§5.2線性微分方程組的一般理論

GeneralTheoryofLinearODEs

掌握線性齊次微分方程組的解的性質(zhì)及代數(shù)結(jié)構(gòu)。掌握線性非齊次微分方程組的解的代數(shù)結(jié)構(gòu)，理解常數(shù)變易法的基本思想。本節(jié)要求/Requirements/§5.2GeneralTheoryofLinearODEs(5.14)則(5.14)稱為非齊次線性的。則方程(5.15）稱為齊次線性的。如果(5.15)若為常數(shù)矩陣，則稱為常系數(shù)線性方程組。如果§5.2GeneralTheoryofLinearODEs5.2.1齊線性微分方程組定理2（疊加原理）如果u(t)和

v(t)是(5.15)的解，也是(5.15)的解。則它們的線性組合(5.15)證明：§5.2GeneralTheoryofLinearODEs如果是(5.15)的解，則也是(5.15)的解?？沈?yàn)證是方程組的解，則也是方程組的解?！?.2GeneralTheoryofLinearODEs成立；否則，為線性無(wú)關(guān)的。基本概念/BasicConcept/定義在區(qū)間上的向量函數(shù)是線性相關(guān)的，如果存在不全為零的常數(shù)使得等式§5.2GeneralTheoryofLinearODEs例線性無(wú)關(guān)。設(shè)有n

個(gè)定義在區(qū)間上的向量函數(shù)§5.2GeneralTheoryofLinearODEs由這n個(gè)向量函數(shù)構(gòu)成的行列式，稱為這些向量函數(shù)的伏朗斯基行列式。如果向量函數(shù)上線性相關(guān)，則它們的伏朗斯基行列式定理3在區(qū)間§5.2GeneralTheoryofLinearODEs由假設(shè)，存在不全為零的常數(shù)使得(5.16)證明

其系數(shù)行列式恰是證畢§5.2GeneralTheoryofLinearODEs線性無(wú)關(guān)，那么，它們的伏朗斯基行列式設(shè)有某一個(gè)使得考慮下面的齊次線性代數(shù)方程組：(5.17)定理4如果(5.15)的解證明用反證法?！?.2GeneralTheoryofLinearODEs它的系數(shù)行列式，所以(5.17)有非零解以這個(gè)非零解作向量函數(shù)(5.18)滿足初始條件(5.19)的解。(5.19)易知x(t)是(5.15)的解，且滿足初始條件而在上恒等于零的向量函數(shù)0也是(5.15)的§5.2GeneralTheoryofLinearODEs因?yàn)椴蝗珵榱?，這就與線性無(wú)關(guān)矛盾。由解的唯一性，知道即定理得證。結(jié)論斯基行列式W(t)或者恒等于零，或者恒不等于零。由(5.15)的解作成的伏朗§5.2GeneralTheoryofLinearODEs定理5(5.15)一定存在n個(gè)線性無(wú)關(guān)的解。線性無(wú)關(guān)定理得證?！?.2GeneralTheoryofLinearODEs是(5.15)n個(gè)線性無(wú)關(guān)這里的解，則(5.15)的任一解x(t

)均可表示為定理6如果是相應(yīng)的確定常數(shù)。任取(5.15)的任一解

，它滿足令上式看作是以為未知量的線性代數(shù)方程組，證明(5.20)§5.2GeneralTheoryofLinearODEs系數(shù)行列式就是它顯然是(5.15)的解，且滿足條件線性無(wú)關(guān)，則，(5.20)有唯一解作向量函數(shù)初始條件，因此由解的存在唯一性條件可知證畢使得§5.2GeneralTheoryofLinearODEs與具有相同的基本猾解組：(5哨.1傅5)的n個(gè)線俊性無(wú)賀關(guān)解畢。推論1(5稅.1棗5)線性質(zhì)無(wú)關(guān)柔解的諸最大廉個(gè)數(shù)賣等于n。解矩貼陣：由(5肌.1氣5)n個(gè)解廉的列房誠(chéng)構(gòu)成流的矩傭陣。由(5鳥(niǎo).1王5)n個(gè)線叮性無(wú)焰關(guān)解愉的列跡構(gòu)成皆的矩勒陣。基解箏矩陣：標(biāo)準(zhǔn)晉基矩娃陣：定理5和定狗理6的另傲一種豬形式§5.島2并G樂(lè)en哄e(cuò)r模al動(dòng)T界he鹿or完y壟ofLi賺ne香arOD經(jīng)Es定理1*(5鞭.1途5)一定睡存在詞基解郊矩陣澇；若是(卸5.槳15防)任一悠解，威則而且鋤，如躺果對(duì)區(qū)某一業(yè)個(gè)定理2*一個(gè)垃解矩從陣是閘基解遭矩陣塘的充助要條演件是§5.品2惹G倦en董er觀al評(píng)T盆he乳or歪y口ofLi諒ne燭arOD那Es例1驗(yàn)證是方尼程組的基脂解矩種陣。首先漲證明是解酬矩陣允。令表示的第偏一列嬌，表示解的第做二列§5.患2薪G旗en狼er側(cè)al喬T勻he蒜or腿y款ofLi材ne展arOD音Es這表劑示是方窩程組誓的解惕，因劣此是解豪矩陣慢。又因扇為是基司解矩神陣。，所君以§5.憐2烏G摸en姜er行al愚T瓶he敵or指y損ofLi鑰ne挎arOD查Es必滿惠足關(guān)嶺系結(jié)論脖：是方莊程組(5跡.1鼻5)的一貪解矩歪陣的軍充要拌條件憶是§5.第2娃G霧en求er授al播T宴he留or借y貧ofLi滴ne蔥arOD鐵Es令是解寒矩陣返。是(5組.1毯5)的基垃解矩蝕陣。如果常數(shù)矩陣，那么,也是(5.15)在區(qū)間推論1是(5.15)在區(qū)間上的基解矩陣，

C非奇異上的基解矩陣。證明證畢§5.請(qǐng)2禽G忠en朗er洲al預(yù)T呢he法or百y罪ofLi記ne棕arOD球Es如果在區(qū)精間上是符方程材組(5以.1鞋5)的兩令個(gè)基毅解矩舊陣，千那么亮，存內(nèi)在一嬸個(gè)非咽奇異常數(shù)胃矩陣C,使得在區(qū)綁間上推論2證明基解塑矩陣誤，存在雁，令或證畢§5.呢2痰G曾en掩er祥al捕T幕he者or汪y耍ofLi荷ne潤(rùn)arOD盒Es如果在區(qū)覆間上是鴨某方展程組的基況解矩網(wǎng)陣，怠那么蝴，這資個(gè)方砌程組寨為推論3證明設(shè)所皺求方蠟程組如為則故§5.傳2悅G科en揀er穩(wěn)al閑T畢he而or愚y鄭ofLi膀ne口arOD俘Es例已知間一個(gè)鼠一階蒸線性崖齊次招方程宅組的敏基解媽矩陣脖為，求詠該方尿程組槍。解所求捐方程摩組為§5.暈2蝴G諷en揚(yáng)er合al辟T義he簽or霧y流ofLi主ne