內(nèi)蒙古自治區(qū)呼和浩特市德安中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知函數(shù)把方程的根按從小到大的順序排成一個(gè)數(shù)列，則該數(shù)列的前n項(xiàng)和為A. B.C. D.參考答案：B略2.已知是的一個(gè)內(nèi)角，且，則的值為（

）A、

B、

C、

D、或參考答案：A略3.已知函數(shù)f（x）=，若函數(shù)f（x）存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.(－∞,0) B.(－∞,1) C.(1,+∞) D.(0,+∞)參考答案：D【分析】畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合推出a的范圍即可．【詳解】函數(shù)f（x）=，函數(shù)的圖象如圖：函數(shù)f（x）存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是：（0，+∞）．故選：D．4.已知函數(shù)且，則（

）A．50

B．60

C．70

D．80參考答案：A試題分析：由題意可知，，，，，所以，故選A.考點(diǎn)：1.數(shù)列的表示；2.數(shù)列求和.【名師點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的表示以及數(shù)列求和，屬中檔題；數(shù)列求和問(wèn)題是高考?？純?nèi)容之一，數(shù)列求和的主要方法有：1.公式法；2.分組求和法；3.倒序相加法；4.錯(cuò)位相減法；5.裂項(xiàng)相消法.其中錯(cuò)位相減法與裂項(xiàng)相消法是考試的重點(diǎn)內(nèi)容，本題主要采用的是分組求和法.5.已知是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)的零點(diǎn)為，函數(shù)的零點(diǎn)為，則下列不等式成立的是（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：C略6.的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a、b、c成等比數(shù)列，且，則（

）.

A.

B.

C.

D.參考答案：A7.已知，則的值是

－

－

參考答案：C8.已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)到直線的距離的最小值是（

）A．4

B．

C.

D．參考答案：D9.已知，，則（

）A．1

B．

C．

D．參考答案：C試題分析：因?yàn)椋?，故選C.考點(diǎn)：向量的坐標(biāo)運(yùn)算.10.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為DD1的中點(diǎn)，幾何體ABCDEC1的側(cè)視圖與俯視圖如圖所示，則該幾何體的正視圖為（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】根據(jù)側(cè)視圖和俯視圖特征判定幾何體，找出正投影，即可得解.【詳解】結(jié)合俯視圖和側(cè)視圖，根據(jù)幾何體特征，該幾何體為圖中，正投影為，與不在同一平面，所以正視圖為A選項(xiàng)的圖形.故選：A【點(diǎn)睛】此題考查三視圖的識(shí)別，關(guān)鍵在于根據(jù)俯視圖側(cè)視圖結(jié)合幾何體辨析正視圖，易錯(cuò)點(diǎn)在于對(duì)幾何體的棱BE考慮不準(zhǔn)確.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)曲線處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為的值為_(kāi)________.參考答案：略12.在△ABC中，∠BAC＝60°，AD為∠BAC的角平分線，且，若AB＝2，則BC＝_______.參考答案：【分析】由，求出長(zhǎng)度關(guān)系，利用角平分線以及面積關(guān)系，求出邊，再由余弦定理，即可求解.【詳解】,，，，故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查共線向量的應(yīng)用、面積公式、余弦定理解三角形，考查計(jì)算求解能力，屬于中檔題.13.已知指數(shù)函數(shù)f（x）=ax（a＞0且a≠1）的圖象過(guò)點(diǎn)P（2，4），則在（0，10]內(nèi)任取一個(gè)實(shí)數(shù)x，使得f（x）＞16的概率為．參考答案：【考點(diǎn)】幾何概型；指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)．【分析】設(shè)函數(shù)f（x）=ax，a＞0且a≠1，把點(diǎn)（2，4），求得a的值，可得函數(shù)的解析式，進(jìn)而結(jié)合幾何概型可得到答案．【解答】解：指數(shù)函數(shù)f（x）=ax（a＞0且a≠1）的圖象過(guò)點(diǎn)P（2，4），代入可得a2=4，解得a=2，∴f（x）=2x．又∵x∈（0，10]，若f（x）＞16，則x∈（4，10]，∴f（x）＞16的概率P==，故答案為．14.如果執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸入，，則輸出的數(shù)

.參考答案：-415.已知函數(shù)，且，則的值為_(kāi)

．參考答案：16.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，其一條漸近線方程為y=x點(diǎn)P（）在該雙曲線上，則=___________參考答案：略17.已知集合U={1，2，3，4，5}，A={2，4}，B={4，5}，則=

。參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=x3+x2+ax+b（a，b為常數(shù)），其圖象是曲線C．（1）當(dāng)a=﹣2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若存在唯一的實(shí)數(shù)x0，使得f（x0）=x0與f′（x0）=0同時(shí)成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；（3）已知點(diǎn)A為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)A處作曲線C的切線l1與曲線C交于另一點(diǎn)B，在點(diǎn)B處作曲線C的切線l2，設(shè)切線l1，l2的斜率分別為k1，k2．問(wèn)：是否存在常數(shù)λ，使得k2=λk1？若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】壓軸題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（1）先求原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，即可；（2）由于存在唯一的實(shí)數(shù)x0，使得f（x0）=x0與f′（x0）=0同時(shí)成立，則存在唯一的實(shí)數(shù)根x0，即b=2x3+x2+x存在唯一的實(shí)數(shù)根x0，就把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題；（3）假設(shè)存在常數(shù)λ，依據(jù)曲線C在點(diǎn)A處的切線l1與曲線C交于另一點(diǎn)B，曲線C在點(diǎn)B處的切線l2，得到關(guān)于λ的方程，有解則存在，無(wú)解則不存在．【解答】解：（1）當(dāng)a=﹣2時(shí)，函數(shù)f（x）=x3+x2﹣2x+b則f′（x）=3x2+5x﹣2=（3x﹣1）（x+2）令f′（x）＜0，解得﹣2＜x＜，所以f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣2，）；（2）函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為由于存在唯一的實(shí)數(shù)x0，使得f（x0）=x0與f′（x0）=0同時(shí)成立，則即x3+x2+（﹣3x2﹣5x﹣1）x+b=0存在唯一的實(shí)數(shù)根x0，故b=2x3+x2+x存在唯一的實(shí)數(shù)根x0，令y=2x3+x2+x，則y′=6x2+5x+1=（2x+1）（3x+1）=0，故x=﹣或x=﹣，則函數(shù)y=2x3+x2+x在（﹣∞，），（﹣，+∞）上是增函數(shù)，在（，﹣）上是減函數(shù)，由于x=﹣時(shí)，y=﹣；x=﹣時(shí)，y=﹣；故實(shí)數(shù)b的取值范圍為：（﹣∞，﹣）∪（﹣，+∞）；（3）設(shè)點(diǎn)A（x0，f（x0）），則在點(diǎn)A處的切線l1的切線方程為y﹣f（x0）=f′（x0）（x﹣x0），與曲線C聯(lián)立得到f（x）﹣f（x0）=f′（x0）（x﹣x0），即（x3+x2+ax+b）﹣（x03+x02+ax0+b）=（3x02+5x0+a）（x﹣x0），整理得到（x﹣x0）2[x+（2x0+）]=0，故點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為xB=﹣（2x0+）由題意知，切線l1的斜率為k1=f′（x0）=3x02+5x0+a，l2的斜率為k2=f′（﹣（2x0+））=12x02+20x0++a，若存在常數(shù)λ，使得k2=λk1，則12x02+20x0++a=λ（3x02+5x0+a），即存在常數(shù)λ，使得（4﹣λ）（3x02+5x0）=（λ﹣1）a﹣，故，解得λ=4，a=，故a=時(shí)，存在常數(shù)λ=4，使得k2=4k1；a≠時(shí)，不存在常數(shù)，使得k2=4k1．【點(diǎn)評(píng)】本題以函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查曲線的切線，同時(shí)還考查了方程根的問(wèn)題，一般要轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來(lái)解決．19.受轎車(chē)在保修期內(nèi)維修費(fèi)等因素的影響，企業(yè)生產(chǎn)每輛轎車(chē)的利潤(rùn)與該轎車(chē)首次出現(xiàn)故障的時(shí)間有關(guān)，某轎車(chē)制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車(chē)，保修期均為2年，現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌轎車(chē)中隨機(jī)抽取50輛，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：將頻率視為概率，解答下列問(wèn)題：（1）從該廠生產(chǎn)的甲品牌轎車(chē)中隨機(jī)抽取一輛，求首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率；（2）若該廠生產(chǎn)的轎車(chē)均能售出，記生產(chǎn)一輛甲品牌轎車(chē)的利潤(rùn)為X1，生產(chǎn)一輛乙品牌轎車(chē)的利潤(rùn)為X2，分別求X1，X-2-的分布列；（3）該廠預(yù)計(jì)今后這兩種品牌轎車(chē)銷(xiāo)量相當(dāng)，由于資金限制，只能生產(chǎn)其中一種品牌轎車(chē)，若從經(jīng)濟(jì)效益的角度考慮，你認(rèn)為應(yīng)該生產(chǎn)哪種品牌的轎車(chē)？說(shuō)明理由。參考答案：20.（本題滿分12分）如圖棱柱的底面是菱形，平面平面．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）設(shè)，，四邊形的面積為，求棱柱的體積．參考答案：1Ⅰ）略

……6分

（Ⅱ）

……………12分

略21.已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，（1）求：A（2）若a=2，△ABC的面積為；求b，c．參考答案：【考點(diǎn)】HP：正弦定理；%H：三角形的面積公式．【分析】（1）由由已知結(jié)合正弦定理可對(duì)已知化簡(jiǎn)，從而可求tanA，進(jìn)而可求A（2）由a=2，及S=bcsinA=可求bc，然后由余弦定理可得，cosA=可求b+c，可求b，c【解答】解：（1）∵由正弦定理可得，∴sinAsinC﹣cosAsinC=0∴sinA﹣cosA=0∴tanA=∴A=（2）∵a=2，S=bcsinA=∴bc=4由余弦定理可得，cosA=∴∴b+c=4∴b=c=222.如圖5，已知拋物線C:和圓M：，過(guò)拋物線C上一點(diǎn)H作兩條直線與圓M相切于A,B兩