兩直線位置關(guān)系的判斷

2021/5/91－1

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知識要點2021/5/922021/5/932021/5/944.直線系方程1）與直線Ax+By+C=0平行的直線系方程為

；2）與直線Ax+By+C=0垂直的直線系方程為

；3）與直線y=kx+b平行的直線系方程為

；4）與直線y=kx+b垂直的直線系方程為

；5）過定點（x0,y0)的直線系方程為

；6）過已知兩條直線A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交點的直線系方程為

。

2021/5/95思想方法技巧2021/5/962021/5/97

典型例題分析

題型一兩直線位置關(guān)系的判定例1已知兩條直線l1：ax－y＋a＋2＝0，l2：ax＋(a2－2)y＋1＝0，當(dāng)a為何值時，l1與l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合．【解析】首先由a·(a2－2)＝(－1)a

得：a＝0或a＝－1或a＝1

∴當(dāng)a≠0且a≠－1且a≠1時兩直線相交

當(dāng)a＝0時，代入計算知l1∥l2

當(dāng)a＝－1時，代入計算知l1與l2重合

當(dāng)a＝1時，代入計算知l1∥l22021/5/98因此

(1)當(dāng)a≠－1且a≠0且a≠1時，l1與l2相

交；(2)當(dāng)a＝0或a＝1時，l1與l2平行；

(3)當(dāng)a＝－1時，l1與l2重合．探究1判斷兩條直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置關(guān)系時，先解方程A1B2＝A2B1，當(dāng)A1B2≠A2B1時l1與l2相交；當(dāng)A1B2＝A2B1時，再判定l1與l2是平行還是重合．2021/5/99課堂練習(xí)1(1)判斷下列兩條直線的位置關(guān)系①l1：4x＋3y－5＝0，l2；4x－2y＋3＝0②l1：3x＋4y－5＝0，l2：6x＝7－8y③l1：2y＝7，l2：3y＋5＝0(2)已知：l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，當(dāng)m為何值時，l1與l2：①相交；②平行；③重合．【答案】(1)①相交②平行③平行(2)①m≠3且m≠－1②m＝－1③m＝32021/5/910

題型二利用位置關(guān)系求直線方程例2求經(jīng)過兩條直線2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交點，并且垂直于直線3x＋4y－7＝0的直線的方程．【分析】(1)先求兩條直線的交點坐標(biāo)，再由兩線的垂直關(guān)系得到所求直線的斜率，最后由點斜式可得所求直線方程．2021/5/911(2)因為所求直線與直線3x＋4y－7＝0垂直，兩條直線的斜率互為負(fù)倒數(shù)，所以可設(shè)所求直線方程為4x－3y＋m＝0，將兩條直線的交點坐標(biāo)代入求出m值，就得到所求直線方程．(3)設(shè)所求直線方程為(2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0，即(2＋λ)x＋(3－3λ)y＋(1＋4λ)＝0，再利用垂直關(guān)系建立λ的方程，求出λ即可得到所求直線方程．

2021/5/9122021/5/9132021/5/9142021/5/9152021/5/9162021/5/917課堂練習(xí)2過點P(1,2)引直線，使A(2,3)、

B(4，－5)到它的距離相等，求這條直線的方程．解法一∵kAB＝－4，線段AB中點C(3，－1)，

∴過P(1,2)與直線AB平行的直線方程為

y－2＝－4(x－1)，

即4x＋y－6＝0.此直線符合題意．2021/5