第4章數(shù)值運(yùn)算基礎(chǔ)MATLAB的計(jì)算包括數(shù)值計(jì)算和符號(hào)計(jì)算兩類，本章將帶大家學(xué)習(xí)數(shù)值計(jì)算部分。其中將主要學(xué)習(xí)與我們專業(yè)密切相關(guān)的多項(xiàng)式、方程組求解、數(shù)據(jù)分析和數(shù)字信號(hào)處理的快速傅里葉變換。1物理與電氣工程學(xué)院第1節(jié)多項(xiàng)式polynomial

MATLAB用行向量表示多項(xiàng)式。將多項(xiàng)式的系數(shù)按降冪次序存放在行向量中。如：的系數(shù)行向量為

注意：多項(xiàng)式中缺少的冪次系數(shù)一定要用“0”補(bǔ)齊。2物理與電氣工程學(xué)院一、創(chuàng)建多項(xiàng)式1、系數(shù)矢量直接輸入法在命令窗口直接輸入多式的系數(shù)向量【例4-1】輸入系數(shù)矢量，創(chuàng)建多項(xiàng)式x^3-4*x^2+3*x+2。p=[1

-4

3

2]poly2sym(p)%將矢量P表示為多項(xiàng)式的手寫形式Polynomialcoefficientvectortosymbolicpolynominal3物理與電氣工程學(xué)院2、方陣特征多項(xiàng)式輸入法p=poly(A)

若A為n×n的矩陣，則返回值P將是一個(gè)含有n+1個(gè)元素的行向量，也就是該矩陣特征多項(xiàng)式的系數(shù)

【例4-2】求矩陣[123;456;780]的特征多項(xiàng)式系數(shù)，并轉(zhuǎn)換為多項(xiàng)式形式。a=[123;456;780];p=poly(a);poly2sym(p)%將矢量P表示為多項(xiàng)式的手寫形式d1=roots(p)%由特征多項(xiàng)式求得的特征值d2=eig(a)%由特征值函數(shù)求得的特征值43、根矢量創(chuàng)建p=poly(A)A為待求多項(xiàng)式的根矢量，則返回值將是對(duì)應(yīng)多項(xiàng)式的系數(shù)行矢量，該多項(xiàng)式的根為矢量A。此時(shí)p=poly(A)與A=roots(p)互逆。系統(tǒng)定義P0=1。A＝[x1x2x3]p=[1p1p2p3]5【例4-3】根據(jù)根矢量[-0.5-0.3+0.4i-0.3-0.4i]，創(chuàng)建多項(xiàng)式r=[-0.5-0.3+0.4i-0.3-0.4i];p=poly(r)pr=real(p)ppr=poly2sym(pr)二、多項(xiàng)式運(yùn)算

1、求多項(xiàng)式的值MATLAB的多項(xiàng)式求值方式有兩種，按數(shù)組運(yùn)算規(guī)則和按矩陣運(yùn)算規(guī)則計(jì)算多項(xiàng)式的值。y=polyval(p,x)按數(shù)組規(guī)則運(yùn)算，計(jì)算多項(xiàng)式在x處的值，p是多項(xiàng)式的系數(shù)矢量；x是指定自變量的值，可以是標(biāo)量、向量或矩陣。如果x是向量或矩陣，則函數(shù)的返回值是與x對(duì)應(yīng)的同維向量或矩陣。

6【例4-4】求多項(xiàng)式3x^2+2x+1在5、7和9處的值。p=[321];polyval(p,[579])y=polyvalm(p,x)將矩陣整體（而不是矩陣元素）作為自變量進(jìn)行計(jì)算。p是多項(xiàng)式的系數(shù)向量；相當(dāng)于用矩陣x代替多項(xiàng)式的變量對(duì)矩陣而不是對(duì)數(shù)組進(jìn)行計(jì)算，x必須是方陣【例4-5】求多項(xiàng)式3x^2+2x+1對(duì)于矩陣[25;79]的值p=[321];polyvalm(p,[25;79])7物理與電氣工程學(xué)院2、求多項(xiàng)式的根

格式：C=roots(p)p為多項(xiàng)式的系數(shù)矢量，C為函數(shù)返回多項(xiàng)式的根矢量如果C為復(fù)數(shù)，則必成對(duì)出現(xiàn)?！纠?-6】分別用兩種方法求多項(xiàng)式x^5-5x^4+3x^3-6x^2+4x-10的根。a=[1-53-64-10];r=roots(a)8物理與電氣工程學(xué)院3、多項(xiàng)式的乘除運(yùn)算多項(xiàng)式的乘法conv

格式：

c=conv(a,b)多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算,也是矢量的卷積運(yùn)算向量a長(zhǎng)度為m，向量b長(zhǎng)度為n，a和b的卷積定義為：運(yùn)算結(jié)果矢量c為長(zhǎng)度k=m+n-1

【例4-7】計(jì)算兩多項(xiàng)式x^4-5x^3+3x^2-4x+2和x^3+2x^2-5x+3的乘法a=[1-53-42];b=[12-53];c=conv(a,b)poly2sym(c)9物理與電氣工程學(xué)院多項(xiàng)式的除法deconv

格式：[q,r]=deconv(c,a)

多項(xiàng)式的除法運(yùn)算，也是矢量的解卷積運(yùn)算過(guò)程。

向量a對(duì)向量c進(jìn)行解卷積得到“商”向量q和“余”向量r。

q和r分別是商多項(xiàng)式和余多項(xiàng)式；c和a分別是被除多項(xiàng)式和除多項(xiàng)式，使得：c=conv(a,q)+r【例4-8】計(jì)算例4-7中求得的乘積被x^3+2x^2-5x+3除所得結(jié)果

c=[1-3-1230-3633-226];

b=[12-53];

[q,r]=deconv(c,b)104、多項(xiàng)式微積分polyder(p)返回多項(xiàng)式系數(shù)向量p的導(dǎo)數(shù)【例4-9】計(jì)算多項(xiàng)式3x^4-5x^3+2x^2-6x+10的微分。p=[3-52-610];dp=polyder(p)poly2sym(dp)polyint(p)返回多項(xiàng)式系數(shù)p的積分【例4-10】計(jì)算多項(xiàng)式12x^3-15x^2+4x-6的積分。p=[12-154-6];ip=polyint(p)poly2sym(ip)11物理與電氣工程學(xué)院5、多項(xiàng)式的部分分式展開(kāi)MATLAB提供了residue命令來(lái)執(zhí)行部分分式展開(kāi)或多項(xiàng)式系數(shù)之間的轉(zhuǎn)換。該命令通常用于信號(hào)與控制領(lǐng)域中。格式如下：[r,p,k]=residue(b,a)該命令是求多項(xiàng)式之比b(s)/a(s)的部分分式展開(kāi)，返回留數(shù)r、極點(diǎn)p和直項(xiàng)向量k。a和b分別是分母和分子多項(xiàng)式的系數(shù)向量[b,a]=residue(r,p,k)上一條語(yǔ)句的逆過(guò)程，只是分母多項(xiàng)式系數(shù)以歸一化形式：最高次項(xiàng)系數(shù)a(1)為1。12物理與電氣工程學(xué)院如果分母多項(xiàng)式a(s)不含重根，則兩個(gè)多項(xiàng)式可寫成如下形式：其中，pi稱為極點(diǎn)，ri稱為留數(shù)，k(s)是直項(xiàng)。如果b的次數(shù)低于a的次數(shù)，則直項(xiàng)為空。如果分母多項(xiàng)式a(s)含m重根p(j)=…=p(j+m-1),則這m項(xiàng)應(yīng)展開(kāi)為13b(x)5x^3+3x^2-2x+7【例3-11】?jī)啥囗?xiàng)式的比為——=————————,a(x)-4x^3+8x+3求部分分式展開(kāi)。a=[-4083];b=[53-27];[r,p,k]=residue(b,a)[b1,a1]=residue(r,p,k)%分母最高次項(xiàng)歸1[r2,p2,k2]=residue([11],[1-21])%出現(xiàn)重根筆算結(jié)果=？14物理與電氣工程學(xué)院6、多項(xiàng)式擬合對(duì)于給定的一組數(shù)據(jù){(xi

,yi)，i=1,2,…,n},如果要采用多項(xiàng)式模型對(duì)數(shù)據(jù)組進(jìn)行描述，形成如多項(xiàng)式y(tǒng)(x)=f(x,p)=p1xn+p2xn-1+p3xn-2+…+pn+1的形式，求取參數(shù)p使得量值χ2(p)的值最小的過(guò)程，稱為對(duì)數(shù)據(jù)組進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，其中MATLAB系統(tǒng)設(shè)計(jì)polyfit函數(shù)采用最小二乘法原理對(duì)給定的數(shù)組{(xi,yi)，i=1,2,…,n}進(jìn)行多項(xiàng)式的曲線擬合，最后給出擬合的多項(xiàng)式系數(shù)。15物理與電氣工程學(xué)院p=po紫ly已fi艙t(柜x,恩y,兄n)其中啊，x,猾y分別發(fā)表示旺橫、晴縱坐舟標(biāo)向誤量；n是給治定的體擬合朋多項(xiàng)朋式的最高陶階數(shù)，返謀回一迫個(gè)多聽(tīng)項(xiàng)式瀉系數(shù)糾向量p。如n=龜3,若p=士[1轎0作.5麻1礙2以],則y=1*x肺^3潮+0緒.5嫩*x伐^2痕+1漸*x廣^1柏+2還*x備^0[p,凝S]=po酬ly鋪fi躺t(須x,看y,挪n)返回n階多偉項(xiàng)式亮系數(shù)p,S為誤蟲(chóng)差估本計(jì)結(jié)差構(gòu)[p,吃S,坐mu]=po或ly破fi叫t(潔x,六y,現(xiàn)n)對(duì)歸策一化急以后亭的數(shù)元據(jù)進(jìn)妄行多安項(xiàng)式硬擬合廚，用x=(必x-猴u1)/擠u2替代x，其戒中mu=[輕u1u2],徑u1=m膜ea掩n(械x)璃,u2=st那d(介x)16物理傅與電您氣工罵程學(xué)往院【例3-幣13秒】求誤悅差函奮數(shù)的6階擬勢(shì)合多料項(xiàng)式蒜。x愁=飾(0愧:腐0.歇1:俱2饑.5肚)'恩;鋒%生成0至2.聲5間隔庭為0.忙1的自恰變量y喝=er糞f(拒x);火%計(jì)算授誤差斧函數(shù)p滾=靠po紙ly糧fi步t(跳x,講y,明6)筍%求6階擬蔬合多朝項(xiàng)式x彈=奸(0供:插0.區(qū)1:閥5枝)'嫌;壁%生成0至5間隔賺為0.狗1的自祖變量y1魄=勢(shì)e悠rf世(x濫);頁(yè)%計(jì)算喬誤差呈函數(shù)f=po母ly孫va智l(負(fù)p,救x);榮%計(jì)算違擬合洞函數(shù)盾的值pl冶ot忍(x哭,y層1,'o撕',催x,瘋f,'矮-'獎(jiǎng))辮%繪圖泡函數(shù)[p溪0,獲s0筆,m連u0仁]聰=據(jù)po巾ly周fi敵t(朋x,紡y,寶6)重%押x=午(x-終me茶an純(x貓))火/s廢td贈(zèng)(x)[p裙1,軋s1你,m置u1碧]棵=鍬po貪ly渴fi合t(嚇(x年-m乳u(欄1)艱)/淡mu求(2毯),寶y,途6)可以爛看出筍，擬秧合區(qū)疊間[0扶2質(zhì).5蓬]內(nèi)擬合極曲線勸擬近轉(zhuǎn)原曲赴線，而在鎖區(qū)間惕以外的曲椒線誤徒差較滿大17物理但與電杜氣工見(jiàn)程學(xué)乏院第2節(jié)卸線性煤代數(shù)給定祖兩個(gè)倦矩陣A和B,求X的解,使得:AX=BXA=量B在MA胖TL箏AB中，惹求解眠線性示方程喊組時(shí)途，主市要采肢用前刮面章愿節(jié)介嶺紹的彎除法鳥(niǎo)運(yùn)算章符“\”和“/”求解揪：X=巷A\絲式B是AX補(bǔ)=B的解X=厚B/智A是XA怖=B的解對(duì)于覽方程AX己=B，要測(cè)求矩勺陣A和B有相況同的想行數(shù)岸；X和B有相些同的救列數(shù)錫，且壞它們柏的行只數(shù)等酷于A的列貝數(shù)。18物理沖與電車氣工看程學(xué)節(jié)院根據(jù)拾矩陣A的結(jié)容構(gòu)(m焦,必n），梯可以琴將方缸程分奏為以研下3類：m=頓n方陣應(yīng)系統(tǒng)嶼，可司償試潑求精莫確解m>榜n超定衡系統(tǒng)柏，可辰償試紛求最覺(jué)小二叮乘解m<甘n欠定跡系統(tǒng)狐，可辭償試邀求少m個(gè)非依零解“反斜狂線運(yùn)姜算因庫(kù)子”對(duì)于鞏不同焰結(jié)構(gòu)飽矩陣A，將艙采用蝴不同紋的算肯法處餓理。MA范TL池AB會(huì)自動(dòng)咐檢測(cè)參數(shù)揉特性,選擇患運(yùn)用不同爽的算溜法解方壁程組嬌。19物理芹與電問(wèn)氣工潛程學(xué)凍院一、他方陣丸系統(tǒng)由n個(gè)未農(nóng)知數(shù)煎構(gòu)成n個(gè)方炒程，欲方程真有唯超一的愧一組紐奉解，夢(mèng)其一工般形近式寫副成如釣下形揉式：Ax烤=b其中A是方唐陣，b是列朽向量格式卻：x=千A\什bA為非圣奇異秋，且吼條件斜數(shù)不焦大：x精確A為非杜奇異秤，且敞條件悶數(shù)很坊大：底注意鋒解的羊可靠壇性A為奇侮異：蓬解不杏存在浪或存懷在但幸不唯陜一A為接靠近奇茂陣或啄病態(tài)訴矩陣Ma賴tr雅ix淚i月s旋cl正os驕e蔽to豎s挺in訊gu臘la巷r翼or磨b訂ad貞ly吊s劃ca育le它d.Re等su瓦lt威s村ma譯y釣be牙i徹na宴cc拐ur蠻at規(guī)e.盡量割使用城格式贊：x=匠A\捆b,而不濃用格籍式：x=in煎v(滲A)*雀b20【例4-他14疤】火a為方牢陣，b為矢草量，襪求方順陣系斜統(tǒng)的香根。a=彎fi膠x(討15櫻*r進(jìn)an勸d(約3,蘋3)竄)b=瀉fi亮x(忌15饞*r校an泊d(翼3,欠1)扭)de彩t(慌a)co猛nd綿(a)x=序a\孝b【例4-坐15旋】返a和b均為墊方陣芬，求賄方陣雁系統(tǒng)冠的根腎。a=虛fi妹x(主15賺*r傲an速d(俗3,偽3)懲)b=縫fi羊x(睛15乎*r牌an遙d(說(shuō)3,獸3)遺)x=尊a\久b21物理框與電廣氣工愛(ài)程學(xué)想院二、淡超定喊系統(tǒng)方程姓組Ax診=b，A為m×呈n矩陣,如果A列滿慕秩,且m>確n,則方獎(jiǎng)程沒(méi)詠有精欠確解,此時(shí)視方程易組為聚超定膚方程妹組。援一般執(zhí)采用麻最小剝二乘腐法。左除搬法：x=岡A\揀b建立繞在奇畏異值叫分解軋基礎(chǔ)吐之上廣義鎖逆法鐮：x=pi碑nv驗(yàn)(A)*鼻b速度置較快藍(lán)，可吧靠性活較差隆一些實(shí)驗(yàn)戰(zhàn)中數(shù)抹據(jù)的牛曲線患擬合舉就是霧就可朽以解火超定馬方程哪組的憐方法撞來(lái)解前。一飼般情鄰況下劫需要櫻將非線請(qǐng)性問(wèn)狼題轉(zhuǎn)換圍為線性券問(wèn)題來(lái)解星決22物理裳與電挑氣工菊程學(xué)周院一組題實(shí)驗(yàn)零數(shù)據(jù)蜓，時(shí)徹間t和測(cè)牙量數(shù)覆據(jù)y，如栽下表若所示：itexp(-ti)yi10.010.8220.30.7400.7230.80.4490.6341.10.3320.6051.60.2020.5562.20.1110.5認(rèn)為x和y有上式的關(guān)墊系式倒，則京由6組實(shí)蛇驗(yàn)數(shù)旬據(jù)就莫可形攀成超叉定方墊程組艇，就帝可求訊解出C1和C2。使降得將t代入滾函數(shù)透得到窄的值釀與實(shí)液際y值之蠻間差值的最小始平方爆和最小如何敵以矩曾陣的委形式撈表示途？23物理偏與電悔氣工陰程學(xué)爛院【例4-1巧6】罷求表景中數(shù)喊據(jù)的肚最小假二乘趣解。t=電[0兆0惑.3暑0肚.8婦1輕.1扛1纖.6鵝2忘.3錄](méi)'淹;y=臟[0咬.8算2桑0.術(shù)72瓜0脾.6順3場(chǎng)0.偏60濫0沿.5狹5將0.壁50刑]'來(lái);e=褲[o炎ne侍s(厘si主ze廣(t臟))魂e告xp鞭(-挺t)]%6組實(shí)碰驗(yàn)數(shù)赴據(jù)變膚換得饒到的c=狀e\也ycp帥=p怎in礎(chǔ)v(扮e)濃*yt1違=[歡0:卸0.癢1:砍2.蔥5]太';y1穗=[勵(lì)on病es架(s輸iz儉e(腸t1凝))捷,e廁xp垃(-此t1想)]栗*c逮;yp匯=[張on賞es棚(s紫iz嗎e(鉆t1奴))瀉,e朋xp聲(-監(jiān)t1代)]足*c朵p;pl昏ot而(t,靈y,t1遷,y精1,盼'r者o'朽,t1攀,y芽p,搬'b腫*')24物理仰與電亡氣工脫程學(xué)汪院三艱、欠古定系啟統(tǒng)程組Ax但=b，A為m×民n矩陣,如果m<濫n,即未丘知數(shù)司的個(gè)消數(shù)多柴于方孟程的側(cè)個(gè)數(shù)旗，理乏論上諷有無(wú)長(zhǎng)窮個(gè)渾解，MA丟TL敲AB尋求休一個(gè)基本逆特解左除垮法：x=森A\發(fā)b最少咐元素忍解廣義量逆法香：x=pi話nv芬(A)*殲b最小脆范數(shù)六解【例3-詢17虹】求解贊欠定棍系統(tǒng)陶。a=根fi俗x(丙15混*r瞎an兄d(揪2,跌3)寒);b=嬸fi頑x(淋15骨*r畜an擊d(奮2,表1)羅)p=昆a\每b25物理修與電經(jīng)氣工糟程學(xué)四院【例4-蛇18檔】使用桑兩種殲方法避求解副欠定歉系統(tǒng)減。a=表[1朗1莖1步;1購(gòu)1蔑-外1]替;b=盒[1繳0供6秋]‘優(yōu);p=蠢a\庸bno羊rm剝(p離)a*推p-約bq=臘pi錦nv滾(a債)*晚bno恢rm娛(q鞏)a*德q-競(jìng)b26物理總與電敘氣工避程學(xué)媽院第3節(jié)項(xiàng)數(shù)據(jù)勒分析MA猜TL宰AB對(duì)數(shù)決據(jù)分站析函廁數(shù)有波兩條轟約定范：輸入沈參數(shù):向量布，則狹不論煙是行踩向量址還是疼列向膀量，倍運(yùn)算杯都是止對(duì)向量把整體進(jìn)行哄的輸入利參數(shù):矩陣屬，則借運(yùn)算趴是按列進(jìn)行左的一、問(wèn)基本儉統(tǒng)計(jì)卡命令me劫an忍(x)均值凝或期律望me寧di掌an裁(x)中位棵數(shù)，刑排序遺后中塌間的眾那個(gè)災(zāi)數(shù)(或中澇間兩邊個(gè)數(shù)刃的均蒼值)va它r(盾x)方差st堆d(榨x)標(biāo)準(zhǔn)見(jiàn)差27su范m(糧x)求和ma而x(x)最大鉤值mi霞n(x)最小黑值su顧m(x)求和pr蛾od境(x)求積sx帶=c扭um頑su牌m(延x)逐元獻(xiàn)素累叼和,s棋x結(jié)構(gòu)昆同xpx切=c禁um細(xì)pr月od塵(x翠)逐元輩素累腐積,p割x結(jié)構(gòu)味同x[xs桂,x宣n]啟=s法or頸t(址x)升序符排序諒，xs為重新驅(qū)排序后數(shù)寧據(jù)，xn為xs各元估素在x中的原始古位置y=陽(yáng)so盜rt哈ro妥ws表(x諒,n)矩陣x以第n列為傻基準(zhǔn)昌，按遞增順序馬排列28物理效與電生氣工蚊程學(xué)野院【例4-掙19乓】基本暢統(tǒng)計(jì)廚函數(shù)幅的應(yīng)搬用。A=灑fi輝x(臺(tái)10獎(jiǎng)*r垂an提dn資(4晃,4星))殃;Am橡ed=me禿di算an掀(A)脊;Am毀ea銅n=me狡an旗(A)Av決ar=va資r(跡A);As換td=st殲d(很A)擇%等同擋于st股d(譜A,悠0)滑;As鎮(zhèn)td哨1=壓st禍d(小A,裁1)%s壘td縱(A偏)^喉2是對(duì)A方差館的最因佳無(wú)恨偏估杯計(jì)Am雄ax喂=ma晝x(雞A);Am濕in=mi運(yùn)n(礎(chǔ)A)As錄um=su廈m(徹A);Ap擱ro別d=pr島od賓(A)Ac弊u(yù)m閣su嗎m=cu法ms要um內(nèi)(A)Ac列um鉤pr國(guó)od=cu魔mp挖ro百d(柄A)[As它,A蹲n]=so斜rt矩(A)29物理絲式與電班氣工血程學(xué)茂院有關(guān)正態(tài)旱分布的幾源個(gè)常遷用函機(jī)數(shù)fp=no厚rm春pd幸f(x,mu,嗓si偵gm要a)正態(tài)響分布揪密度齊函數(shù)罪在x處的懂值,mu=me炸an援(X),批s夜ig愛(ài)ma殲=st嘉d(略X)P=香no職rm夏cd浙f(x0,mu,鋼si咱gm窩a)正態(tài)逝分布銹隨機(jī)以變量聾小于狐等于x0的累積概率酒值x0=no憲rm俗in提v(癥P,mu,克si安gm當(dāng)a)正態(tài)旅分布嚼逆累漏積函瓶數(shù)，p=筐P｛X≤艷x0｝。與no葛rm搬cd餐f是互陰逆的pr躬ob唐ab氣il氏it在y格de銀ns久it牧y概率戲密度cu楊mu莖la梳t(yī)i蜻ve精d尚is必tr息ib占ut掘io攀n累計(jì)翁分布in誘ve從rs侵e相反純的30物理冰與電逐氣工通程學(xué)箏院附加同：no襯rm股_1x=跌-3每0:劃0.佛1:區(qū)30劍;yn閘or敬m=n嶺or咸mp歲df若(x攏,0躲,1吉)%標(biāo)準(zhǔn)逢正態(tài)閘分布yn卸or養(yǎng)m1魚(yú)=n會(huì)or準(zhǔn)mp櫻df昆(x祥,3班,2既)%中心媽點(diǎn)由例期望召值確贊定，腿方差筋越大過(guò)分布濁越分功散pl侍ot媽(x獲,y作no貫rm寸,x臂,y腰no耗rm極1)31物理方與電謊氣工蠻程學(xué)佛院附加芒例no響rm景_3冊(cè):設(shè)X~評(píng)(3匙,2心^2加)，求P{葵X<的3}野,P錢{2＜X<威5}p1弦=n熄or杰mc附df粱(3洪,3械,2裳)p2柜=n既or蜓mc梢df事(5騙,3指,2菌)砍-套no權(quán)rm慨cd委f(界2,蛛3,岸2)32物理紀(jì)與電鴉氣工共程學(xué)攀院附加脂例no團(tuán)rm妙_3嚴(yán):設(shè)X~終(3勝,2漿^2靈),確定c,使得P{背X>鏟c}寇=0綱.6照12c=噴no榨rm掩in難v(擴(kuò)0.建61丙2,男3,助2)p=惰no沈rm勾cd役f(夕c,濤3,懇2)步%用于逆驗(yàn)證33物理闊與電代氣工移程學(xué)嘗院二、駛協(xié)方料差矩長(zhǎng)陣和驢相關(guān)為陣C=co樣v(偷x)如果x是向稈量，博則返糠回C是該信向量海的方罵差,C是一撫個(gè)標(biāo)懇量；C=co餅v(扒x)如果x是矩陷陣，茶則每翠一列團(tuán)相當(dāng)席于一蠟個(gè)變惜量，針?lè)祷谻是該抽矩陣古的列盡與列園之間霸的協(xié)外方差威矩陣褲：C是一宵個(gè)列霜數(shù)與x相同左的對(duì)倆稱方杏陣，請(qǐng)主對(duì)容角線凍元素臘是x對(duì)應(yīng)礎(chǔ)列矢天量的壞方差c(押i,彼j)=me煮an個(gè){[柴x(揮:,擊i)石-m資ea正n(渠x(嬌:,熊i)摧][蜻x(訊:,普j)災(zāi)-m量ea左n(羅x(趁:,苗j)]姑}C=co銀v(閑x,曠y)首x和y是同敢維向攔量或忍矩陣敲，相垂當(dāng)于co撥v(聞[x(:脹)澆y(早:)端])耐,既先造將x和y按展擦開(kāi)成列向量,再求嘴這兩辰個(gè)列睛向量角的協(xié)蓮方差di籠ag亦(c戴ov戲(x))如果x是矩輛陣，伴則C就是在該矩孔陣每衫個(gè)列向量瓜的方吐差34S=co漆rr鉆co灣ef阻(x)計(jì)算x的相雞關(guān)系欠數(shù)矩講陣S，將x的每獸一列視為竄一個(gè)慈變量隊(duì)，S(i,冠j)是i列與j列之旅間的觀相關(guān)靈系數(shù)玻。對(duì)于徹輸入辣矩陣x，相姻關(guān)系心數(shù)矩灑陣S和協(xié)皂方差便矩陣C之間踏的關(guān)糧系為?。篠=co肯rr憶co脂ef處(x室,y)相當(dāng)授于co料rr沒(méi)co醋ef禁([袋x(:績(jī))脆y(姥:)絮])，即番先將x和y按展單開(kāi)成列向量,再求蠟這兩迎個(gè)列童向量敬的相衰關(guān)系S為對(duì)細(xì)稱矩鉤陣，主對(duì)淡角線取元素狐值為135物理?yè)]與電今氣工為程學(xué)根院【例4-責(zé)20瓜】計(jì)算歐協(xié)方墳差和四相關(guān)爸系數(shù)膠矩陣嘗。x=棕ra斤nd朋(1油0,籮3)封;y=花ra逆nd都(1丙0,殖3)供;z=扒ra奏nd歌(1繪,1泳0)cx=co愚v(積x)cy魔=co禽v(手y)cz=co插v(資z)vz=va舅r(決z)cx絲式y(tǒng)=co勵(lì)v(卸x,續(xù)y)36物理怎與電撲氣工五程學(xué)腳院三、麻微分遭、差體分與陽(yáng)梯度1、微宜分及綱差分計(jì)算縱數(shù)值棵向量別或矩傍陣的誰(shuí)數(shù)值反差分豎。對(duì)權(quán)于一極個(gè)數(shù)銅值向筆量或趙矩陣F，di役ff撕(F)就是匪計(jì)算F(菌2:態(tài)m,賄:)召-F殼(1訓(xùn):m猛-1舟,:惑)，其通調(diào)用摩格式費(fèi)為：Y=江di待ff館(況F,閘n叛,走di捐m)其中俘，F(xiàn)是向逃量或攏數(shù)組循，n是差堡分階騰數(shù)，di零m是指糊定沿劉著數(shù)照組的密哪一罪維進(jìn)廁行差鐵分。di妄ff宜er嗚en邊ce微分練，差差分de廢ri叉va稅ti鑄ve導(dǎo)數(shù)37物理烈與電蛙氣工千程學(xué)和院【例4-拿21沉】計(jì)算辨三維輕數(shù)組方的差中分。a=德ra邪nd吉(3爐,3金,2捉)di永ff養(yǎng)(a)惠%1階差木分，曬列內(nèi)di矛ff米(a梁,2舍)%第2階差套分，岔列內(nèi)di伙ff腐(a膚,3毛)明%第3階差宜分，龜行內(nèi)di情ff旦(a染,4擺)臥%第4階差院分，榜行內(nèi)di箏ff竭(a橡,5阿)%第5階差置分，癥頁(yè)間di殊ff妙(a緩,6歌)%第6階差森分，析空38物理權(quán)與電疲氣工紙程學(xué)乓院2、近占似梯飯度gr底ad謹(jǐn)ie顫nt函數(shù)他用來(lái)債進(jìn)行賣數(shù)值楚梯度錯(cuò)的計(jì)系算，統(tǒng)一般見(jiàn)情況臨下，譯函數(shù)F(掃x,比y,配z,…絡(luò))的梯戒度定辭義為見(jiàn)：[F譽(yù)X,壯FY小]=解gr勺ad慰ie江nt羅(F尺,h蓮1,斧h2掙)[F跟X,枝FY另,F羽Z]臂=g不ra狼di胖en益t(點(diǎn)F,夾h1芹,h恒2,至h3肆)FX、FY、FZ分別雙按矩夠陣的辮列、敬行、椒頁(yè)方冠向；h1掃,h役2,苗h3指定罵點(diǎn)間攔隔39物理移與電熄氣工耐程學(xué)悟院【例4-盲22也】計(jì)算郵表達(dá)短式xe獄^(頭-x簡(jiǎn).^裂2跟-秩y.盒^2甜)的梯乖度。v殺=丙-2傭:0名.2稿:2鐵;%生成-2到2間隔弄為0.襪2的自錢變量[x,品y]揪=me扯sh賓gr磨id雪(v);%產(chǎn)生扯數(shù)據(jù)盟網(wǎng)格z絨=切x線.*硬e黃xp邀(-俯x.奇^2越-是y均.^醬2)學(xué);%計(jì)算z[px悲,p弄y]界=殊gr噴ad長(zhǎng)ie借nt末(z眉,.泥2,到.2誤);%求二叮維梯榜度co尋nt盯ou族r(盼x,植y,搬z)%繪制怠等高管線ho仆ld佳o涉n%保持容繪圖qu張iv也er青(x秩,y透,p哨x,鋪py)%繪制比矢量活圖，抖動(dòng)ho饒ld光o叉fffi貓gu縱reme懷sh嗽(x烏,y笛,z)40物理列與電工氣工邁程學(xué)善院第4節(jié)蠢插值插值(I味nt蔥er陜po酒la旬ti牽on眼)是在螺原始活數(shù)據(jù)杰點(diǎn)之?dāng)y間按確照一攔定的綿關(guān)系騰插入省新的惕數(shù)據(jù)紙點(diǎn)，塔以便逆能較鑄準(zhǔn)確青地分幻玉析數(shù)法據(jù)的補(bǔ)變化頭規(guī)律麥。一、閥一維墾插值一維餃插值么就是市對(duì)一肢維函撕數(shù)y=f(x)的數(shù)塊據(jù)進(jìn)窄行插漫值:yi=i以nt翁er歲p1溜(x怪,y竭,xi,m劑et叮ho深d)它是木在“基植準(zhǔn)”數(shù)據(jù)趣的基血礎(chǔ)上侵，研良究如舉何“瓶平滑住”地壁估算儉出“西基準(zhǔn)黎”數(shù)高據(jù)間蓮其他搞點(diǎn)的懷函數(shù)鎮(zhèn)值。原始艦數(shù)據(jù)久點(diǎn)（x,凈y）,x為橫客坐標(biāo)耽向量頑，y為縱詠?zhàn)鴺?biāo)哪向量母；xi待插虛值點(diǎn)倍的橫而坐標(biāo)漸，yi為插污值函奶數(shù)計(jì)降算出剛的待秩插值貼點(diǎn)的批縱坐閑標(biāo)41X的數(shù)天據(jù)必拐須按單調(diào)方式濫排列如果y為矩陣，則躁插值渠將按翻照y的列向量盾進(jìn)行xi為指氧定的酷擬插屑值點(diǎn)諒的橫詞坐標(biāo)素，yi是在xi指定勤位置腔計(jì)算龜出的搜插值傻結(jié)果如果xi的某狐元素xi(i)超出x的定托義范談圍，那砍么線帖性插估值和闖最近跪鄰插著值方咽法將毫相應(yīng)西的yi吳(i)將取茶值為Na陽(yáng)n。42物理襖與電揪氣工瘦程學(xué)溫院me叉th剛od用于紅指定呆插值衡的方橋法，融缺省題時(shí)默途認(rèn)采膊用線膨性插遺值方電法Method含義特點(diǎn)和用途Linear線性插值用作連接圖上的數(shù)據(jù)點(diǎn)Cubic三次多項(xiàng)式插值精度高、速度慢，平滑性好spline三次樣條插值精度最高、速度最慢，最平滑nearst最近領(lǐng)域插值精度低、速度快43物理梅與電頸氣工膨程學(xué)選院【例4-2育3】場(chǎng)一維誰(shuí)插值島函數(shù)襖插值尚方法蠟的對(duì)剛比。x=0:吼10墓;y=si賀n(乳x);xi濟(jì)=0適:.填25塔:1盈0;%將插出值方丙法定捏義為盯單元層數(shù)組st載rm兩od={耗'ne澤ar禍es貨t'田,'沒(méi)li太ne耐ar瓜',套's隊(duì)pl北in化e'衰,'常cu首bi待c'}%蜓將X嚴(yán)軸標(biāo)啞識(shí)定腳義為柄單元撕數(shù)組st問(wèn)rl冷b={毒'(豈a)車m沸et糞ho慮d=揪ne蒸ar晃es劉t'耍,改'(用b)氣m何et偵ho航d=方li常ne補(bǔ)ar賭',箏..亡.'(倡c)成m盟et挺ho拒d=sp萬(wàn)li守ne',炊'濁(d啄)籃me板th演od瓜=c鉗ub賭ic狐'}閘;fo辜r送i=成1:仁4yi=i賤nt澡er直p1推(x筍,y著,x肅i,窄st傾rm哄od暢{i瞎})還;su笛bp登lo破t(贊2,挽2,消i)略,p虧lo海t(傳x,勵(lì)y,超'r瓦o'似,x吧i,栗yi喜,'巧b'立)xl就ab聲el報(bào)(s哲tr唉lb勺(i))en盾d44物理炎與電旁氣工護(hù)程學(xué)梢院sp始li男ne三次普樣條莊插值堤函數(shù)yi=sp費(fèi)li撤ne售(x坑,y捆,x桃i)參數(shù)裂使用睡方法嗎與in扁te釀rp系1相似,并指靈定用鐘三次賞樣條網(wǎng)方法【例4-餡24揪】三次嘩樣條郊插值挎。x0燈=0藥:1歲0;y0陰=s精in望(x蒸0)微;x=躲0:昨.2喊5:卷10丟;y=倚sp陜li狹ne籠(x叨0,捎y0贈(zèng),x農(nóng));pl被ot該(x蔥0,亂y0宣,'鍋or橫',謙x,尿y,拳'k使')45物理厭與電狡氣工娃程學(xué)倘院二、店二維兄插值二維懶函數(shù)他插值攪是基圣于一鑄維函畝數(shù)插臂值的蔬基本鋪思想霉，它甩是對(duì)密兩個(gè)團(tuán)變量是的函牙數(shù)z=f(有x,煤y)進(jìn)行貨插值問(wèn)，z為矩今陣，勉由x,船y確定取的點(diǎn)層上的就值。zi=i濕nt薯er懂p2彎(x躲,y薦,z戚,x排i,循yi疫,m振et艘ho絲式d)輸入域參數(shù)飯為原越始數(shù)鍛據(jù)點(diǎn)(x,丘y,惱z)；x,損y為兩囑個(gè)獨(dú)洋立的適矩陣賴，它橡們也返必須哄是按僻照單調(diào)方式排列遺的，z為函刊數(shù)矩架陣，沿是由x,倆y確定嶄的點(diǎn)監(jiān)上的頓值xi為指只定插住值點(diǎn)否橫坐椅標(biāo)的稅數(shù)值赴數(shù)組歌，yi是指庫(kù)定插趣值點(diǎn)壇縱坐陵標(biāo)的褲數(shù)值途數(shù)組束。me桐th望od參數(shù)聞同一傍維插逃值。46【例4-2胃5】鑄二維境插值晌四種籮方法宣的對(duì)妨比[x,閣y,罷z]=扯pe則ak宿s(只7)你;%尖生成暗雙峰圓函數(shù)姻值,短x,寧y數(shù)提據(jù)間粥隔為顫1me橫sh躍(x尖,y愿,z)%繪制范網(wǎng)格播圖[xi凳,y歸i]=總me轉(zhuǎn)sh案gr偉id至(-腰3:隆0.毯2:融3,云-3挪:0卵.2前:3牽);%生成稻待插界值的鈔數(shù)據(jù)仆網(wǎng)格z1前=i笨nt啊er鉛p2禿(x央,y聾,z棉,x楚i,墓yi廟,'夾ne似ar貞es委t'構(gòu));z2禿=i弦nt勒er桐p2短(x印,y政,z惱,x填i,恨yi被,'饒li柔ne收ar筐')哀;z3思=i板nt孫er秤p2組(x緒,y傍,z帥,x金i,礎(chǔ)yi計(jì),'確sp丹li寧ne悔')社;z4旨=i乎nt絲式er哥p2繡(x布,y毯,z啊,x顫i,鄭yi緣瑞,'竟cu君bi訊c'性);fi擔(dān)gu曾re蘋,m煉es峰h(羽xi啊,y憑i,端z1裂)fi仙gu撓re向,m糠es遙h(偏xi沃,y姻i,支z2提)fi糧gu歐re威,m蛛es菠h(屢xi齒,y福i,部z3扇)fi姻gu膀re是,m凱es練h(過(guò)xi孟,y照i,納z4欠)47物理要與電面氣工姜程學(xué)垂院三、錘多維確插值多維嚷插值燈包括in例te蟻rp叫3和in畝te苦rpn函數(shù),使用釀方法葵與in巾te誤rp弓2類似臥。vi固=i口nt歌er達(dá)p3請(qǐng)(x太,y枝,z吸,,育v,摸xi閥,y叨i,次zi索,m槽et慰ho彎d)【例4-孟26趟】三維殘插值沃實(shí)例諷。[x,匠y,釋z,癢v]蛙=賀fl采ow濕(1撓0)亮;sl知ic嘩e(看x,剖y,除z,頓v,義[6畫9劈燕.5緩],虛2,達(dá)[-親2對(duì).2啄])[xi斧,y喚i,絮zi]頃=猶me挎sh壘gr忙id吃(0悅:.圓25筆:1賊0,橫-羊3:巨.2描5:逢3,護(hù)-同3:晌.2安5:交3)回;vi排=族i虜nt竭er軋p3層(x揭,y歸,z剝,v猛,x尼i,掀yi檢,z瓶i)機(jī);fi須gu掉re盈,s巨li反ce除(x映i,毒yi擦,z際i,宴vi迅,[隨6奔9.番5]葛,2棒,[抱-2渴.熊2]瘦);sh緒ad辰in叛g歸fl退at48物理豎與電凱氣工爽程學(xué)隔院第5節(jié)銹快速圖傅利冬葉變謙換離散圍序列賠的傅油立葉鳥(niǎo)變換蹤蝶（Di許sc懷re顯te四F澆ou燙ri脾erTr提an僵sf俱or罰m,緩DF疾T）和劍傅立玻葉逆變換補(bǔ)（In臭ve挪ns砍eDi交sc毒re叔te濃F患o(jì)u秤ri歇erTr鍵an辮sf憐or勁m,探ID推FT）在頑數(shù)學(xué)蓮上定蒙義和MA億TL拒AB軟件協(xié)中的窄定義攝基本熱相同采。不寫同在臘于：MA蝦TL對(duì)AB中的議序列袖或向毒量元償素下賢標(biāo)從1開(kāi)始動(dòng)，而圖不是忌數(shù)學(xué)限上的旨從0開(kāi)始駝。49物理昌與電摧氣工駕程學(xué)桿院MA高TA扭LB提供雀了ff恰t(內(nèi)置魂函數(shù))、iff、ff窮t2、ff降tn、iff城tn、ff春tsh副if箭t、iff汗tsh燥if學(xué)t等函筋數(shù)，限用來(lái)秋計(jì)算渣矩陣偽的離底散快通速傅織立葉陡變換串。在數(shù)宰據(jù)長(zhǎng)掉度是2的冪余次時(shí)爐，采僅用基-2算法藏進(jìn)行噴計(jì)算忌，計(jì)榜算速舅度會(huì)泰顯著王增加布，因險(xiǎn)此在靈使用戴時(shí)，趁盡量登使用海數(shù)據(jù)描長(zhǎng)度縫為2的冪朵次或優(yōu)者用想零來(lái)腿填補(bǔ)艙數(shù)據(jù)炎?？焖俳俑道锲~變依換的弦結(jié)果錢為復(fù)誰(shuí)數(shù)。50物理析與電騎氣工限程學(xué)娛院一、員函數(shù)ff膝t和if戚ftY=ff懇t(咽X)X為矢積量傅里則葉變蠻換序芽列，個(gè)變換繼序列長(zhǎng)度擇與X等長(zhǎng);Y=ff毀t(宴X,挎n)指定周變換裕序列何長(zhǎng)度n，如工果X的長(zhǎng)章度小旁于n，則籮用0來(lái)補(bǔ)犧足，斤如果X的長(zhǎng)涼度大襪于n，則憤去掉X多出殘的部露分。n可缺社省時(shí)豈，視艙變換惱序列障長(zhǎng)度原與X等長(zhǎng)浙。Y=ff疼t(訂X,圣n,感di虛m)對(duì)指精定維鍋進(jìn)行紡離散擱傅里賠葉變妻換Y=ff跟t(閑X,紗[]映,d隙im)次n可缺驢省時(shí)奮，視幸變換太序列律長(zhǎng)度植與X等長(zhǎng)若X為矩潮陣則計(jì)然算每列的傅煌立葉端變換輩序列雖，51物理易與電妄氣工肆程學(xué)才院Y=ff示t(即X,排N)1NN/2N/2+1點(diǎn)域仗：N/布2+銀1慈N1N/慚2頻域紡：-Fs蘭/2沿-F虛s/纖N0Fs拐/2銹-Fs碎/NX的采樣長(zhǎng)頻率Fs點(diǎn)頻撞率=Fs存/N52物理挽與電澤氣工還程學(xué)秤院【例ff腔t_傘te重st】ff帆t實(shí)驗(yàn)fs=1擁02殲;%采樣括頻率撫fs=1溉/t萄s,采樣黨頻率豎要大幫于信初號(hào)最成高頻天率的沒(méi)2倍ts=1湊/f百s;%采樣奸間隔t=革0:邪ts箱:5扒;x=潤(rùn)10撈0*負(fù)si眠n(泥2*賄pi鏡*5矛0*t)抓+r剛an沖dn(s漂iz升e(濁t(yī)))更;%加入樂(lè)高斯襖噪聲正胘信旗號(hào)，給頻率等為50口HzN=訴51謀2;%變換序列或點(diǎn)數(shù)穗，最好佛是2炕的冪y=ff贈(zèng)t(碗x,薪N);Pf副=fs/N島;%點(diǎn)頻育率＝觸fs/Nf=文(0星:N/無(wú)2-乞1)*Pf;pl競(jìng)ot詠(f駐,a徑bs靠(y笛(1糧:N/衛(wèi)2))位);%幅頻特視性53物理崖與電蘭氣工昨程學(xué)鄭院54物理臨與電鑼氣工遺程學(xué)孫院【例4-灣27瘡】產(chǎn)生耽一個(gè)爆正弦攀衰減票曲線聾，進(jìn)佛行快夢(mèng)速傅精里葉箱變換省，并渴畫出榨幅值仙圖、相位恢圖、石實(shí)部慮圖和紫虛部禍圖。tp=0落:1聚/6黎:2鬼04偉8;氧%時(shí)域悟采樣時(shí)間唯間隔ts=1壓/6fs=6言;%抽樣油頻率%根據(jù)貌奈奎淺斯特珠定理靜，抽戒樣頻引率大孔于信醉號(hào)最榴高頻報(bào)率孕的2倍yt=s葡in幸(悔4*馳pi近*tp).看*e炒xp駝(-海tp枕/8倉(cāng)0)棄;%信號(hào)個(gè)最高幫頻率2H萬(wàn)zyf=ff赴t(yt);%快速僻傅里德葉變換惠序列表點(diǎn)數(shù)辛與yt長(zhǎng)度及相同pf忠=fs/蘭le攏ng是th嫁(yt);膏%變換擴(kuò)序列點(diǎn)頻疊率le圓e=家le裁ng騰th件(y社t)符/2總;巨%頻譜冬取段孝的長(zhǎng)望度f(wàn)=洪(0兼:l好ee林-1焦).會(huì)*p涌f;描%頻域建軸坐彈標(biāo)ya=a嶼bs撓(y渾f(驚1:法le盟e)離);榮%幅值yp=a豆ng邪l(fā)e調(diào)(y賢f(閘1:垃le休e)欄)*譜18萍0/寺pi挖;殲%相位(角度)pl鼻ot支(t都p,轟yt)奴%繪制姐正弦對(duì)衰減爸曲線fi飽gu碰re論,pl潤(rùn)ot跪(f些,y吹a)度%繪制FF唱T幅值引曲線fi惜gu梁re編,pl松ot黑(f其,y柜p)誕%繪制FF潔T相位繼曲線5556二、僻快速勻傅里貿(mào)葉變礙換的炸長(zhǎng)度去與運(yùn)枕算速瞞度f(wàn)f燈f函數(shù)太的變勿換點(diǎn)拘數(shù)n決定乓變換厘的速真度n為2的整搏數(shù)次痕冪，淡運(yùn)算轎速度殺最快n為合藥數(shù)，ff彎t采用蜂質(zhì)因獅數(shù)分快解的杯算法摧，速堵度取族決于紐奉質(zhì)因跡數(shù)的垂大小n為質(zhì)霧數(shù)，悔運(yùn)算窄速度差最慢幾個(gè)顯函數(shù)煎解釋is持pr抵im詢e(薯x)判斷x是否示質(zhì)數(shù)fa臟ct略or張(x)對(duì)x進(jìn)行頑因式窩分解cp貪ut投im四e計(jì)算氣機(jī)cp甜u在此扛時(shí)的時(shí)刻57物理珠與電博氣工刃程學(xué)鐘院【例3-按28誓】比較漲快速炭傅里蟲(chóng)葉變?cè)鈸Q的括長(zhǎng)度駐與運(yùn)耳算速宰度的津關(guān)系x=務(wù)ra暗nd渣(7肌00揉00鄭,1語(yǔ));is哭pr梯im熊e(滑65形53咬9)%判斷65林53伍9是否糞為質(zhì)泰數(shù)2^耍16%計(jì)算2的16次方fa身ct產(chǎn)or沉(6泄60低00臺(tái))%計(jì)