第1章數(shù)列1.1數(shù)列的概念知識(shí)探究·素養(yǎng)啟迪課堂探究·素養(yǎng)培育知識(shí)探究·素養(yǎng)啟迪知識(shí)探究1.數(shù)列及其有關(guān)概念(1)數(shù)列:按照

排成的一列數(shù)叫作數(shù)列.(2)項(xiàng):數(shù)列中的

叫作這個(gè)數(shù)列的項(xiàng),排在第一位的數(shù)叫作數(shù)列的

或叫作數(shù)列的

,排在第二位的數(shù)叫作數(shù)列的第2項(xiàng),…,排在第n位的數(shù)叫作數(shù)列的

.(3)數(shù)列的表示:數(shù)列通常寫(xiě)成a1,a2,…,an,…,其中

表示數(shù)列的第n項(xiàng),數(shù)列也可以簡(jiǎn)記為

.一定順序每一個(gè)數(shù)首項(xiàng)第1項(xiàng)第n項(xiàng)an{an}[思考1]數(shù)列的項(xiàng)和它的項(xiàng)數(shù)是否相同?提示:數(shù)列的項(xiàng)與它的項(xiàng)數(shù)是不同的概念.數(shù)列的項(xiàng)是指這個(gè)數(shù)列中的某一個(gè)確定的數(shù),是一個(gè)函數(shù)值,而項(xiàng)數(shù)是指該數(shù)列中的項(xiàng)的總數(shù).[思考2]數(shù)列1,2,3,4,5,數(shù)列5,3,2,4,1與{1,2,3,4,5}有什么區(qū)別?提示:數(shù)列1,2,3,4,5和數(shù)列5,3,2,4,1為兩個(gè)不同的數(shù)列,因?yàn)閮蓚€(gè)數(shù)列中的數(shù)順序不同,而{1,2,3,4,5}是一個(gè)集合,不是數(shù)列.2.數(shù)列的表示方法(1)數(shù)列的表示方法:通項(xiàng)公式法、列表法、圖象法、逆推公式法.(2)數(shù)列的通項(xiàng)公式:如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an可以用

表示,那么這個(gè)公式就稱(chēng)為數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.關(guān)于n的一個(gè)公式(3)遞推公式:如果數(shù)列{an}的任一項(xiàng)

與它的前一項(xiàng)

之間的關(guān)系可用一個(gè)公式來(lái)表示,即

,n≥1,那么這個(gè)公式就叫作數(shù)列{an}的遞推公式,a1稱(chēng)為數(shù)列{an}的

.[思考3]數(shù)列的通項(xiàng)公式是否唯一?an+1anan+1=f(an)初始條件3.數(shù)列的分類(lèi)大于類(lèi)別含義按項(xiàng)的個(gè)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列按項(xiàng)的變化趨勢(shì)遞增數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都

它的前一項(xiàng)的數(shù)列遞減數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都

它的前一項(xiàng)的數(shù)列常數(shù)列各項(xiàng)都

的數(shù)列擺動(dòng)數(shù)列從第2項(xiàng)起,有些項(xiàng)

它的前一項(xiàng),有些項(xiàng)

它的前一項(xiàng)的數(shù)列小于相等大于小于小試身手1.判斷正誤(正確的畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”).√(1)通項(xiàng)公式為an=n+1的數(shù)列是遞增數(shù)列.(

)(2)數(shù)列4,0,-2,-4,-6的首項(xiàng)是4.(

)(3)一個(gè)數(shù)列的前幾項(xiàng)是3,1,-1,-3,-5,-10,這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=5-2n.(

)√×B2.在數(shù)列{an}中,an=3n-1,則a2等于(

)A.2 B.3 C.9 D.323.已知數(shù)列{an}中,an-1=man+1(n>1),且a2=3,a3=5,則實(shí)數(shù)m等于(

)B課堂探究·素養(yǎng)培育探究點(diǎn)一數(shù)列的概念及分類(lèi)[例1](多選題)下列說(shuō)法不正確的有(

)A.數(shù)列1,-2,3,-4,…是一個(gè)擺動(dòng)數(shù)列B.數(shù)列-2,3,6,8可以表示為{-2,3,6,8}C.{an}和an是相同的概念D.每一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式都是唯一確定的解析:根據(jù)擺動(dòng)數(shù)列的概念可知,A正確;數(shù)列-2,3,6,8不能表示為集合{-2,3,6,8},數(shù)列和數(shù)列中的數(shù)的順序有關(guān),集合和元素順序無(wú)關(guān),故B錯(cuò)誤;{an}表示數(shù)列的全部的項(xiàng),而an表示數(shù)列的第n項(xiàng),不是同一概念,故C錯(cuò)誤;數(shù)列的通項(xiàng)公式可以有多個(gè),D錯(cuò)誤.故選BCD.方法總結(jié)(1)有窮數(shù)列與無(wú)窮數(shù)列的判斷.判斷給出的數(shù)列是有窮數(shù)列還是無(wú)窮數(shù)列,只需看數(shù)列是有限項(xiàng)還是無(wú)限項(xiàng).若數(shù)列含有限項(xiàng),則是有窮數(shù)列,否則為無(wú)窮數(shù)列.(2)數(shù)列單調(diào)性的判斷.判斷數(shù)列的單調(diào)性,則需要從第2項(xiàng)起,觀察每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的大小關(guān)系,若滿足an<an+1,則是遞增數(shù)列;若滿足an>an+1,則是遞減數(shù)列;若滿足an=an+1,則是常數(shù)列;若an與an+1的大小關(guān)系不確定,則是擺動(dòng)數(shù)列.[變式訓(xùn)練1]給出以下數(shù)列:①1,-1,1,-1,…;②2,4,6,8,…,1000;③8,8,8,8,…;④0.8,0.82,0.83,0.84,…,0.810.其中,有窮數(shù)列為

;無(wú)窮數(shù)列為

;遞增數(shù)列為

;遞減數(shù)列為

;擺動(dòng)數(shù)列為

;常數(shù)列為

.(填序號(hào))

解析:有窮數(shù)列為②④;無(wú)窮數(shù)列為①③;遞增數(shù)列為②;遞減數(shù)列為④;擺動(dòng)數(shù)列為①;常數(shù)列為③.答案:②④①③②④①③探究點(diǎn)二數(shù)列的通項(xiàng)公式[例2]已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3n2-28n.解:(1)a4=3×42-28×4=-64,a6=3×62-28×6=-60.(1)寫(xiě)出此數(shù)列的第4項(xiàng)和第6項(xiàng);[例2]已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3n2-28n.(2)-49是不是該數(shù)列的項(xiàng)?如果是,應(yīng)是第幾項(xiàng)?68是不是該數(shù)列的項(xiàng)?如果是,應(yīng)是第幾項(xiàng)?方法總結(jié)(1)由通項(xiàng)公式寫(xiě)出數(shù)列的指定項(xiàng),主要是對(duì)n進(jìn)行取值,然后代入通項(xiàng)公式,相當(dāng)于函數(shù)中,已知函數(shù)解析式和自變量的值求函數(shù)值.(2)判斷一個(gè)數(shù)是否為該數(shù)列中的項(xiàng),其方法是令通項(xiàng)公式等于這個(gè)數(shù)求方程的根,根據(jù)方程有無(wú)正整數(shù)根便可確定這個(gè)數(shù)是否為數(shù)列中的項(xiàng).(3)在用函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決數(shù)列問(wèn)題時(shí),要注意它的定義域是N+(或它的有限子集{1,2,3,…,n})這一約束條件.[變式訓(xùn)練2]寫(xiě)出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式,使其前幾項(xiàng)分別是下列各數(shù).(2)1,-3,5,-7,9,…;解:(2)這個(gè)數(shù)列各項(xiàng)的絕對(duì)值為1,3,5,7,9,…,是連續(xù)的正奇數(shù);考慮(-1)n+1具有轉(zhuǎn)換符號(hào)的作用,所以數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=(-1)n+1·(2n-1).[變式訓(xùn)練2]寫(xiě)出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式,使其前幾項(xiàng)分別是下列各數(shù).(4)9,99,999,9999,….解:(4)這個(gè)數(shù)列各項(xiàng)加1后,變?yōu)?0,100,1000,10000,…,此數(shù)列的通項(xiàng)公式為10n,可得原數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=10n-1.(3)a,b,a,b,a,b,…;探究點(diǎn)三數(shù)列的遞推公式寫(xiě)出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng).方法總結(jié)遞推公式反映的是相鄰兩項(xiàng)(或n項(xiàng))之間的關(guān)系.對(duì)于通項(xiàng)公式,已知n的值即可得到相應(yīng)的項(xiàng);而遞推公式則要已知首項(xiàng)(或前幾項(xiàng)),才可依次求得其他的項(xiàng).若項(xiàng)數(shù)很大,則應(yīng)考慮數(shù)列是否具有規(guī)律.[例4]已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n2-5n+4.探究點(diǎn)四數(shù)列的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)解:(1)由n2-5n+4<0,解得1<n<4.因?yàn)閚∈N+,所以n=2,3.所以數(shù)列中有兩項(xiàng)是負(fù)數(shù).(1)數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)?[例4]已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n2-5n+4.(2)n為何值時(shí),an有最小值?并求出最小值.方法總結(jié)利用判斷函數(shù)增減性的方法,先判斷數(shù)列的增減情況,再求數(shù)列的最大項(xiàng)或最小項(xiàng).[變式訓(xùn)練4](1)設(shè)an=-3n2+15n-18,則數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)是(

)(2)若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-11,則數(shù)列{nan}中數(shù)值最小的項(xiàng)是第幾項(xiàng)?課堂達(dá)標(biāo)A1.下列敘述正確的是(

)A.同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可能重復(fù)出現(xiàn)B.數(shù)列的通項(xiàng)公式是定義域?yàn)檎麛?shù)集N+的函數(shù)C.任何數(shù)列的通項(xiàng)公式都存在D.數(shù)列1,0,-1,-2與數(shù)列-2,-1,0,1是相同的數(shù)列解析:數(shù)列的通項(xiàng)公式的定義域是正整數(shù)集N+或它的有限子集,選項(xiàng)B錯(cuò)誤;