2022-2023學(xué)年八下數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．下列標(biāo)識(shí)中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．2．一次函數(shù)y1＝kx+b與y2＝x+a的圖象如圖，則下列結(jié)論①k＜0；②a＞0；③當(dāng)x＜3時(shí)，y1＜y2中，正確的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．33．下面四幅圖是我國(guó)一些博物館的標(biāo)志，其中是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．4．成都是一個(gè)歷史悠久的文化名城,以下這些圖形都是成都市民熟悉的,其中是中心對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．5．如圖，若DE是△ABC的中位線，△ADE的周長(zhǎng)為1，則△ABC的周長(zhǎng)為（）A．1 B．2 C．3 D．46．若△ABC中，AB＝13，BC＝5，AC＝12，則下列判斷正確的是（）A．∠A＝90° B．∠B＝90°C．∠C＝90° D．△ABC是銳角三角形7．矩形、菱形、正方形都具有的性質(zhì)是（）A．對(duì)角線互相垂直B．對(duì)角線互相平分C．對(duì)角線相等D．每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角8．下列命題正確的是（）．A．任何事件發(fā)生的概率為1B．隨機(jī)事件發(fā)生的概率可以是任意實(shí)數(shù)C．可能性很小的事件在一次實(shí)驗(yàn)中有可能發(fā)生D．不可能事件在一次實(shí)驗(yàn)中也可能發(fā)生9．將直線y＝2x﹣1向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，可得直線的解析式為（）A．y＝2x﹣3 B．y＝2x﹣2 C．y＝2x+1 D．y＝2x10．一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為5和12，則第三邊的長(zhǎng)為（）A．13 B．14 C．119 D．13或119二、填空題(每小題3分,共24分)11．在一次數(shù)學(xué)單元考試中，某小組6名同學(xué)的成績(jī)（單位：分）分別是：65，80，70，90，100，70。則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)分別是_________________________分。12．甲、乙兩人各進(jìn)行10次射擊比賽，平均成績(jī)均為9環(huán)，方差分別是：，則射擊成績(jī)較穩(wěn)定的是________（選填“甲”或“乙”）.13．如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，分別取AC，BC邊的中點(diǎn)D，E，連接DE，作EF∥AC，得到四邊形EDAF，它的周長(zhǎng)記作C1；分別取EF，BE的中點(diǎn)D1，E1，連接D1E1，作E1F1∥EF，得到四邊形E1D1FF1，它的周長(zhǎng)記作C2…照此規(guī)律作下去，則C2018＝_____．14．如圖，當(dāng)時(shí)，有最大值；當(dāng)時(shí)，隨的增大而______.（填“增大”或“減小”）15．“Iamagoodstudent．”這句話的所有字母中，字母“a”出現(xiàn)的頻率是______16．如圖，在ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，若再增加一個(gè)條件，就可得出ABCD是菱形，則你添加的條件是___________．17．若代數(shù)式在實(shí)數(shù)內(nèi)范圍有意義，則x的取值范圍是_________.18．用換元法解方程時(shí)，如果設(shè)，那么得到關(guān)于的整式方程為_____．三、解答題(共66分)19．（10分）如圖，在ABC中，∠C＝90o，BD是ABC的一條角一平分線，點(diǎn)O、E、F分別在BD、BC、AC上，且四邊形OECF是正方形，（1）求證：點(diǎn)O在∠BAC的平分線上；（2）若AC＝5，BC＝12，求OE的長(zhǎng)20．（6分）如圖，BD為平行四邊形ABCD的對(duì)角線，按要求完成下列各題．（1）用直尺和圓規(guī)作出對(duì)角線BD的垂直平分線交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，垂足為O，（保留作圖痕跡，不要求寫作法）（2）在（1）的基礎(chǔ)上，連接BE和DF，求證：四邊形BFDE是菱形．21．（6分）如圖,在△ABC中,點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn),點(diǎn)E是CD邊的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接BF.(1)求證:DB=CF；(2)如果AC=BC,試判斷四邊形BDCF的形狀,并證明你的結(jié)論.22．（8分）如圖，過(guò)軸正半軸上一點(diǎn)的兩條直線，分別交軸于點(diǎn)、兩點(diǎn)，其中點(diǎn)的坐標(biāo)是,點(diǎn)在原點(diǎn)下方，已知.（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若的面積為，求直線的解析式.23．（8分）如圖，正比例函數(shù)y1=kx與-次函數(shù)y2=mx+n的圖象交于點(diǎn)A(3，4)，一次函數(shù)y2的圖象與x軸，y軸分別交于點(diǎn)B，點(diǎn)C，且0A=OC．(1)求這兩個(gè)函數(shù)的解析式；(2)求直線AB與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積．24．（8分）為了了解初中階段女生身高情況，從某中學(xué)初二年級(jí)120名女生中隨意抽出40名同齡女生的身高數(shù)據(jù)，經(jīng)過(guò)分組整理后的頻數(shù)分布表及頻數(shù)分布直方圖如圖所示：結(jié)合以上信息，回答問(wèn)題：（1）a=______，b=______，c=______．（2）請(qǐng)你補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖．（3）試估計(jì)該年級(jí)女同學(xué)中身高在160～165cm的同學(xué)約有多少人？25．（10分）如圖，網(wǎng)格中的圖形是由五個(gè)小正方形組成的，根據(jù)下列要求畫圖（涂上陰影）．（1）在圖①中，添加一塊小正方形，使之成為軸對(duì)稱圖形，且只有一條對(duì)稱軸；（畫一種情況即可）（2）在圖②中，添加一塊小正方形，使之成為中心對(duì)稱圖形，但不是軸對(duì)稱圖形；（3）在圖③中，添加一塊小正方形，使之成為既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形．26．（10分）如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、AB上一點(diǎn)，且AF＝BE，AE與DF交于點(diǎn)G．（1）求證：AE＝DF．（2）如圖2，在DG上取一點(diǎn)M，使AG＝MG，連接CM，取CM的中點(diǎn)P．寫出線段PD與DG之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）如圖3，連接CG．若CG＝BC，則AF：FB的值為．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、A【解析】試題分析：根據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義旋轉(zhuǎn)180°后能夠與原圖形完全重合即是中心對(duì)稱圖形，以及軸對(duì)稱圖形性質(zhì)做出判斷．①既是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)正確；②不是中心對(duì)稱圖形，是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；③不是中心對(duì)稱圖形，是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；④是中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)正確．故選A．考點(diǎn)：中心對(duì)稱圖形；軸對(duì)稱圖形．2、B【解析】

根據(jù)y1＝kx+b和y2＝x+a的圖象可知：k＜0，a＜0，所以當(dāng)x＜3時(shí)，相應(yīng)的x的值，y1圖象均高于y2的圖象．【詳解】解：∵y1＝kx+b的函數(shù)值隨x的增大而減小，∴k＜0；故①正確∵y2＝x+a的圖象與y軸交于負(fù)半軸，∴a＜0；當(dāng)x＜3時(shí)，相應(yīng)的x的值，y1圖象均高于y2的圖象，∴y1＞y2，故②③錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了兩條直線相交問(wèn)題，難點(diǎn)在于根據(jù)函數(shù)圖象的走勢(shì)和與y軸的交點(diǎn)來(lái)判斷各個(gè)函數(shù)k，b的值．3、C【解析】

根據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義和圖案特點(diǎn)即可解答．【詳解】解：A、不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)正確；

D、不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．

故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查中心對(duì)稱圖形的概念：在同一平面內(nèi)，如果把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形完全重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形．4、C【解析】

根據(jù)中心對(duì)稱圖形的概念判斷即可．【詳解】解：A、B、D中的圖形都不是中心對(duì)稱圖形，C中圖形是中心對(duì)稱圖形；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是中心對(duì)稱圖形的概念，把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形．5、B【解析】

根據(jù)三角形中位線定理得到BC=2DE，AB=2AD，AC=2AE，再通過(guò)計(jì)算，得到答案．【詳解】∵DE是△ABC的中位線，∴DE=BC，AD=AB，AE=AC，即AB=2AD，BC=2DE，AC=2AE，∵△ADE的周長(zhǎng)=AD+DE+AE=1，∴△ABC的周長(zhǎng)=AB+BC+AC=2(AD+DE+AE)=2，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的中位線定理，三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．6、C【解析】

13，12，5正好是一組勾股數(shù)，根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷△ABC是直角三角形，從而求解．【詳解】∵52+122＝169，132＝169，∴52+122＝132，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的逆定理，兩邊的平方和等于第三邊的平方，則這個(gè)三角形是直角三角形．對(duì)于常見的勾股數(shù)如：3，4，5或5，12，13等要注意記憶．7、B【解析】

矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形，共有的性質(zhì)就是平行四邊形的性質(zhì)．【詳解】矩形、菱形、正方形共有的性質(zhì)是對(duì)角線互相平分．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查矩形、菱形、正方形的性質(zhì)，熟記矩形、菱形、正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8、C【解析】

根據(jù)隨機(jī)事件、不可能事件的定義和概率的性質(zhì)判斷各選項(xiàng)即可．【詳解】A中，只有必然事件概率才是1，錯(cuò)誤；B中，隨機(jī)事件的概率p取值范圍為：0＜p＜1，錯(cuò)誤；C中，可能性很小的事件，是有可能發(fā)生的，正確；D中，不可能事件一定不發(fā)生，錯(cuò)誤故選：C【點(diǎn)睛】本題考查事件的可能性，注意，任何事件的概率P一定在0至1之間．9、C【解析】

根據(jù)一次函數(shù)的平移規(guī)律即可解答.【詳解】∵原直線的k＝2，b＝﹣1；向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到了新直線，∴新直線的k＝2，b＝﹣1+2＝1．∴新直線的解析式為y＝2x+1．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的平移規(guī)律，熟知一次函數(shù)的平移規(guī)律是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.10、D【解析】

本題已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)，但未明確這兩條邊是直角邊還是斜邊，因此兩條邊中的較長(zhǎng)邊12既可以是直角邊，也可以是斜邊，所以求第三邊的長(zhǎng)必須分類討論，即12是斜邊或直角邊的兩種情況，然后利用勾股定理求解．【詳解】當(dāng)12和5均為直角邊時(shí)，第三邊=122+當(dāng)12為斜邊，5為直角邊，則第三邊=122-5故第三邊的長(zhǎng)為13或119．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方是解答此題的關(guān)鍵．二、填空題(每小題3分,共24分)11、75【解析】

根據(jù)中位數(shù)的定義即可求解.【詳解】先將數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)?5，70，70，80，90，100，故中位數(shù)為(70+80)=75【點(diǎn)睛】此題主要考查中位數(shù)的求解，解題的關(guān)鍵是熟知中位數(shù)的定義.12、甲【解析】

根據(jù)方差的意義可作出判斷．方差是用來(lái)衡量一組數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的量，方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動(dòng)越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定．【詳解】解：因?yàn)榧椎姆讲钭钚?，所以射擊成?jī)較穩(wěn)定的是甲；

故答案為：甲【點(diǎn)睛】本題考查方差的意義．方差是用來(lái)衡量一組數(shù)據(jù)波動(dòng)大小的量，方差越大，表明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大，即波動(dòng)越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；反之，方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動(dòng)越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定．13、【解析】

根據(jù)三角形中位線定理可求出C1的值，進(jìn)而可得出C2的值，找出規(guī)律即可得出C2018的值【詳解】解：∵E是BC的中點(diǎn)，ED∥AB，∴DE是△ABC的中位線，∴DE＝AB＝，AD＝AC＝，∵EF∥AC，∴四邊形EDAF是菱形，∴C1＝4×；同理求得：C2＝4×；…，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線定理、等邊三角形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)；熟練掌握三角形中位線定理，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．14、增大【解析】

根據(jù)函數(shù)圖像可知，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，即可得到答案.【詳解】解：根據(jù)題意，∵當(dāng)時(shí)，有最大值；∴函數(shù)圖像開口向下，∴當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；故答案為：增大.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)進(jìn)行解題.15、【解析】根據(jù)題意可知15個(gè)字母里a出現(xiàn)了2次，所以字母“a”出現(xiàn)的頻率是．故答案為．16、AB=BC或BC=CD或CD=AD或AD=AB或AC⊥BD或AB=BC=CD=DA【解析】根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形可得，添加的條件可以是：AB=BC或BC=CD或CD=AD或AD=AB；根據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形可得，添加的條件可以是：AC⊥BD；根據(jù)四邊相等的平行四邊形是菱形可得，添加的條件可以是：AB=BC=CD=DA.故答案是：AB=BC或BC=CD或CD=AD或AD=AB或AC⊥BD或AB=BC=CD=DA.17、x＞1【解析】

根據(jù)分式及二次根式有意義的條件列出關(guān)于x的不等式，求出x的取值范圍即可.【詳解】∵代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，

∴．

故答案為：x＞1．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式及分式有意義的條件，掌握二次根式及分式有意義的條件是解答此題的關(guān)鍵．18、【解析】

將分式方程中的換，則=，代入后去分母即可得到結(jié)果．【詳解】解：根據(jù)題意得：，去分母得：．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了換元法解分式方程，用換元法解一些復(fù)雜的分式方程是比較簡(jiǎn)單的一種方法，根據(jù)方程特點(diǎn)設(shè)出相應(yīng)未知數(shù)，解方程能夠使問(wèn)題簡(jiǎn)單化．三、解答題(共66分)19、（1）證明見解析；（2）2.【解析】

（1）考察角平分線定理的性質(zhì)，及直角三角形全等的判斷方法，“HL”；（2）利用全等得到線段AM＝BE，AM＝AF，利用正方形OECF，得到四邊都相等，從而利用OE與BE、AF及AB的關(guān)系求出OE的長(zhǎng)【詳解】解：（1）過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB于點(diǎn)M∵正方形OECF∴OE＝EC＝CF＝OF，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F∵BD平分∠ABC，OM⊥AB于M，OE⊥BC于E∴OM＝OE＝OF∵OM⊥AB于M，OE⊥BC于E∴∠AMO＝90°，∠AFO＝90°∵∴Rt△AMO≌Rt△AFO∴∠MA0＝∠FAO∴點(diǎn)O在∠BAC的平分線上(2)∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12∴AB＝13∴BE＝BM，AM＝AF又BE＝BC－CE，AF＝AC－CF，而CE＝CF＝OE∴BE＝12－OE，AF＝5－OE∴BM＋AM＝AB即BE＋AF＝1312－OE＋5－OE＝13解得OE＝2【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的判定，全等三角形的判定及性質(zhì)，掌握HL定理的判定方法及全等三角形的性質(zhì)是本題的解題關(guān)鍵.20、（1）作圖見解析；（2）證明見解析.【解析】試題分析：(1)、根據(jù)線段中垂線的作法作出中垂線，得出答案；(2)、根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出△DOE和△BOF全等，從而根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形為平行四邊形得出四邊形BFDE為平行四邊形，然后結(jié)合對(duì)角線互相垂直得出菱形.試題解析：(1)、作圖(2)在□ABCD中，AD∥BC∴∠ADB=∠CBD又∵EF垂直平分BD∴BO=DO∠EOD=∠FOB=90°∴△DOE≌△BOF(ASA)∴EO=FO∴四邊形BFDE是平行四邊形又∵EF⊥BD∴□BFDE為菱形21、(1)證明見解析；（2）四邊形BDCF是矩形，理由見解析.【解析】(1)證明：∵CF∥AB，∴∠DAE＝∠CFE．又∵DE＝CE，∠AED＝∠FEC，∴△ADE≌△FCE，∴AD＝CF．∵AD＝DB，∴DB＝CF．(2)四邊形BDCF是矩形．證明：由(1)知DB＝CF，又DB∥CF，∴四邊形BDCF為平行四邊形．∵AC＝BC，AD＝DB，∴CD⊥AB．∴四邊形BDCF是矩形．22、（1）A（2,0）；（2）直線解析式.【解析】

（1）利用勾股定理即可解題,（2）根據(jù)的面積為，得到,得到C(0,-1),再利用待定系數(shù)法即可解題.【詳解】（1）∵OB=3，,∠AOB=90°∴OA=2,（勾股定理）∴A（2,0）（2）∵∴BC=4∴C(0,-1)∴設(shè)直線解析式y(tǒng)=kx+b（k0）∴，解得∴直線解析式.【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與面積的實(shí)際應(yīng)用,勾股定理的應(yīng)用,用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式,中等難度,將面積問(wèn)題轉(zhuǎn)換成求點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題是解題關(guān)鍵.23、(1)，；(2).【解析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法確定正比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式即可；

（2）利用三角形面積公式計(jì)算解答即可．【詳解】(1)把A(3，4)代人中.得：3k=4∴∴過(guò)點(diǎn)A作AE⊥x軸，垂足為E.∵A(3，4)∴OE=3，AE=4在Rt△OAE中，又∵OC=OA=5∴.C(0，-5)把A(3，4)，C(0，-5)代人中，得∴∴(2)在中，令得∴OB=∴.【點(diǎn)睛】考查的是一次函數(shù)的問(wèn)題，關(guān)鍵是根據(jù)待定系數(shù)法求解析式．24、（1）6，12，0.30；（2）見解析；（3）36【解析】

（1）根據(jù)頻率分布表中的各個(gè)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，或者，調(diào)查總?cè)藬?shù)乘以本組的所占比可以求出a；從40人中減去其它各組人數(shù)即可，12占40的比就是C，（2）根據(jù)缺少的兩組的數(shù)據(jù)畫出直方圖中對(duì)應(yīng)直條，（3）用樣本估計(jì)總體，根據(jù)該年級(jí)的總?cè)藬?shù)乘以身高在160～165cm的同學(xué)所占比．【詳解】解：（1）6

12

0.3040×0.15=6人，a=6，b=40-6-2-14-6=12，12÷40=0.30，即c=0.30，答：a=6，b=12，c=0.30，（2）補(bǔ)全頻率分布直方圖如圖所示：（3）120×0.30=36人，答：該年級(jí)女同學(xué)中身高在160～165cm的同學(xué)約有36人．【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖和頻率分布表所反映數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)，理解表格中各個(gè)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．25、（1）如圖①所示，見解析；（2）如圖②所示，見解析；（3）如圖③所示，見解析.【解析】

利用軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義，以及兩者之間的區(qū)別解題畫圖即可【詳解】（1）如圖①所示：（2）如圖②所示：（3）如圖③所示：【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義，基礎(chǔ)知識(shí)扎實(shí)是解題關(guān)鍵26、(1)?見解析；(2)?DG＝DP，理由見解析；(3)?1∶1.【解析】

（1）用SAS證△ABE≌△DAF即可；（2）DG＝DP，連接GP并延長(zhǎng)至點(diǎn)Q，使PQ＝PG