2023/5/181第六章期權(quán)定價(jià)理論2023/5/182

一、期權(quán)價(jià)格確實(shí)定〔一〕期權(quán)價(jià)格的構(gòu)成１.概念

是指買(mǎi)方期權(quán)為獲取遠(yuǎn)期選擇權(quán)而支付給賣(mài)方期權(quán)的代價(jià)，或是賣(mài)方期權(quán)因讓渡遠(yuǎn)期選擇權(quán)而向買(mǎi)方期權(quán)收取的報(bào)酬。２.構(gòu)成

期權(quán)價(jià)格＝內(nèi)在價(jià)值＋時(shí)間價(jià)值如圖3-32。2023/5/183⑴內(nèi)在價(jià)值有時(shí)也稱(chēng)為〞貨幣性“〔moneyness〕，是指期權(quán)的買(mǎi)方馬上執(zhí)行合約時(shí)其可能獲得的現(xiàn)金流與零之間的最大值。2023/5/184

看漲期權(quán)：

看跌期權(quán)：⑵時(shí)間價(jià)值是期權(quán)價(jià)格中超過(guò)內(nèi)在價(jià)值的那局部?jī)r(jià)格，是指在期權(quán)有效期內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)為期權(quán)持有者帶來(lái)收益的可能性所隱含的價(jià)值。

通常，期權(quán)合約的剩余有效時(shí)間越長(zhǎng)，其時(shí)間價(jià)值也就越大。

〔其中P為期權(quán)的時(shí)間價(jià)值〕2023/5/185

顯然，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)性越高，期權(quán)的時(shí)間價(jià)值越大。此外，期權(quán)的時(shí)間價(jià)值還受期權(quán)內(nèi)在價(jià)值的影響，以無(wú)收益看漲期權(quán)為例，當(dāng)時(shí)，期權(quán)的時(shí)間價(jià)值最大，當(dāng)?shù)慕^對(duì)值增大時(shí)，期權(quán)的時(shí)間價(jià)值是遞減的。它們的關(guān)系見(jiàn)以下圖。2023/5/186圖3-32無(wú)收益資產(chǎn)看漲期權(quán)的時(shí)間價(jià)值與內(nèi)在價(jià)值的關(guān)系2023/5/187二、期權(quán)價(jià)格的影響因素

期權(quán)價(jià)格的影響因素有六個(gè)，他們通過(guò)影響期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值和時(shí)間價(jià)值來(lái)影響期權(quán)的價(jià)格?！惨弧硺?biāo)的資產(chǎn)的市場(chǎng)價(jià)格與期權(quán)協(xié)議價(jià)格

由于看漲期權(quán)在執(zhí)行時(shí)，其收益等于標(biāo)的資產(chǎn)當(dāng)時(shí)的價(jià)格與協(xié)議價(jià)格之差，因此，標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格越高，協(xié)議價(jià)格越低，看漲期權(quán)的價(jià)格就越高；對(duì)看跌期權(quán)面而言，其收益等于協(xié)議價(jià)格與標(biāo)的資產(chǎn)當(dāng)時(shí)的價(jià)格之差，標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格越低，協(xié)議價(jià)格越高，看跌期權(quán)的價(jià)格就越高。2023/5/188

〔二〕期權(quán)的有效期

對(duì)于美式期權(quán)而言，期限越長(zhǎng)獲利時(shí)機(jī)就越多，因此期權(quán)的價(jià)格會(huì)越高。

對(duì)于歐式期權(quán)，由于其只能在期末執(zhí)行，有效期長(zhǎng)的期權(quán)不一定包含有效期短的期權(quán)的所有執(zhí)行時(shí)機(jī)，如標(biāo)的資產(chǎn)在期限長(zhǎng)的有效期內(nèi)有紅利支付〔在知短的期限內(nèi)沒(méi)有〕，那么期限長(zhǎng)的期權(quán)的價(jià)格就會(huì)低于期限短的期權(quán)。這就使歐式期權(quán)的有效期與期權(quán)的價(jià)格之間的關(guān)系顯得較為復(fù)雜。

如果剔除了標(biāo)的資產(chǎn)支付大量收益這一特殊情況，由于有效期長(zhǎng)，標(biāo)的資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)就越大，空頭的虧損風(fēng)險(xiǎn)就大，因此有效期長(zhǎng)，其期權(quán)的價(jià)格就越高。2023/5/189〔三〕標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率

〔四〕無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率

〔五〕標(biāo)的資產(chǎn)的現(xiàn)金收益標(biāo)的資產(chǎn)分紅付息等將減少標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格，而協(xié)議價(jià)格并未進(jìn)行調(diào)整，因此在期權(quán)的有效期內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)產(chǎn)生現(xiàn)金收益將使看漲期權(quán)的價(jià)格下降，并使看跌期權(quán)價(jià)格上漲。2023/5/1810三、期權(quán)價(jià)格的上、下限1、無(wú)套利定價(jià)法

套利就是在某些金融資產(chǎn)的交易過(guò)程中，交易者可以在不需要期初投資支出的條件下期末獲取無(wú)風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬。如果定量描述的話(huà)，就是指：一個(gè)投資組合，如果在投資的時(shí)刻不需要支出，即：而存在一個(gè)時(shí)刻t，使得：且2023/5/1811

定理1

假設(shè)市場(chǎng)在時(shí)段[0，T]內(nèi)是無(wú)套利時(shí)機(jī)的，則對(duì)于兩個(gè)投資組合和，如果

且

那么，對(duì)于任意的

，必有證明：反證法。

〔略〕2023/5/1812

推論假設(shè)市場(chǎng)在時(shí)段[0，T]內(nèi)是無(wú)套利時(shí)機(jī)的，則對(duì)于兩個(gè)投資組合和，如果其到期時(shí)組合的價(jià)值相等，則其任意時(shí)刻的價(jià)值均相等。2023/5/18132、期權(quán)價(jià)格的上、下限基本假設(shè)：1、市場(chǎng)不存在套利時(shí)機(jī)；

2、證券交易不付交易費(fèi)用〔市場(chǎng)無(wú)摩擦〕；

3、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r是常數(shù)〔復(fù)利〕

定理２對(duì)于有效期內(nèi)無(wú)收益標(biāo)的資產(chǎn)的歐式期權(quán)，以下的估計(jì)式成立2023/5/1814證明：在t時(shí)刻，構(gòu)造兩個(gè)投資組合：

因此由定理1知：2023/5/1815那么又由于至此我們證得了期權(quán)的下界。

再構(gòu)造一組合

通過(guò)同樣的分析，我們有所以?？礉q期權(quán)的上下界證畢。

〔看跌期權(quán)的上下界的證明由學(xué)生自己完成〕2023/5/1816

定理4

對(duì)于有效期內(nèi)有收益標(biāo)的資產(chǎn)的歐式期權(quán)，以下的估計(jì)式成立〔考慮復(fù)利率〕：其中D是期權(quán)有效期內(nèi)資產(chǎn)收益的現(xiàn)值。2023/5/1817四、期權(quán)價(jià)格曲線的形狀〔以無(wú)收益資產(chǎn)的情況為例〕

2023/5/1818五、歐式看漲、看跌期權(quán)的平價(jià)公式定理4

看漲——看跌平價(jià)公式〔無(wú)收益資產(chǎn)〕：定理5

看漲——看跌平價(jià)公式〔有確定現(xiàn)金收益資產(chǎn)，收益的現(xiàn)值為D〕：2023/5/1819六、期權(quán)定價(jià)方法〔一〕二叉樹(shù)方法1、一個(gè)例子

假定原生資產(chǎn)——股票在時(shí)刻的價(jià)格為40元，一個(gè)月后，有兩種可能性：上揚(yáng)到45元或下跌到35元。那么在時(shí)刻購(gòu)置一張一個(gè)月到期，敲定價(jià)格為40元的平價(jià)看漲期權(quán)，問(wèn)應(yīng)該支付多少期權(quán)金？〔假定一年期的存款利率為12%〕。2023/5/1820根據(jù)期權(quán)到期時(shí)的收益由題設(shè)，在到期日，期權(quán)的價(jià)值亦有兩種可能性：假設(shè)股票價(jià)格上揚(yáng)，期權(quán)的收益為

；假設(shè)股票價(jià)格下跌，則

，即期權(quán)一文不值。

基本思想：無(wú)套利定價(jià)法在開(kāi)始時(shí)刻，構(gòu)造一個(gè)投資組合

2023/5/1821在到期日，該組合的價(jià)值也有兩種可能性：假設(shè)股票價(jià)格上揚(yáng)，

假設(shè)股票價(jià)格下跌，即在到期日，該組合具有確定的值〔元〕另外構(gòu)造一個(gè)投資組合

那么在到期日〔即一個(gè)月后〕，該組合的收益也等于〔元〕2023/5/1822因此有

，由無(wú)套利假設(shè)，知：即由此得：這說(shuō)明投資者為了購(gòu)置這張期權(quán)，在開(kāi)始時(shí)刻應(yīng)該支付期權(quán)金2.695元2023/5/18232、一期模型

關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)〔股票、外匯等〕的價(jià)格變化規(guī)律的研究，從最簡(jiǎn)單的模型——單時(shí)段—雙狀態(tài)模型開(kāi)始。以此為基礎(chǔ)，我們討論如何利用無(wú)套利原理，求出它的衍生物——期權(quán)的價(jià)格。單時(shí)段〔oneperiod〕：是指交易只在時(shí)刻的初始時(shí)刻以及終止時(shí)刻進(jìn)行。雙狀態(tài)〔twostate〕：是指風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格在未來(lái)時(shí)刻只有兩種可能性：2023/5/1824我們的問(wèn)題是：假設(shè)在開(kāi)始時(shí)刻，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格為S，預(yù)期在T時(shí)，它的價(jià)格可能是：〔〕現(xiàn)投資者在購(gòu)置一張到期日為T(mén)，敲定價(jià)格為X的看漲期權(quán)，如果在[0，T]時(shí)段無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為r〔實(shí)際利率〕，那么該看漲期權(quán)的價(jià)格為多少？我們的思想是：構(gòu)造無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的投資組合。試想賣(mài)出幾份看漲期權(quán)，出售方必然面臨風(fēng)險(xiǎn)，為了回避這個(gè)風(fēng)險(xiǎn)，出售方要采取適當(dāng)?shù)牟呗詫?duì)風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行控制，即買(mǎi)進(jìn)股票與它對(duì)沖，使得組合為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的。記這個(gè)份額為，這就是—對(duì)沖的思想。2023/5/1825構(gòu)成投資組合：購(gòu)置一份股票，賣(mài)掉份看漲期權(quán)，使得該組合無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的方法：利用—對(duì)沖技巧

假定存在，使得是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的，即在時(shí)刻，的價(jià)值

是確定的，即無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的。

既然是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的，那么的投資增長(zhǎng)率為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率〔不計(jì)復(fù)利〕，即2023/5/1826由此得：〔3.1〕由于在到期時(shí)刻股票價(jià)格有兩種可能性，所以在組合的價(jià)值也有兩種可能性，但由于構(gòu)造的是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)組合，那么我們有〔3.2〕由〔3.1〕和〔3.2〕，我們知：2023/5/1827注意：由無(wú)套利假設(shè)知：由此定義新的概率測(cè)度Q：

易知：2023/5/1828從而期權(quán)價(jià)格可以改寫(xiě)為通常也將測(cè)度Q稱(chēng)為風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度，上式告訴我們，看漲期權(quán)的價(jià)格也可以解釋為在風(fēng)險(xiǎn)中性概率條件下，其價(jià)格等于期權(quán)到期價(jià)值的期望值的折現(xiàn)值。3、期權(quán)定價(jià)的二期模型〔略〕2023/5/1829〔二〕B—S期權(quán)定價(jià)公式1、基本假設(shè)1〕股票價(jià)格滿(mǎn)足隨機(jī)微分方程：其中是股票的期望收益率，是股票價(jià)格的波動(dòng)率。2〕股票市場(chǎng)允許賣(mài)空；2023/5/18303〕沒(méi)有交易費(fèi)用或稅收；4〕所有證券都是無(wú)限可分的；5〕證券在有效期內(nèi)沒(méi)有紅利支付；6〕不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利時(shí)機(jī)；7〕交易是連續(xù)進(jìn)行的；8〕無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率是常數(shù)。2023/5/18312、B—S微分方程構(gòu)造組合：

選取適當(dāng)?shù)?/p>

，使得在

時(shí)段內(nèi)，

是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的。

利用無(wú)套利理論和ITO引理，即可得到著名的B——S微分方程2023/5/18323、B——S期權(quán)定價(jià)公式

1973年，Black和Scholes成功求解了他們的微分方程，從而獲得了看漲期權(quán)的定價(jià)公式。定理〔B—S公式〕歐式看漲期權(quán)的價(jià)格為其中2023/5/1833

根據(jù)歐式看漲看跌的平價(jià)公式，對(duì)于無(wú)收益資產(chǎn)的看跌期權(quán)，其定價(jià)公式為：2023/5/1834例A公司股票的價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，即滿(mǎn)足隨機(jī)方程：解；由B—S定價(jià)公式其中公司股票現(xiàn)在的市價(jià)是$92，到期期限為50天、執(zhí)行價(jià)格為$95的該公司股票歐式看漲期權(quán)的價(jià)格是多少？〔無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為7.12%〕查表可知：因此所以該歐式看漲期權(quán)的價(jià)格為〔因?yàn)椤裁涝场裁涝场?023/5/1837〔三〕有收益資產(chǎn)的期權(quán)定價(jià)公式

當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)收益的現(xiàn)值為I時(shí)，我們只要用〔S—I〕代替式中的S，即可求得有固定收益證券歐式看漲期權(quán)和看跌權(quán)的定價(jià)公式。

當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)的收益為按連續(xù)復(fù)利計(jì)算的固定收益率q時(shí)，我們只要將

代替S就可求得支付連續(xù)復(fù)利收益率證券的看漲和看跌期權(quán)的定價(jià)公式。2023/5/1838例假設(shè)當(dāng)前英