第5章靜定結(jié)構(gòu)的位移計算與虛功原理內(nèi)容提要實際結(jié)構(gòu)在廣義荷載作用下，將產(chǎn)生變形、位移。本章將從功能的角度，利用虛功原理，采用單位荷載法，建立桿系結(jié)構(gòu)位移計算公式，討論結(jié)構(gòu)在廣義荷載作用下的位移計算，并推出線性體系的幾個互等定理.§5-1應(yīng)用虛力原理求剛體體系的位移一、結(jié)構(gòu)位移計算概述計算位移的目的：（1）剛度驗算，（2）超靜定結(jié)構(gòu)分析的基礎(chǔ)產(chǎn)生位移的原因：（1）荷載（2）溫度變化、材料脹縮（3）支座沉降、制造誤差以上都是絕對位移以上都是相對位移廣義位移位移計算雖是幾何問題，但是用虛功原理解決最方便二、虛功原理1、實功與虛功

實功是力在自身引起的位移上所作的功。如T11，T22，

實功恒為正。

虛功是力在其它原因產(chǎn)生的位移上作的功。如T12，如力與位移同向，虛功為正，反向時，虛功為負。P1P2Δ11Δ22Δ12荷載由零增大到P1，其作用點的位移也由零增大到Δ11，對線彈性體系P與Δ成正比。ΔPΔ11P1實功：再加P2，P2在自身引起的位移Δ22上作的功為：在Δ12過程中，P1的值不變，Δ12與P1無關(guān)dTOABΔKj位移發(fā)生的位置產(chǎn)生位移的原因abABCP=1ABCab三、虛力原理已知求虛功方程設(shè)虛力狀態(tài)小結(jié)：（1）形式是虛功方程，實質(zhì)是幾何方程；（2）在擬求位移方向虛設(shè)一單位力，利用平衡條件求出與已知位移相應(yīng)的支座反力。構(gòu)造一個平衡力系；（3）特點是用靜力平衡條件解決幾何問題。單位荷載其虛功正好等于擬求位移?！撛O(shè)力系求剛體體系位移四、支座位移時靜定結(jié)構(gòu)的位移計算（1）C點的豎向位移（2）桿CD的轉(zhuǎn)角ABCDABCD1ABCD1已知位移求:所得正號表明位移方向與假設(shè)的單位力方向一致。求解步驟（1）沿所求位移方向加單位力，求出虛反力；（3）解方程得定出方向。（2）建立虛功方程BABA1AB虛功方程：BABA1A例1、懸臂梁在截面B處由于某種原因產(chǎn)生相對轉(zhuǎn)角d，試求A點在i－i方向的位移。例2、懸臂梁在截面B處由于某種原因產(chǎn)生相對剪位移d，試求A點在i－i方向的位移。例3、懸臂梁在截面B處由于某種原因產(chǎn)生軸向位移d試求A點在ｉ－ｉ方向的位移。BABABA1由平衡條件：虛功方程：當(dāng)截面B同時產(chǎn)生三種相對位移時，在i－i方向所產(chǎn)生的位移，即是三者的疊加，有：§6-2結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式——變形體的位移計算推導(dǎo)位移計算公式的兩種途徑{由變形體虛功原理來推導(dǎo)；由剛體虛功原理來推導(dǎo)－局部到整體。一、局部變形時的位移計算公式基本思路：dsRdsdsRds（1）三種變形：在剛性桿中，取微段ds設(shè)為變形體，分析局部變形所引起的位移。dsRdsdsRds1（2）微段兩端相對位移：續(xù)基本思路：設(shè) 微段的變形以截面B左右兩端的相對位移的形式出現(xiàn)，即剛體位移，于是可以利用剛體虛功原理求位移。（3）應(yīng)用剛體虛功原理求位移d－即前例的結(jié)論?；蚨?、結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式一根桿件各個微段變形引起的位移總和：如果結(jié)構(gòu)由多個桿件組成，則整個結(jié)構(gòu)變形引起某點的位移為：若結(jié)構(gòu)的支座還有位移，則總的位移為：適用范圍與特點：2）形式上是虛功方程，實質(zhì)是幾何方程。關(guān)于公式普遍性的討論：（1）變形類型：軸向變形、剪切變形、彎曲變形。（2）變形原因：荷載與非荷載。（3）結(jié)構(gòu)類型：各種桿件結(jié)構(gòu)。（4）材料種類：各種變形固體材料。1）適于小變形，可用疊加原理。位移計算公式也是變形體虛功原理的一種表達式。dsdsK1dsdsdsdsdsdsds外虛功：內(nèi)虛功：變形體虛功原理：各微段內(nèi)力在應(yīng)變上所作的內(nèi)虛功總和Wi，等于荷載在位移上以及支座反力在支座位移上所作的外虛功總和We。即：三、位移計算的一般步驟:K1實際變形狀態(tài)虛力狀態(tài)(1)建立虛力狀態(tài)：在待求位移方向上加單位力；(2)求虛力狀態(tài)下的內(nèi)力及反力表達式;(3)用位移公式計算所求位移，注意正負號問題。2、廣義力與廣義位移作功的兩方面因素：力、位移。與力有關(guān)的因素，稱為廣義力S。與位移有關(guān)的因素，稱為廣義位移Δ。廣義力與廣義位移的關(guān)系是：它們的乘積是虛功。即：T=SΔ1）廣義力是單個力，則廣義位移是該力的作用點的位移在力作用方向上的分量PΔmβ3）若廣義力是等值、反向的一對力PttABΔBΔA這里Δ是與廣義力相應(yīng)的廣義位移。表示AB兩點間距的改變，即AB兩點的相對位移。4）若廣義力是一對等值、反向的力偶mABΔmmAB這里Δ是與廣義力相應(yīng)的廣義位移。表示AB兩截面的相對轉(zhuǎn)角。2-1、圖示虛擬的廣義單位力狀態(tài)，可求什么位移。（

）ABP=1/lP=1/lP=1/lP=1/lllC

ABP=1/lP=1/ll⑤ABP=1/lP=1/ll（

）④AB桿的轉(zhuǎn)角AB連線的轉(zhuǎn)角AB桿和AC桿的相對轉(zhuǎn)角§5-3荷載作用下的位移計算研究對象：靜定結(jié)構(gòu)、線性彈性材料。重點在于解決荷載作用下應(yīng)變的表達式。一、計算步驟（1）在荷載作用下建立的方程，可經(jīng)由荷載內(nèi)力應(yīng)力應(yīng)變過程推導(dǎo)應(yīng)變表達式。（2）由上面的內(nèi)力計算應(yīng)變，其表達式由材料力學(xué)知k--為截面形狀系數(shù)1.2(3)荷載作用下的位移計算公式二、各類結(jié)構(gòu)的位移計算公式（1）梁與剛架（2）桁架（3）拱qACB(a)實際狀態(tài)P=1ACB(b)虛設(shè)狀態(tài)AC段CB段例1.試計算懸臂梁A點的豎向位移。1）列出兩種狀態(tài)的內(nèi)力方程：AC段CB段2)將上面各式代入位移公式分段積分計算AC段在荷載作用下的內(nèi)力均為零，故積分也為零。CB段CB段設(shè)為火矩形筐截面k=1.抱23）討論比較久剪切顧變形蕩與彎泉曲變太形對恰位移香的影悟響。設(shè)材料的泊松比,由材料力學(xué)公式。設(shè)矩形截面的寬度為b、高度為h，則有代入上式PP1111.51.5-4.墳74-4家.4鍋2-0嘆.9昨54.俯51.53.歷010.50.5-1子.5蹤蝶8-1較.5籮8001.挽51.俯52P2P例2溫計算支屋架邁頂點證的豎訊向位悄移。0.25l0.25l0.25l0.25lADCEFGB1111.51.5-4.74-4.42-0.910.50.5-1.58-1.58001.51.5ADDCDE材料桿件lA鋼筋砼鋼CEAEEGABCDEFGPP=1例3：求閉圖示娘曲桿粉（1/4圓弧雹）頂爺點的冤豎向閑位移Δ。解：1）虛蛛擬單庭位荷傘載虛擬鴿荷載3）位移訴公式為ds=R噴dθθdθds鋼筋賢混凝肉土結(jié)市構(gòu)G≈0茄.4E矩形截摘面,k=1疫.2牌,I謹(jǐn)/A羞=h2/1勿212001<DDMND4001<DMQD2=DMNARI2412???è?==DDMQRhGAREIk可見剪臥切變形膽和軸向倡變形引親起的值位移墓與彎由曲變車形引干起的闖位移規(guī)相比投可以糖忽略晌不計泄。但動對于繡深梁旅剪切誼變形搭引起剛的位眨移不臉可忽晝略.2）實怪際荷但載h101<R如Pl/2l/2EIABx1x2例4：求圖灶示等截忍面梁B端轉(zhuǎn)角央。解：1）虛擬濱單位荷挖載m=1積分常婦可用圖謎形相乘多來代替2）MP須分段耳寫§5-莫5圖乘脊法招位御移計皂算舉框例òkidsEIMMòT=kiCEIdxMMEI1?ò?==DPEIydxEIMM0w=yEI01w×=xtgEI01waò=BAkdxxMtgEI1aòTBAkMdxxtgMEIi1a是直線òTkidxEIMM直桿αMiMi=xt要gαyxMkdxxy0x0ω注：y0=x0tg前α①∑表示對絲式各桿和毅各桿段俯分別圖感乘再相袖加。②圖乘法民的應(yīng)用漆條件：a）EI=常數(shù)；b）直桿淚；c）兩個彎酒矩圖至少雪有一斗個是蔬直線柜。③豎標(biāo)y0取在直增線圖形窄中，對妥應(yīng)另一澡圖形的余形心處山。④面積ω與豎廟標(biāo)y0在桿的寫同側(cè)，ωy0取正號帝，否則經(jīng)取負號狀。⑤幾種迷常見輸圖形約的面視積和似形心落的位無置：(a+l)/3(b+l)/3ω=hl/2labhl/2l/2h二次拋梯物線ω=禁2hl/3h3l/4l/45l/83l/8二次百拋物握線ω=hl/3二次門拋物李線ω=稱2hl/34l/5l/5hh三次休拋物既線ω=hl/4(n+1)l/(n+2)l/(n+2)hn次拋物毛線ω=hl/(n羞+1)頂點頂點頂點頂點頂點⑥當(dāng)圖乘法的適用條件不滿足時的處理方法：a）曲桿或EI=EI（x）時，只能用積分法求位移；b）當(dāng)EI分段為常數(shù)或Pl/2l/2EIABm=11/2Pl/4ql2/2MPMPP=1l

↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓lqAB例：指求梁B點轉(zhuǎn)角鼓位移。例：求詢梁B點豎向御線位移憤。3l/4M、MP均非直線時，應(yīng)分段圖乘再疊加。PPaaa例：回求圖僅示梁續(xù)中點歇的撓旅度。PaPaMPP=13a/4a/2a/2Pl/2l/2C例：求勵圖示梁C點的秧撓度猾。MPPlCP=1l/2l/6l6EIPl123=PlEIC212=DEIPl4853=Pl65×??llEIyC22210?è?××==Dw5Pl/6？？⑦非標(biāo)直準(zhǔn)圖趟形乘踏直線攀形a）直線根形乘邊直線戲形abdcl/3l/3l/3ω1ω2y1y2()bcadbdacl+++=226??dc?è?+323bl+2dc???è?+332al=2òyydxMMki+=2211wwMiMk各種禁直線馳形乘況直線銅形，姻都可尚以用膛該公廚式處勸理。勞如豎棕標(biāo)在征基線同側(cè)乘呆積取正減，否則漸取負。S=9/6×（2×6×2+2×4×3+6×3+4×2）=11奴1（1）32649S=9/6×（－2×6×2+2×0×3+6×3－0×2）=－9S=9/6×（2×6×2－2×4×3+6×3－4×2）=1其5S=9/6×（2×6×2+2×4×3－6×3－4×2）=紗332364（3）9（2）32649（4）2369＝labdch+bah232dchl+()226bcadbdaclS++++=b)非標(biāo)鈴準(zhǔn)拋況物線繭乘直閣線形E=3乳.3浴×麥1010N/屈m2I=1揪/1厘2已×1閘00若×2歇.53cm4=1.蝕3×軌10-6m4折減抗土彎剛度0.同85EI=0.屆85勢×1.貿(mào)30×俗10-6×3陶.3篇×1史010=3漸.64喂65亡×104N季m2例：瞞預(yù)應(yīng)力眉鋼筋混叨凝土墻寬板單點帽起吊過產(chǎn)程中的倦計算簡醫(yī)圖。已知納：板縱寬1m，厚2.蹄5c捐m，混凝土播容重為25帆00壁0N筐/m3，求C點的鮮撓度僚?！齫=625N/m2.2m0.8mABC解：q=25迫000廉×1×蟻0.0牛25＝625真N/秤m折減抗填彎剛度0.丹85EI=3修.6劑46店5藝×1怨04Nm2200378P=10.8MP↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q=625N/m2.2m0.8mABCω1y1ω3y3ω2y2P=111ly1y2y323=ly3221==yly12832323==qllqlw42212321===qllqlww8321232432414222=????è?++=EIqllqllqllqlEI()1332211++=DMyyyEIwww↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑qllql2/2ql2/8qlql/2ql/2MPω1ω2ω2BNP=ql/2NP=0900193434832101222122423=====DD=lhbhMNlhbhlAlIEIqlEAql2122=××==D?PNEAqlEAlqlEAlNN求AB兩點削的相愚對水終平位沈移。36189MPP=1P=163)()??=EI-756??×××+3322318?è?××××-+EI643636311??+×××-2639632(?è?×+×-××+××-=DEI61833631826362661↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓6kN2kN/m2kN/m6m3m3mABEI=常數(shù)99999994kN4kN.m↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓2kN/m12kN.m4m4mEIAB求θB5kN12844MPkN.m1kN.mql↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓lEIB1ql2/83ql2/2MPl求B點豎微向位判移。5m5m5m5m5m2kN/m7kN10kNABGCDEF15kN50kN.m253510201kN2kN10101020m求A點水毅平位鋸移。P=1MPql2/2

ll/2AB2EIEIl/2求B點的它豎向影位移滋。EIql256174=lllqlEI25.023232212+·-lqllqllqllqllEI8222822265.0212222ú?ù++ê?é++lqlEIlB432831122··=DEIqlllqlEIB843231142=·=DylqlEIB283312102+·=DLq↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓？ql2/8l/2？ql2/32y0求ΔDVPPP4m×3=12m3mABDC5P－8PP=15/3－4/30000000000－1－3絡(luò)Pòò-+llPllPdxEIMMdxEIMM1111òò+=llPlPdxEIMMdxEIMM11201òò+=DllPlPdxEIMMdxEIMM11201()ò-－llPdxMMMEI1211ò=lPdxMMEI011MPMPx↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qll11M1M2例：逝試求頌等截貝面簡非支梁C截面洋的轉(zhuǎn)圓角?！齫l/54l/52ql2/25ql2/8MP11/54/51=qllqll125853225252122ú?ù·????è?···+··-lqlEIC2183212ê?é···=qEIql100333=靜定結(jié)伐構(gòu)由于巴溫度改淘變而產(chǎn)智生的位站移計算1）溫度臭改變對屢靜定結(jié)醋構(gòu)不產(chǎn)居生內(nèi)力掀，變形疑和位移摩是材料柏自由膨皮脹、收撥縮的結(jié)處果。2）假設(shè)艦：溫度疼沿截面寺高度為溜線性分減布。t1t2t0hh1h23）微乎段的殃變形dsdθαt0ds=αΔt/hγ=0該公糖式僅醋適用停于靜妹定結(jié)五構(gòu)ε=αt0αt1dsαt2ds例11求圖警示剛子架C點的豎粉向位移開。各桿俊截面為蓋矩形。aa0+10+10CP=1P=1－1aN+D=D??thtNMc0wawa=-=Dt10010ooo=+=t520100oo()-+a5a???è?+-=haa315a-=ah23102a§5-要6靜定結(jié)編構(gòu)由于文支座移華動而產(chǎn)俘生的位密移計算靜定結(jié)司構(gòu)由于菜支座移匆動不會額產(chǎn)生內(nèi)造力和變傭形，所演以e=0，k=0，g=繞0。代入得到冶：僅用家于靜的定結(jié)嘆構(gòu)abl/2l/2h110=AY1=BhX0=BY=1AhX0=AY1=BhX0=BY=1AhX0=AY1=BhX0=BY=1AhX0=AY1=BhX0=BY=1AhX0=AY1=BhX0=BY=1AhX0=AY1=BhX0=BY=1AhX應(yīng)用惜條件傻：1)應(yīng)力挽與應(yīng)駱變成過正比;2)變形是把微小的化。即:線性影變形疏體系債。P1P2①F1F2②N1M1Q1N2M2Q2一、功掠的互等怪定理?ò???è?++dsGAQkQEIMMEANN121212?=D=FW1221?ò

???è?++=dsGAQkQEIMMEANN212121?D=PW2112功的互儲等定理：在任一惹線性變愈形體系喪中，狀歡態(tài)①的外力軋在狀態(tài)②的位移藏上作的液功W12等于松狀態(tài)②的外力新在狀態(tài)①的位肉移上搶作的吐功W21。即：W12=W21§6動-7互等用定理二、位減移互等摧定理P1①P2②位移互慢等定理：在鐘任一具線性像變形鋒體系米中，含由荷休載P1所引社起的幻玉與荷擠載P2相應(yīng)的塊位移影抹響系數(shù)δ21等于嚇由荷仔載P2所引河起的補與荷狠載P1相應(yīng)設(shè)的位賤移影碰響系忽數(shù)δ12?；蛘哒f,由單位兼荷載P1=1所引起甩的與荷蠅載P2相應(yīng)批的位驗移δ21等于堂由單裕位荷襪載P2=1所引起膽的與荷獻載P1相應(yīng)蹄的位湯移δ12。Δ21Δ12jijijPdD=PPD=D121212PPD=D212121稱為痕位移域影響婚系數(shù)著，等乒于Pj=1所引下起的勺與Pi相應(yīng)理的位蜓移。注意：1）這爐里荷情載可爛以是同廣義盤荷載握，位繁移是其相應(yīng)蠅的廣猜義位敢移。2）δ12與δ21不僅數(shù)魄值相等竹，量綱父也相同后。三、反平力互等牽定理c1c2R11R21R22R12jijijcRr=cRcR=212121RcR×+×=221120cRR×+×221110稱為救反力三影響耳系數(shù)盆，等嚼于cj=1所引起爛的與ci相應(yīng)卵的反丑力。反力互冬等定理藝：在任一追線性變碰形體系算中，由滑位移c1所引嗽起的姜與位畜移c2相應(yīng)蓮的反承力影荒響系皮數(shù)r21等于由哪位移c2所引制起的汁與位依移c1相應(yīng)的死反力影途響系數(shù)r12?；蛘卟鹫f,由單位午位移c1=1所引起眉的與位悲移c2相應(yīng)壓的反臺力r21等于由墻單位位夏移c2=1所引起步的與位功移c1相應(yīng)殲的反兼力r12