第1頁（共1頁）2020-2021學(xué)年山東省德州市齊河一中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（5分）+﹣＝（）A． B． C． D．2．（5分）已知角θ的終邊過點(diǎn)（1，﹣1），＝（）A． B． C． D．3．（5分）若α，β為銳角，且滿足cosα＝，cos（α+β）＝，則sinβ的值為（）A． B． C． D．4．（5分）若向量＝（x，﹣1），＝（﹣3，2），且∥，則＝（）A．﹣26 B．﹣13 C．26 D．135．（5分）下列點(diǎn)中，不是函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心的是（）A． B． C． D．6．（5分）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，cos2＝，則△ABC的形狀一定是（）A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形7．（5分）某公園有一摩天輪，其直徑為110米，逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)一周所需時(shí)間約為28分鐘，最高處距離地面120米，能夠看到方圓40公里以內(nèi)的景致．某乘客觀光3分鐘時(shí)看到一個(gè)與其視線水平的建筑物，試估計(jì)建筑物多高？（參考數(shù)據(jù)：）（）A．50 B．38 C．27 D．158．（5分）設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系正確的是（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.（多選）9．（5分）下列函數(shù)周期為π的是（）A．y＝sinx B．y＝|cosx| C．y＝tanx D．10．（5分）函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分圖象如圖所示，則函數(shù)f（x）的解析式為（）A．f（x）＝sin（3x﹣） B．f（x）＝sin（3x﹣） C．f（x）＝sin（6x﹣） D．f（x）＝sin（6x﹣）（多選）11．（5分）已知向量，其中m，n均為正數(shù)，且，下列說法正確的是（）A．?＝1 B．與的夾角為鈍角 C．2m+n＝3 D．向量在方向上的投影為（多選）12．（5分）在△ABC中，BC＝2，BC邊上的中線AD＝2，則下列說法正確的有（）A．為定值 B．AC2+AB2＝12 C． D．∠BAD的最大值為30°三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）1rad的角是1°角的倍．14．（5分）一物體在力F的作用下，由點(diǎn)A（15，10）移動(dòng)到點(diǎn)B（7，0），則力對(duì)該物體所做的功為焦耳．15．（5分）已知，且，則α+β＝．16．（5分）為了測(cè)量某海島M，N兩地的距離，如圖所示，一架飛行器在海拔9000m的高度飛行時(shí)，在空中測(cè)出前下方海島兩地的俯角分別是37°和53°，則該海島M，N兩地的距離大約是m．（注：sin37°＝0.6）四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）化簡(jiǎn)．（1）；（2）．18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（﹣1，﹣2），B（2，3），C（﹣2，﹣1）．（1）求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形兩條對(duì)角線的長；（2）若存在y軸上一點(diǎn)P滿足BC⊥AP，求cos∠BPC的值．19．（12分）在①：a＝4，c＝6；②：a＝4，△ABC為等腰三角形，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并進(jìn)行解答．在△ABC中，已知_______，且cosC＝﹣，求：（1）sinB的值；（2）△ABC的面積．20．（12分）某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖像時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：ωx+φ0π2πx①②③Asin（ωx+φ）02④﹣20（1）請(qǐng)將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，并寫出函數(shù)f（x）的解析式；（2）將y＝f（x）的圖像上所有點(diǎn)向左平行移動(dòng)θ（θ＞0）個(gè)單位長度，得到y(tǒng)＝g（x）的圖像，若函數(shù)y＝g（x）圖像的一個(gè)對(duì)稱中心為，求θ的最小值．21．（12分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且2acosC＝2b﹣c．（1）求角A的大?。唬?）若b＝7，c＝5，O為△ABC所在平面的任一點(diǎn)，且滿足|，設(shè)（m，n∈R），求m，n的值．22．（12分）已知函數(shù)，f（x）在（a，b）上單調(diào)遞增，且b﹣a的最大值為．（1）求f（x）的解析式；（2）若，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間和最值；（3）在（2）的條件下，若函數(shù)g（x）＝f（x）﹣k有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

2020-2021學(xué)年山東省德州市齊河一中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（5分）+﹣＝（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)向量加減的運(yùn)算性質(zhì)直接計(jì)算即可．【解答】解：故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的加減運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．2．（5分）已知角θ的終邊過點(diǎn)（1，﹣1），＝（）A． B． C． D．【分析】利用任意角的三角函數(shù)的定義以及誘導(dǎo)公式即可求解．【解答】解：因?yàn)榻铅鹊慕K邊過點(diǎn)（1，﹣1），所以＝﹣sinθ＝﹣＝．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了任意角的三角函數(shù)的定義以及誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）若α，β為銳角，且滿足cosα＝，cos（α+β）＝，則sinβ的值為（）A． B． C． D．【分析】由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得sinα、sin（α+β）的值，再利用兩角和差的正弦公式求得sinβ＝sin[（α+β）﹣α]的值．【解答】解：α，β為銳角，且滿足cosα＝，∴sinα＝＝，sin（α+β）＝＝，則sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα＝﹣×＝，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和差的正弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4．（5分）若向量＝（x，﹣1），＝（﹣3，2），且∥，則＝（）A．﹣26 B．﹣13 C．26 D．13【分析】利用向量平行的性質(zhì)直接求解x，進(jìn)而求解結(jié)論．【解答】解：∵向量＝（x，﹣1），＝（﹣3，2），且∥，∴＝，∴x＝，∴＝（，﹣1），＝（﹣3，2），∴＝4×[×（﹣3）+（﹣1）×2]＝﹣26．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的運(yùn)算，考查向量平行的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．5．（5分）下列點(diǎn)中，不是函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心的是（）A． B． C． D．【分析】由題意，利用正切函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，得出結(jié)論．【解答】解：對(duì)于函數(shù)，令﹣＝，k∈Z，求得x＝kπ+，故函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心的是（kπ+，0），k∈Z，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正切函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題．6．（5分）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，cos2＝，則△ABC的形狀一定是（）A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【分析】在△ABC中，利用二倍角的余弦與正弦定理可將已知cos2＝，轉(zhuǎn)化為cosA＝，整理即可判斷△ABC的形狀．【解答】解：在△ABC中，∵cos2＝，∴＝＝+∴1+cosA＝+1，即cosA＝，∴cosAsinC＝sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC＝0，sinA≠0，∴cosC＝0，∴C為直角．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的形狀判斷，著重考查二倍角的余弦與正弦定理，誘導(dǎo)公式的綜合運(yùn)用，屬于中檔題．7．（5分）某公園有一摩天輪，其直徑為110米，逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)一周所需時(shí)間約為28分鐘，最高處距離地面120米，能夠看到方圓40公里以內(nèi)的景致．某乘客觀光3分鐘時(shí)看到一個(gè)與其視線水平的建筑物，試估計(jì)建筑物多高？（參考數(shù)據(jù)：）（）A．50 B．38 C．27 D．15【分析】求出走過的圓心角為θ＝，再利用余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到＜cos＜，求解即可．【解答】解：設(shè)乘客觀光3分鐘到達(dá)B，如圖，走過的圓心角為θ＝2π×＝，OE＝Rcos＝55cos，∵＜＜，∴＜cos＜，∴38.885＜55cos＜47.63，∴AE＝55﹣55cos∈（17.73，31.145），故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，求出走過的圓心角是關(guān)鍵，屬于中檔題．8．（5分）設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系正確的是（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a【分析】直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換和三角函數(shù)的值的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：由于＝sin25°，，＝sin21°，由于函數(shù)y＝sinx在（0，）內(nèi)單調(diào)遞增，故b＞a＞c．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，三角函數(shù)的值，函數(shù)的單調(diào)性，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.（多選）9．（5分）下列函數(shù)周期為π的是（）A．y＝sinx B．y＝|cosx| C．y＝tanx D．【分析】根據(jù)三角函數(shù)的周期公式即可求解．【解答】解：對(duì)于A，T＝＝2π，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，T＝＝π，故B正確；對(duì)于C，T＝＝π，故C正確；對(duì)于D，T＝＝π，故D正確．故選：BCD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的周期公式，屬于基礎(chǔ)題．10．（5分）函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分圖象如圖所示，則函數(shù)f（x）的解析式為（）A．f（x）＝sin（3x﹣） B．f（x）＝sin（3x﹣） C．f（x）＝sin（6x﹣） D．f（x）＝sin（6x﹣）【分析】由圖象可求函數(shù)周期，利用周期公式可求ω的值，由點(diǎn)（，1）在函數(shù)圖像上，可得3×+φ＝2kπ+，k∈Z，結(jié)合范圍|φ|＜，可求φ的值，即可得解函數(shù)解析式．【解答】解：由圖象得＝﹣＝，即T＝＝，解得ω＝3，則函數(shù)y＝sin（3x+φ），將點(diǎn)（，1）的坐標(biāo)代入可得sin（3×+φ）＝1，所以3×+φ＝2kπ+，k∈Z，解得φ＝2kπ﹣，k∈Z，因?yàn)閨φ|＜，所以φ＝﹣，可得f（x）＝sin（3x﹣）．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)解析式的求解，結(jié)合條件求出ω和φ的值是解決本題的關(guān)鍵，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．（多選）11．（5分）已知向量，其中m，n均為正數(shù)，且，下列說法正確的是（）A．?＝1 B．與的夾角為鈍角 C．2m+n＝3 D．向量在方向上的投影為【分析】由平面向量數(shù)量積運(yùn)算，結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可．【解答】解：由向量，其中m，n均為正數(shù)，且，對(duì)于選項(xiàng)A，，即選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，，即與所成角不為鈍角，即選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，，又，則2×（m﹣2）＝1×（﹣n），即2m+n＝4，即選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，向量在方向上的投影為，即選項(xiàng)D正確，故選：AD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量數(shù)量積運(yùn)算，重點(diǎn)考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題．（多選）12．（5分）在△ABC中，BC＝2，BC邊上的中線AD＝2，則下列說法正確的有（）A．為定值 B．AC2+AB2＝12 C． D．∠BAD的最大值為30°【分析】直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，向量的數(shù)量積運(yùn)算，正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用判斷A、B、C、D的結(jié)論．【解答】解：在△ABC中，BC＝2，BC邊上的中線AD＝2，對(duì)于A：＝（）?（）＝＝4﹣1＝3，故A正確；對(duì)于B：∵∠ADB+∠ADC＝π，∴cos∠ADB+cos∠ADC＝0，由余弦定理知，+＝0，即，化簡(jiǎn)得，b2+c2＝10，即AC2+AB2＝10，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：在△ABC中，由余弦定理知，cos∠BAC＝≥＝1﹣＝1﹣，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)取等號(hào)；由A可知，＝bccosA＝3，所以bc＝，則cosA≥1﹣cosA，解得cosA≥，所以≤cosA＜1，故C正確；對(duì)于D：cos∠BAD＝＝≥＝，由于0＜∠BAD＜，所以∠BAD的最大值為30°，故D正確；故選：ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．（5分）1rad的角是1°角的倍．【分析】利用角度制與弧度制的定義以及它們之間的關(guān)系即可求解．【解答】解：根據(jù)弧度制與角度制的互化，πrad＝180°，可得1rad＝，可得1rad的角是1°角的倍．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角的概念的理解，主要考查了角度制與弧度制的理解，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）一物體在力F的作用下，由點(diǎn)A（15，10）移動(dòng)到點(diǎn)B（7，0），則力對(duì)該物體所做的功為18焦耳．【分析】先求，再求力對(duì)該物體所做的功．【解答】解：由題知，，因?yàn)椋粤?duì)該物體所做的功為18焦耳．故答案為：18．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的物理意義，屬于基礎(chǔ)題．15．（5分）已知，且，則α+β＝．【分析】由已知結(jié)合同角平方關(guān)系及兩角和的正弦公式可求sin（α+β），進(jìn)而可求．【解答】解：因?yàn)椋?，所以sinα＝，cosβ＝﹣，則sin（α+β）＝sinαcosβ+sinβcosα＝＝﹣，因?yàn)?，所以?β＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了同角平方關(guān)系及和差角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．16．（5分）為了測(cè)量某海島M，N兩地的距離，如圖所示，一架飛行器在海拔9000m的高度飛行時(shí)，在空中測(cè)出前下方海島兩地的俯角分別是37°和53°，則該海島M，N兩地的距離大約是5250m．（注：sin37°＝0.6）【分析】分別在Rt△ABM和Rt△ABN求出BM，BN即可求出．【解答】解：如圖，在Rt△ABM中，AB＝9000，∠BAM＝37°，則BM＝AB?tan37°＝9000tan37°，在Rt△ABN中，∠BAN＝53°，則BN＝AB?tan53°＝9000tan53°，所以，∵sin37°＝0.6，∴cos37°＝0.8，∴，∴．故答案為：5250．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩點(diǎn)間距離的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）化簡(jiǎn)．（1）；（2）．【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解．（2）利用誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解．【解答】解：（1）原式＝＝﹣tanα．（2）原式＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A（﹣1，﹣2），B（2，3），C（﹣2，﹣1）．（1）求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形兩條對(duì)角線的長；（2）若存在y軸上一點(diǎn)P滿足BC⊥AP，求cos∠BPC的值．【分析】（1）可求出和的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出和的坐標(biāo)，然后即可求出以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形兩條對(duì)角線的長；（2）可設(shè)P（0，y），然后根據(jù)BC⊥AP即可得出，這樣即可求出P（0，﹣3），從而可得出和的坐標(biāo)，然后根據(jù)向量夾角的余弦公式即可求出cos∠BPC的值．【解答】解：（1），∴，，∴，，∴以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形兩條對(duì)角線的長分別為；（2），設(shè)P（0，y），則，且BC⊥AP，∴，解得y＝﹣3，∴P（0，﹣3），∴，∴．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求向量的坐標(biāo)的方法，向量垂直的充要條件，向量坐標(biāo)的加法、減法和數(shù)量積的運(yùn)算，向量夾角的余弦公式，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．19．（12分）在①：a＝4，c＝6；②：a＝4，△ABC為等腰三角形，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并進(jìn)行解答．在△ABC中，已知_______，且cosC＝﹣，求：（1）sinB的值；（2）△ABC的面積．【分析】選①，（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合三家函數(shù)的同角公式，可得sinC的值，再結(jié)合正弦定理和正弦函數(shù)的兩角和公式，即可求解．（2）運(yùn)用三角形面積公式，直接求解．選②，（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合三家函數(shù)的同角公式，可得sinC的值，結(jié)合余弦定理，可得c＝6，再結(jié)合正弦定理和正弦函數(shù)的兩角和公式，即可求解．（2）運(yùn)用三角形面積公式，直接求解．【解答】解：選①a＝4，c＝6，（1）∵cosC＝，∴，∴＝，由正弦定理，可得，即，解得sinA＝，∵，∴，∴sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC＝．（2）＝．選②a＝4，△ABC為等腰三角形，（1）∵cosC＝，∴，∴＝，∵C為鈍角，△ABC為等腰三角形，∴只能A＝B，即a＝b＝4，由余弦定理可得，c2＝a2+b2﹣2abcosC，可得＝36，解得c＝6，由正弦定理，可得，即，解得sinA＝，∵，∴，∴sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC＝．（2）＝．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正弦定理和余弦定理的運(yùn)用，考查了學(xué)生對(duì)三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用，屬于中檔題．20．（12分）某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖像時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：ωx+φ0π2πx①②③Asin（ωx+φ）02④﹣20（1）請(qǐng)將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，并寫出函數(shù)f（x）的解析式；（2）將y＝f（x）的圖像上所有點(diǎn)向左平行移動(dòng)θ（θ＞0）個(gè)單位長度，得到y(tǒng)＝g（x）的圖像，若函數(shù)y＝g（x）圖像的一個(gè)對(duì)稱中心為，求θ的最小值．【分析】（1）利用三角函數(shù)的性質(zhì)可得，進(jìn)而可補(bǔ)充表格并求出函數(shù)的解析式．（2）利用三角函數(shù)的平移變換原則可得，根據(jù)整體代入法可得，解方程即可求解．【解答】解：（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，得，∴T＝π，∴，又，∴．函數(shù)的解析式為．分別令，依次解得，ωx+φ0π2πxAsin（ωx+φ）020﹣20所以函數(shù)的解析式為．（2）由（1）知得，函數(shù)y＝sinx圖像的對(duì)稱中心為（kπ，0），令，解得．因?yàn)楹瘮?shù)y＝g（x）圖像的一個(gè)對(duì)稱中心為，所以，解得．由θ＞0可知，當(dāng)k＝1時(shí)，θ取得最小值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．21．（12分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且2acosC＝2b﹣c．（1）求角A的大?。唬?）若b＝7，c＝5，O為△ABC所在平面的任一點(diǎn)，且滿足|，設(shè)（m，n∈R），求m，n的值．【分析】（1）利用正弦定理，將2acosC＝2b﹣c化為2sinAcosC＝2sin