣an﹣1=6，∴數(shù)列{an}的奇數(shù)項與偶數(shù)項分別成等差數(shù)列，a2k=5﹣2m+6（k﹣1）=6k﹣1﹣2m，a2k﹣1=m+6（k﹣1）=6k+m﹣6．∵對?n∈N*，an＜an+1恒成立，∴n=2k﹣1時，6k+m﹣6＜6k﹣1﹣2m，解得m＜．n=2k時，6k﹣1﹣2m＜6（k+1）+m﹣6，解得：m＞﹣2．綜上可得m的取值范圍是：﹣2＜m＜．故答案為：（﹣2，）．13.若存在正數(shù)x使2x(x－a)<1成立，則a的取值范圍是________．參考答案：14.已知數(shù)列，則數(shù)列的通項為_________.參考答案：略15.已知t＞0，若（2x﹣1）dx=6，則t=_________參考答案：316.方程表示焦點在軸上的橢圓，則實數(shù)的取值范圍是

參考答案：17.拋物線的焦點為，在拋物線上，且，弦的中點在其準線上的射影為，則的最大值為_____________.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分16分)(文)⑴證明：當a＞1時，不等式成立.⑵要使上述不等式成立，能否將條件“a＞1”適當放寬？若能，請放寬條件并說明理由；若不能，也請說明理由.⑶請你根據(jù)⑴、⑵的證明，試寫出一個類似的更為一般的結論，并給予證明.參考答案：（1）證：∵,……………3分∵a＞1，∴＞0，

∴原不等式成立

………5分

（2）∵a-1與a5-1同號對任何a＞0且a11恒成立，……7分

∴上述不等式的條件可放寬為a＞0且a11

………8分

（3）根據(jù)（1）（2）的證明，可推知：結論1:若a＞0且a11，n為正整數(shù)(或n>0),則

……………10分證:∵

………11分∵a-1與a2n-1同號對任何a＞0且a11恒成立∴(a-1)(a2n-1)>0∴

………12分結論2:若a＞0且a11，m＞n＞0，則

…………………11分證：左式-右式=………14分若a＞1，則由m＞n＞0Tam-n＞0,am+n＞0T不等式成立；若0＜a＜1，則由m＞n＞0T0＜am-n＜1,0＜am+n＜1T不等式成立∴

…16分【題文】(理)已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a、b、c、dR)，且函數(shù)f(x)的圖象關于原點對稱，其圖象x＝3處的切線方程為8x－y－18＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在區(qū)間，使得函數(shù)f(x)的定義域和值域均為？若存在，求出這樣的一個區(qū)間；若不存在，則說明理由；(3)若數(shù)列｛an｝滿足：a1≥1，an+1≥，試比較＋＋＋…＋與1的大小關系，并說明理由.【答案】(理)

(1)∵f(x)的圖像關于原點對稱，∴f(－x)＋f(x)＝0恒成立，

即2bx2＋2d≡0，∴b＝d＝0……2分又f(x)的圖像在x＝3處的切線方程為8x－y－18＝0，即y－6＝8(x－3)，∴f'(3)＝8，且f(3)＝6,而f(x)＝ax3＋cx，∴f'(x)＝3ax2＋c

……4分解得

故所求的解析式為f(x)＝x3－x

……………5分(2)解，得x＝0或x＝±

……6分又f'(x)＝x2－1，由f'(x)＝0得x＝±1，且當x∈[－，－1]或x∈[1，]時，f'(x)>0；當x∈[－1，1]時f'(x)<0∴f(x)在[－，－1]和[1，]上分別遞增；在[—1,1]遞減.∴f(x)在[－，]上的極大值和極小值分別為f(－1)＝，f(1)＝－

………8分而－<－<

<故存在這樣的區(qū)間，其中一個區(qū)間為[－，]

……10分(3)由(2)知f'(x)＝x2－1，∴an+1≥(an＋1)2－1而函數(shù)y＝(x＋1)2—1＝x2＋2x在[1,+∞)單調(diào)遞增，∴由al≥1，可知，a2≥(al＋1)2—1＝22—l；進而可得a3≥(a2＋1)2—1≥23—1；…由此猜想an≥2n—1.

…12分下面用數(shù)學歸納法證明：①當n＝1時，al≥1＝21－1，結論成立②假設n＝k時有ak≥2k－1，則當n＝k＋1時，由f(x)＝x2＋2x在[1,+∞)上遞增可知，ak+1≥(ak＋1)2－1≥(ak－1＋1)2－1＝2k+1－1，即n=k+1時結論成立

…14分∴對任意的n∈N+都有an≥2n—1，即1+an≥2n，

∴≤∴＋＋＋…＋≤＋＋＋…＋＝＝1－（）n<l故＋＋＋…＋<l

……16分略19.求雙曲線16x2﹣9y2=﹣144的實軸長、焦點坐標、離心率和漸近線方程．參考答案：【考點】KC：雙曲線的簡單性質．【分析】雙曲線16x2﹣9y2=﹣144可化為，可得a=4，b=3，c=5，從而可求雙曲線的實軸長、焦點坐標、離心率和漸近線方程．【解答】解：雙曲線16x2﹣9y2=﹣144可化為，所以a=4，b=3，c=5，所以，實軸長為8，焦點坐標為（0，5）和（0，﹣5），離心率e==，漸近線方程為y=±=．20.（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD.（Ⅰ）證明：BD⊥PC；（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直線PD與平面PAC所成的角為30°，求四棱錐P-ABCD的體積.

參考答案：（Ⅰ）因為又是平面PAC內(nèi)的兩條相較直線，所以BD平面PAC，而平面PAC，所以.

………4分（Ⅱ）設AC和BD相交于點O，連接PO，由（Ⅰ）知，BD平面PAC，所以是直線PD和平面PAC所成的角，從而.………6分由BD平面PAC，平面PAC，知.在中，由，得PD=2OD.因為四邊形ABCD為等腰梯形，，所以均為等腰直角三角形，從而梯形ABCD的高為于是梯形ABCD面積

………8分在等腰三角形ＡＯＤ中，所以

………10分故四棱錐的體積為.………12分21.(本小題8分)已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD是、邊長為的菱形，又，且PD=CD，點M、N分別是棱AD、PC的中點．（1）證明：MB平面PAD；（2）求點A到平面PMB的距離．

參考答案：（1）又因為底面ABCD是、邊長為的菱形，且M為AD中點，所以.又所以.（2）因為M是AD中點，所以點A與D到平面PMB等距離