第1課時空間向量的概念及線性運算第三章

§2空間向量與向量運算1.經(jīng)歷由平面向量推廣到空間向量的過程，了解空間向量的概念.2.經(jīng)歷由平面向量的運算及其運算律推廣到空間向量的過程.3.掌握空間向量的線性運算.學(xué)習(xí)目標(biāo)導(dǎo)語隨堂演練課時對點練一、空間向量的有關(guān)概念二、空間向量的加減運算三、空間向量的數(shù)乘運算內(nèi)容索引一、空間向量的有關(guān)概念知識梳理1.在空間中，把具有

和

的量叫作空間向量，向量的大小叫作向量的

或

.空間向量用有向線段表示，表示向量a的有向線段的長度也叫作向量a的長度或模，用|a|表示.有向線段的方向表示向量的方向.大小方向長度模2.幾類特殊的空間向量名稱定義及表示相等向量方向

且模

的向量稱為相等向量自由向量數(shù)學(xué)中所研究的向量，與向量的起點無關(guān)，稱之為_________相反向量方向相反且模相等的向量互為相反向量，向量a的相反向量用___表示零向量規(guī)定模為0的向量叫作

，記為0共線向量表示向量的兩條有向線段所在的直線

時，稱這兩個向量互為共線向量或平行向量.規(guī)定：零向量與任意向量____共面向量平行于

的向量，叫作共面向量相同相等自由向量－a零向量平行或重合平行同一平面注意點：(1)平面向量是一種特殊的空間向量.(2)兩個向量相等的充要條件為長度相等，方向相同.(3)向量不能比較大小.(4)共線向量不一定具備傳遞性，比如0.(5)空間中任意兩個向量都是共面向量.例1

(1)下列關(guān)于空間向量的說法中正確的是A.單位向量都相等B.若|a|＝|b|，則a，b的長度相等而方向相同或相反D.相等向量其方向必相同解析A中，單位向量長度相等，方向不確定；B中，|a|＝|b|只能說明a，b的長度相等而方向不確定；C中，向量不能比較大小.√(2)(多選)下列命題為真命題的是A.若空間向量a，b滿足|a|＝|b|，則a＝bC.若空間向量m，n，p滿足m＝n，n＝p，則m＝pD.空間中，a∥b，b∥c，則a∥c√√解析A為假命題，根據(jù)向量相等的定義知，兩向量相等，不僅模要相等，而且還要方向相同，而A中向量a與b的方向不一定相同；C為真命題，向量的相等滿足傳遞性；D為假命題，平行向量不一定具有傳遞性，當(dāng)b＝0時，a與c不一定平行.反思感悟空間向量的概念與平面向量的概念相類似，平面向量的其他相關(guān)概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量等都可以拓展為空間向量的相關(guān)概念.跟蹤訓(xùn)練1

如圖所示，以長方體ABCD－A1B1C1D1的八個頂點的兩點為起點和終點的向量中，(1)試寫出與

相等的所有向量；(2)試寫出

的相反向量；(3)若|AB|＝|AD|＝2，|AA1|＝1，求向量

的模.二、空間向量的加減運算問題1

空間中的任意兩個向量是否共面？為什么？提示共面，任意兩個向量都可以平移到同一個平面內(nèi)，因此空間中向量的加減運算與平面中一致.加法運算三角形法則語言首尾順次相接，首指向尾為和圖形

平行四邊形法則語言共起點的兩邊為鄰邊作平行四邊形，共起點____

為和圖形

知識梳理對角線減法運算三角形法則語言共起點，連終點，方向指向________圖形

加法運算律交換律a＋b＝_____結(jié)合律(a＋b)＋c＝_________被減向量注意點：(1)求向量和時，可以首尾相接，也可共起點；求向量差時，可以共起點.(2)三角形法則、平行四邊形法則在空間向量中也適用.b＋aa＋(b＋c)例2

(1)(多選)如圖，在長方體ABCD

－A1B1C1D1中，下列各式運算結(jié)果為

的是√√故選AB.0解析方法一(轉(zhuǎn)化為加法運算)方法二(轉(zhuǎn)化為減法運算)反思感悟空間向量加法、減法運算的兩個技巧(1)巧用相反向量：向量的三角形法則是解決空間向量加法、減法的關(guān)鍵，靈活運用相反向量可使向量首尾相接.(2)巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進行向量加、減法運算時，務(wù)必注意和向量、差向量的方向，必要時可采用空間向量的自由平移獲得運算結(jié)果.跟蹤訓(xùn)練2

如圖，已知空間四邊形ABCD，連接AC，BD，E，F(xiàn)，G分別是BC，CD，DB的中點，請化簡以下式子，并在圖中標(biāo)出化簡結(jié)果.三、空間向量的數(shù)乘運算問題2

在平面向量中的數(shù)乘運算的方向和大小是如何定義的？提示實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，記作λa，其長度和方向規(guī)定如下：(1)|λa|＝|λ||a|.(2)當(dāng)λ>0時，λa與a同向；當(dāng)λ<0時，λa與a反向；當(dāng)λ＝0時，λa＝0.知識梳理定義與平面向量類似，實數(shù)λ與空間向量a的乘積仍然是一個向量，記作λa.求實數(shù)與空間向量的乘積的運算稱為空間向量的數(shù)乘運算幾何意義λ>0向量λa與向量a的方向____λa的長度是a的長度的

倍λ<0向量λa與向量a的方向____λ＝0λa＝0，其方向是

的運算律結(jié)合律λ(μa)＝_____分配律(λ＋μ)a＝_______，λ(a＋b)＝______，其中λ∈R，μ∈R.相同相反任意|λ|(λμ)aλa＋μaλa＋λb注意點：(1)當(dāng)λ＝0或a＝0時，λa＝0.(2)λ的正負影響著向量λa的方向，λ的絕對值的大小影響著λa的長度.(3)向量λa與向量a一定是共線向量.例3

如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，設(shè)

＝a，

＝b，

＝c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點，試用a，b，c表示以下各向量：(1)解∵P是C1D1的中點，(2)解∵N是BC的中點，(3)解∵M是AA1的中點，延伸探究

1.例3的條件不變，試用a，b，c表示向量解因為P，N分別是D1C1，BC的中點，反思感悟利用數(shù)乘運算進行向量表示的技巧(1)數(shù)形結(jié)合：利用數(shù)乘運算解題時，要結(jié)合具體圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標(biāo)向量轉(zhuǎn)化為已知向量.(2)明確目標(biāo)：在化簡過程中要有目標(biāo)意識，巧妙運用中點性質(zhì).跟蹤訓(xùn)練3

已知四邊形ABCD為正方形，P是四邊形ABCD所在平面外一點，P在平面ABCD上的投影恰好是正方形的中心O，Q是CD的中點，求下列各題中x，y的值.∴x＝2，y＝－2.1.知識清單：(1)向量的相關(guān)概念.(2)向量的線性運算(加法、減法和數(shù)乘).(3)向量的線性運算的運算律.2.方法歸納：類比、三角形法則、平行四邊形法則、數(shù)形結(jié)合思想.3.常見誤區(qū)：應(yīng)抓住向量的“大小”和“方向”兩個要素，并注意它是一個“量”，而不是一個數(shù).課堂小結(jié)隨堂演練1.(多選)下列命題中，真命題是A.同平面向量一樣，任意兩個空間向量都不能比較大小B.兩個相等的向量，若起點相同，則終點也相同C.只有零向量的模等于0D.共線的單位向量都相等1234√解析容易判斷D是假命題，共線的單位向量是相等向量或相反向量.√√1234√12343.設(shè)有四邊形ABCD，O為空間任意一點，且

，則四邊形ABCD是A.平行四邊形 B.空間四邊形C.等腰梯形 D.矩形√∴四邊形ABCD為平行四邊形.123441234解析根據(jù)空間向量的加法運算以及正方體的性質(zhì)逐一進行判斷：課時對點練基礎(chǔ)鞏固123456789101112131415161.下列說法中正確的是A.空間中共線的向量必在同一條直線上B.的充要條件是A與C重合，B與D重合C.數(shù)乘運算中，λ既決定大小，又決定方向D.在四邊形ABCD中，一定有√12345678910111213141516解析對于A，向量共線是指表示向量的有向線段所在直線平行或重合，所以A錯誤；對于C，λ既決定大小又決定方向，所以C正確；綜上可知，正確的為C.123456789101112131415162.向量a，b互為相反向量，已知|b|＝3，則下列結(jié)論正確的是A.a＝b B.a＋b為實數(shù)0C.a與b方向相同 D.|a|＝3√解析向量a，b互為相反向量，則a，b模相等，方向相反，故選D.123456789101112131415163.如圖，在四棱柱的上底面ABCD中，

，則下列向量相等的是√123456789101112131415164.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若

則等于A.a＋b－c B.a－b＋cC.b－a－c D.b－a＋c√123456789101112131415165.如圖，在空間四邊形OABC中，

，點M，N分別為OA，BC的中點，則

等于√綜上，正確的有ABC.123456789101112131415166.(多選)已知平行六面體ABCD－A′B′C′D′，則下列四式中正確的有√√√解析

作出平行六面體ABCD－A′B′C′D′的圖象如圖，C顯然正確；12345678910111213141516解析根據(jù)空間向量的數(shù)乘運算法則可知，12345678910111213141516又∵M是AA1的中點，123456789101112131415169.如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是BB1的中點.化簡下列各式，并在圖中標(biāo)出化簡得到的向量.12345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151610.如圖，設(shè)O為?ABCD所在平面外任意一點，E為OC的中點，若

，求x，y的值.1234567891011121314151612345678910111213141516綜合運用√1234567891011121314151612.如圖，在平行六面體ABCD－A′B′C′D′中，AC與BD的交點為O，點M在BC′上，且|BM|＝2|MC′|，則

等于√12345678910111213141516在平行六面體ABCD－A′B′C′D′中，1234567891011121314151613.如圖，在四面體ABCD中，E，G分別是CD，BE的中點，若記

＝a，12345678910111213141516解析在四面體ABCD中，E，G分別是CD，BE的中點，12345