2＝，P(X4)3＝，3322＝，P(2＝，P(X4)3＝，3322＝，P(X6)5＝33第7講

隨機變量的均與方差A

基礎演練

3055一、選擇題(每小題分，共20)1．(2013·墊江模擬)樣本中共有五個個體，其值分別為a,若該樣本的平均值為1，則樣本方差為

()．

65

B.

65

C.2D．解析

由題意，知＋012351解得，＝－s

25

＝2.答案

D2．簽盒中編號1、2、3、4、56六支簽，從中任意取3支，設X為這支簽的號碼之中最大的一個，則X數(shù)學期望為

()．A．5B．5.25．5.8

D．4.6解析

由題意可知，X以取，(X3)

11C3C20206(X5)

C3C14C1026

.

－p≥0則－p≥0則≤≤，ξ)＝＋1≤由數(shù)學期望的定義可求得＝答案

B3．若p為非負實數(shù)，隨機變量ξ的分布為ξ

0

1

2

12

－p

p

12則E()的最大值為

()．A．1

B.

32

C.

23

D．解析

由≥，

113222

.答案

B4．(2013·廣州一模)已知隨機變量＋η8，若～B(10，0.6)，則()，Dη)分別是A．6和2.4．22.4C．2和D．6和5.6

()．解析

由已知隨機變量Xη8所以有η＝－X.此，求得(η)＝－E(X＝810×0.62D(－1)D(X)10×0.6×0.42.4.答案

B二、填空題(每小題分，共10)5．某射手擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布如下：ξ

7x

80.1

90.3

10y已知ξ的期望(ξ)＝，則的值為________．

，121613512144，121613512144解析

x0.1y1即x＝0.6.

①又x0.8＋10y8.9化簡得xy5.4.由①②聯(lián)立解得x0.2＝0.4.

②答案

0.46．(2013·溫調研)已知隨機變量X的分布如表，若E(X)＝0，DX)＝1，則a________，b＝________.

－102

abc

112解析

由題意知

11ab＝＝，ac＝，

解得

a，b，1c答案

51124三、解答題(共25分)7)若隨機事件在一次試驗中發(fā)生的概率為(0<p<1)，用隨機變量表示在一次試驗中發(fā)生的次數(shù)．求方差D(X的最大值；求

2

的最大值．解

隨機變量的所有可能的取值是，并且有P(X＝1)＝p，PX＝0)1－p.從而E(X)＝0×(1－p1p＝p，

22222242＝＝2pp222202022222201020252222222242＝＝2pp2222020222222010202522D()＝－)

×(1p)＋(1p)

×p＝p－

2

.D(X＝p－p＝－.411∵0<p，∴當＝時，D)取最大值，最大值是(2)

211∵0<p，∴＋≥12當2p，即p＝時取“＝”．2D因此當p＝時，取最大值2－22.8(13分)汕頭一模)袋中有20大小相同的球其中記上0號的有10個，記上n的有n個n＝1,2,3,4)．現(xiàn)從袋中任取一球，X示所取球的標號．求X的分布、期望和方差；若η＋b，(η)＝1，D()＝11，試求，的值．解

X的分布為

012

1120

2110

3320

4151∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝11D()1.5)×(11.5)×1.5)××(4－11.5)×＝2.75.由D()＝D()，得×＝11，＝

a332又＋＝＋＝3＋＋＝，·2ba332又＋＝＋＝3＋＋＝，·2ba11又E(＋b，所以當a＝2時，由1＝2×1.5＋b，得b＝－當a＝－2時，由1＝－2×1.5＋b，得b＝，－2，∴或－4，

即為所求．B級

能力突破(時間：分鐘滿分：45)一、選擇題(每小題分，共10)1一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為a得2的概率為b不得分的概2率為ca、b、∈，已知他投籃一次得分的均值為，則＋的最小值為

()．32

B.

283

C.

143

16D.解析

由已知得，3a＋×c2即＋b2其中0<a<，<1.321＋b1a3b12b10≥3a3

＋2

2b16a3當且僅當＝a時取“等號”＋＝2＝＝時，a2b24

214515112133455122214515112133455122252121121212121112122321＋的最小值為，故選D.a3b答案

D2上海)設x<x<x<x≤10x＝隨機變量ξ取值x、x＋＋x＋x＋x＋xx的概率均為0.2，隨機變ξ取值、、、、的概率也均為0.2.若記(ξ、D()分別為ξ、的方差，則A．(D()B．()＝D()C．D(D()D．D()與D()的大小關系與、、x、的取值有關

()．解析

利用期望與方差公式直接計算．(ξ)＝0.2

＋0.2＋0.2＋＋0.2245＝x＋＋x＋x＋12345

)．(ξ)＝0.2

x＋x＋x＋0.2＋…＋0.2×22

x＋512＝x＋＋x＋x＋12345

)．∴E(

1

＝ξ，記作，∴D(

1

＝0.2[(x

－x)－x＋…(－x)2

]＝0.2[x＋x＋…＋25x－＋x＋…＋1225

)x]＝x22…＋x25212

)．

2…＋xxxxx151222…＋1512312…＋xxxxx151222…＋1512311∴D()＝－－22233363292同理D(

2

＝0.2

x＋xx123x2

.2x22∵1，…，1，2xx∴13＋x2x＋x22.D(ξ)>Dξ)．22答案

A二、填空題(每小題分，共10)3．隨機變ξ的分布如下：ξ

－1a

0b

1c1其中a，bc成等差數(shù)列．若(ξ)＝則D()的值是________．解析

根據(jù)已知條件：

1，3解得：a，＝，c，62111×××答案

594．(2013·濱州一模)設l為平面上過點(的直線，l的斜率等可能地?。?5－，－，，，，，用ξ表示坐標原點到l的距離，則隨機變

112122222222222222112122222222222222量ξ的數(shù)學期望(ξ)＝解析

當l的斜率為±2時，直線l的方程為xy10此時坐標原點到l距離＝；當時，＝；當k為±時，＝；當為323時，d1由古典概型的概率公式可得分布如下：ξ

1327

1227

2327

117所以E()＝×＋×＋×＋1＝3737

.答案

47三、解答題(共25分)15．(12)大連二模)甲、乙、丙三名射擊運動員射中目標的概率分別為，a，aa<1)，三人各射擊一次，擊中目標的次數(shù)記為求ξ的分布及數(shù)學期望；在概率ξ＝i)(i＝0,1,2,3)中，若P(＝的值最大，求實數(shù)a取值范圍．解

P()是“ξ個人命中－ξ個人未命中”的概率其中ξ的可能取值為0,1,2,3.1(ξ＝＝a)＝－a，1111(ξ＝＝－a＋－a＋a)a＝(1－a)，

2222222222222222222222222222221－2a22122222222222222222222222222222221－2a2212(ξ＝＝＋－a)a＋(1－a)＝－a)，a(ξ＝＝所以ξ的分布為ξ

0

1

2

3

12

(1－a)

12

(1－a)

12

－a)

a2ξ的數(shù)學期望為1a4＋(ξ)＝0×－a)＋1×－a＋2×a－a)＋×＝.1P(＝－P(＝＝[(1－a

2

－－a

]＝a－)，112a(ξ＝－ξ＝＝[(1a)－(2aa)]＝，112a(ξ＝－ξ＝＝[(1a)－a]＝.由

a2≥，2≥0

1及0<a，得a≤，即a取值范圍是6分)南川模擬隨機抽取某廠的某種產品200，經質檢，其中有一等品件、二等品50、三等品20件、次4件已知生產1一二三等品獲得的利潤分別為6元萬元1元，而1次品虧損2萬．設1產品的利潤(單位：萬元)為ξ.

2002002002020020020020求ξ的分布；求1產品的平均利潤(即ξ的均值)；經技術革新后仍有四個等級的產品但次品率降為1%一等品率提高為70%.如果此時要求1產品的平均利潤不小于萬元，則三等品率最多是多少？思維啟迪本題在求解時，一定要分清求解的是哪一個變量的均值，理清隨機變量取值時的概率．解

由于1產品的利潤為ξ，ξ的所有可能取值為，－2，由題意1265020知P(＝6)＝＝0.63，(ξ＝2)＝＝，P(＝1)＝＝0.1，P(＝－2)4＝＝故ξ的分布為ξ

60.63

20.25

10.1

－20.02(2)1件品的平均利潤為(ξ)＝6×＋×0.25＋1×0.1＋－×＝萬元)．設技術革新后三等品率為，則此時件產品的平均利潤為E()＝6×0.7＋2×(1－0.7－1×x＋－2)×0.01＝－x由E()≥，得4.76－x≥4.73，解得x