2022-2023學年山西省長治市芮中學高二數(shù)學理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.等差數(shù)列{an}中，a2＋a6＝8，a3＋a4＝3，那么它的公差是(

)．A．4 B．5 C．6

D．7參考答案：B2.下列命題的說法錯誤的是（）A．對于命題p：?x∈R，x2+x+1＞0，則?p：?x0∈R，x02+x0+1≤0B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要條件C．若命題p∧q為假命題，則p，q都是假命題D．命題“若x2﹣3x+2=0，則x=1”的逆否命題為：“若x≠1，則x2﹣3x+2≠0”參考答案：C【考點】命題的真假判斷與應用．【分析】利用命題的否定判斷A的正誤；充要條件判斷B的正誤；復合命題的真假判斷C的正誤；四種命題的逆否關(guān)系判斷D的正誤；【解答】解：對于A，命題p：?x∈R，x2+x+1＞0，則?p：?x0∈R，x02+x0+1≤0，滿足命題的否定關(guān)系，正確；對于B，“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要條件，滿足“x=1”?“x2﹣3x+2=0”，反之，不成立，所以B正確；對于C，若命題p∧q為假命題，則p，q至少一個是假命題，所以C不正確；對于D，命題“若x2﹣3x+2=0，則x=1”的逆否命題為：“若x≠1，則x2﹣3x+2≠0”，滿足逆否命題的形式，正確．故選：C．3.已知命題P：“對任意”.命題q：“存在”.若“”是真命題，則實數(shù)取值范圍是（

）A.

B.或

C.或

D.參考答案：B4.在中，，則此三角形解的個數(shù)為A.0

B.1

C.2

D.無數(shù)個

參考答案：B5.當x∈R＋時，可得到不等式x＋≥2，x＋≥3，由此可推廣為x＋≥n＋1，其中P等于

(

)A

B

Ｃ

D參考答案：A略6.“方程表示雙曲線”的一個充分不必要條件是（）A．﹣2＜m＜﹣1 B．m＜﹣2或m＞﹣1 C．m＜0 D．m＞0參考答案：D【考點】雙曲線的標準方程；充要條件．【分析】先計算方程表示雙曲線的充要條件，再求出它的一個真子集即可．【解答】解：若方程表示雙曲線，則（2+m）（1+m）＞0∴m＜﹣2或m＞﹣1∴要求“方程表示雙曲線”的一個充分不必要條件，則需要找出它的一個真子集即可∵m＞0時，m＜﹣2或m＞﹣1，結(jié)論成立，反之不成立∴“方程表示雙曲線”的一個充分不必要條件是m＞0故選D．7.在中，為銳角，+()==－,則的形狀為

A.等腰三角形

B.等邊三角形

C.直角三角形

D.等腰直角三角形參考答案：D8.若，則的定義域為(

)A.

B.

C.

D.參考答案：C9.“m=﹣1”是“直線mx+（2m﹣1）y+1=0和直線3x+my+3=0垂直”的（）A．必要而不充分條件 B．充分而不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：B【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】計算題．【分析】利用兩條直線垂直的充要條件化簡“直線mx+（2m﹣1）y+1=0和直線3x+my+3=0垂直”，然后判斷前者成立能推出后者成立，后者成立推不出前者成立，利用充要條件的有關(guān)定義得到結(jié)論．【解答】解：直線mx+（2m﹣1）y+1=0和直線3x+my+3=0垂直的充要條件為：3m+（2m﹣1）m=0解得m=0或m=﹣1；若m=﹣1成立則有m=0或m=﹣1一定成立；反之若m=0或m=﹣1成立m=﹣1不一定成立；所以m=﹣1是直線mx+（2m﹣1）y+1=0和直線3x+my+3=0垂直的充分不必要條件．故選B．【點評】本題考查判斷一個命題是另一個命題的什么條件，應該先化簡各個命題，然后兩邊互推一下，利用充要條件的有關(guān)定義進行判斷，屬于基礎(chǔ)題．10.某大型商場共有編號為甲、乙、丙、丁、戊的五個安全出口.若同時開放其中的兩個安全出口，疏散500名乘客所需的時間如下：安全出口編號甲，乙乙，丙丙，丁丁，戊甲，戊疏散乘客時間（s）120220160140200

則疏散乘客最快的一個安全出口的編號是（

）A.甲 B.乙 C.丁 D.戊參考答案：C【分析】先閱讀題意，再結(jié)合簡單的合情推理計算可得解．【詳解】設(shè)某高鐵換乘站設(shè)有編號為甲，乙，丙，丁，戊的五個安全出口疏散乘客時間分別為a、b、c、d、e，則a+b＝120，b+c＝220，c+d＝160，d+e＝140，a+e＝200，解得：a＝60，b＝60，c＝160，d＝0，e＝140，則疏散乘客最快的一個安全出口的編號是丁，故選：C．【點睛】本題考查了閱讀能力及簡單的合情推理，屬中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標值，由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖，則這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標值的樣本方差s2是（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）參考答案：110【考點】頻率分布直方圖．【分析】由頻率分布直方圖可估計樣本特征數(shù)均值、方差．均值為每個矩形中點橫坐標與該矩形面積積的累加值．方差是矩形橫坐標與均值差的平方的加權(quán)平均值．【解答】解：由頻率分布直方圖得抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標值的樣本平均值為：=100×0.010×10+110×0.020×10+120×0.035×10+130×0.030×10+140×0.005×10=120，∴樣本方差S2=（﹣20）2×0.1+（﹣10）2×0.2+02×0.35+102×0.3+202×0.05=110．∴這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標值的樣本方差S2是110．故答案為：110．12.設(shè)集合A={（x，y）|（x﹣3）2+（y﹣4）2=}，B={（x，y）|（x﹣3）2+（y﹣4）2=}，C={（x，y）|2|x﹣3|+|y﹣4|=λ}，若（A∪B）∩C≠?，則實數(shù)λ的取值范圍是．參考答案：[，4]【考點】1E：交集及其運算．【分析】集合A，B表示以（3，4）點為圓心，半徑分別為，的圓，集合C在λ＞0時，表示以（3，4）為中心，四條邊的斜率為±2的菱形，若（A∪B）∩C≠?，則菱形與A或B圓有交點，進而可得實數(shù)λ的取值范圍．【解答】解：集合A={（x，y）|（x﹣3）2+（y﹣4）2=}表示以（3，4）點為圓心半徑為的圓，集合B={（x，y）|（x﹣3）2+（y﹣4）2=}表示以（3，4）點為圓心半徑為的圓，集合C={（x，y）|2|x﹣3|+|y﹣4|=λ}在λ＞0時，表示以（3，4）為中心，四條邊的斜率為±2的菱形，如下圖所示：若（A∪B）∩C≠?，則菱形與A或B圓有交點，當λ＜時，菱形在小圓的內(nèi)部，與兩圓均無交點，不滿足答案；當菱形與大圓相切時，圓心（3，4）到菱形2|x﹣3|+|y﹣4|=λ任一邊的距離等于大于半徑，當x＞3，且y＞4時，菱形一邊的方程可化為2x+y﹣（10+λ）=0，由d=得：λ=4，故λ＞4時，兩圓均在菱形內(nèi)部，與菱形無交點，不滿足答案；綜上實數(shù)λ的取值范圍是（，4]，故答案為：[，4]13.定義平面向量之間的一種運算“”如下，對任意的=(m，n)，=(p，q)，令=(mq-np)，給出下面五個判斷：

①若與共線，則=0；②若與垂直，則=0；③=；④對任意的R，有；⑤其中正確的有

（請把正確的序號都寫出）。參考答案：①④⑤略14.在求某些函數(shù)的導數(shù)時，可以先在解析式兩邊取對數(shù)，再求導數(shù)，這比用一般方法求導數(shù)更為簡單，如求的導數(shù)，可先在兩邊取對數(shù)，得，再在兩邊分別對x求導數(shù)，得即為,即導數(shù)為。若根據(jù)上面提供的方法計算函數(shù)的導數(shù)，則

參考答案：15.已知兩點，直線過點且與線段MN相交，則直線的斜率

的取值范圍是_______________．參考答案：16.已知平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1所有棱長均為1，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，則AC1的長為．參考答案：【考點】棱柱的結(jié)構(gòu)特征．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離．【分析】由已知得=，由此利用向量法能求出AC1的長．【解答】解：∵平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1所有棱長均為1，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，∴=，∴2=（）2=+2||?||cos60°+2?||cos60°+2?cos60°=1+1+1+++=6，∴AC1的長為||=．故答案為：．【點評】本題考查線段長的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．17.曲線y=ln2x到直線2x﹣y+1=0距離的最小值為

．參考答案：【考點】6H：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】求出曲線的導數(shù)，利用導數(shù)值為2，求出切點坐標，然后求解曲線y=ln2x到直線2x﹣y+1=0距離的最小值．【解答】解：曲線y=ln2x到直線2x﹣y+1=0距離的最小值，就是與直線2x﹣y+1=0平行的直線與曲線y=ln2x相切是的切點坐標與直線的距離，曲線y=ln2x的導數(shù)為：y′=，切點坐標為（a，f（a）），可得，解得a=，f（）=0，切點坐標為：（，0），曲線y=ln2x到直線2x﹣y+1=0距離的最小值為：=．故答案為：．【點評】本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用，切線方程的求法，點到直線的距離公式的應用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分16分）已知，.（1）當n=1,2,3時，分別比較與的大?。ㄖ苯咏o出結(jié)論）；（2）由(1)猜想與的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.參考答案：解：（1）當時，,

,

,當時，,,，當時，,,

.--------------3分(2)猜想：

,即.--4分下面用數(shù)學歸納法證明：①當n=1時，上面已證.

--------------5分②假設(shè)當n=k時，猜想成立，即則當n=k+1時，-----10分而，下面轉(zhuǎn)化為證明：只要證：，需證：，即證：，此式顯然成立.所以，當n=k+1時猜想也成立.綜上可知：對，猜想都成立，

-----15分即成立.

-----16分略19.（本題滿分12分）如圖，貨輪在海上以50海里/時的速度沿方位角（從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角）為155o的方向航行．為了確定船位，在B點處觀測到燈塔A的方位角為125o．半小時后，貨輪到達C點處，觀測到燈塔A的方位角為80o．求此時貨輪與燈塔之間的距離（答案保留最簡根號）。

參考答案：海里在△ABC中，∠ABC＝155°－125°＝30°，∠BCA＝180°－155°＋80°＝105°，∠BAC＝180°－30°－105°＝45°，

…BC＝＝25，

由正弦定理，得

∴AC＝（海里）答：船與燈塔間的距離為海里．20.已知函數(shù)是函數(shù)的導函數(shù)，（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），對任意實數(shù)x，都有，則不等式的解集為（

）A．(－∞,e)

B．(1,+∞)

C.(1,e)

D．(e,+∞)參考答案：B分析：由題意構(gòu)造函數(shù)，則可得單調(diào)遞減．又由可得，即，于是可得不等式的解集．詳解：由題意構(gòu)造函數(shù)，則，∴函數(shù)在R上單調(diào)遞減．又，∴，而，∴，∴，故不等式的解集為．故選B．

21.已知，（1）若，求的值；（2）若，求中含項的系數(shù).參考答案：（1）因為,所以,又,所以

（1）

（2）（1）-（2）得：所以：

（2）因為，所以中含項的系數(shù)為22.如圖，在三棱錐中，直線平面，且，又點，，分別是線段，，的中點，且點是線段上的動點.

(1)證明：直線平面；

(2)若=8，且二面角的平面角的余弦值為，試求的長度.參考答案：解：(1)連結(jié)QM，因為點，，分別是線段，，的中點所以QM∥PA且MN∥AC，從而QM∥平面PAC且MN∥平面PAC又因為MN∩QM=M,所以平面QMN∥平面PAC

而QK平面QMN所以QK∥平面PAC