年

級(jí)

九

科目

數(shù)學(xué)

班型

一一

學(xué)姓

第次課題名拋物線頂點(diǎn)三角形的規(guī)律

授老

授時(shí)

2018月日15:00—教學(xué)目

掌握二函數(shù)圖象內(nèi)接特殊三角形的性質(zhì)，并利用性質(zhì)求解析式和參數(shù)的值。通過規(guī)的推導(dǎo)和運(yùn)用，提高類比推理和綜合解題能力教學(xué)重規(guī)律的推導(dǎo)和運(yùn)用教學(xué)難規(guī)律的推導(dǎo)和運(yùn)用教學(xué)過:基礎(chǔ)知回顧（1）拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)公式:_____,_________),簡(jiǎn)記為___________.（2）若拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),0),B(x,0)，AB=___________=________.12（3）韋達(dá)定理：若ax2+bx+c=0(a0)有兩實(shí)根x,x,則_________________________.12典題解（一）物線與x軸兩交點(diǎn)和頂點(diǎn)定的三形例1.已知，二次函y=x

2

+kx+1與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)右側(cè)，頂點(diǎn)M。當(dāng)△是等腰直角三角形時(shí)，（1）求k值）求判別式eq\o\ac(△,.)O

ANB-1M

解析：畫出函數(shù)大致圖象，再利用等腰三角形性質(zhì)，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)求解。問題例1中，如果y=x

2

+kx+1換成y=ax

2

+bx+c，ABM是等腰直角三角形時(shí)eq\o\ac(△,，)值不變嗎？規(guī)律：當(dāng)

2

+bx+c(a≠0)與x交于A、B點(diǎn)，C頂點(diǎn)，當(dāng)△為等腰直角三角形，則△=b

2

-4ac=4練習(xí)1（變式）已知拋物線y=x2—bx(b≠0)的頂點(diǎn)為M，與直線y=—2交點(diǎn)分別為A、，且△ABM為等腰直角三角形，則。問題前面的問題中當(dāng)△為等邊三角形時(shí)，y=ax

2

+bx+c的判別式eq\o\ac(△,又)eq\o\ac(△,)是多少？規(guī)律當(dāng)y=ax

2

+bx+c(a≠0)與x軸交于AB兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為M，當(dāng)ABM等邊三角形時(shí)，△=12例設(shè)二次函數(shù)y=x

+2ax+3(a<0)圖象頂點(diǎn)為M，與x軸交點(diǎn)為A、B，當(dāng)ABM為等邊三角形時(shí)，a的值為________

4拓展：2當(dāng)△ABM是頂角為°的等腰三角形呢？仍利用含30°角的△來推導(dǎo)判別式△,請(qǐng)同學(xué)們推導(dǎo)一下，看此時(shí)eq\o\ac(△,又)eq\o\ac(△,)是多少？)4規(guī)律3：y=ax+bx+c(a≠0)與x交于A、兩點(diǎn)，頂點(diǎn)，當(dāng)△是頂角為120°的等腰三角形時(shí)，eq\o\ac(△,=)

43第一類拋物線內(nèi)接三角形的規(guī)律，當(dāng)y=ax2+bx+c(a≠0)與x交于A、點(diǎn)，M頂點(diǎn)時(shí)，三角形的形狀與判別式△有關(guān)：1.當(dāng)△ABM是等腰Rt△時(shí)，△；2.當(dāng)△ABM是等邊三角形時(shí)，△；3.當(dāng)△ABM是頂角為120°的等腰三角形時(shí)，△。以上結(jié)論在填空、選擇、探索性問題中比較簡(jiǎn)潔、高效。（二拋物線與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)確定的三角形例3、已知拋物y=ax

2

+bx+c與x軸正、負(fù)半軸分別交AB兩點(diǎn)，y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C。OA=4，OB=1，∠ACB=90°，求拋物線解析式。yB

OC

Ax問題若上例中把條件，OB=1去掉，其它條件不變，則、c之間滿足什么關(guān)系？規(guī)律

當(dāng)拋物線與x軸有交點(diǎn)AB，和軸交于點(diǎn)，一般結(jié)論：△ABC是

ac=—1練習(xí)2（變請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種平移方案，將y=—

2

+3x+4平移，使其與坐標(biāo)軸三個(gè)交點(diǎn)為直角三角形三個(gè)頂點(diǎn)。課堂?。簰佄锞€內(nèi)接特殊三形（一）與x軸兩交點(diǎn)A、B和頂點(diǎn)確定的三角形.1.△ABM是等腰Rt△eq\o\ac(△,=4)eq\o\ac(△,)；2.△ABM是正三角形△=12；3.∠AMB=120°eq\o\ac(△,=)eq\o\ac(△,)。3（二與坐標(biāo)軸三個(gè)交點(diǎn)AB、C所確定的三角形：△ABC是RT△ac=—1例

若拋物線

y

mx

的頂點(diǎn)為且與軸交于AB點(diǎn)，為腰直角三角形時(shí)的值是多少？

例2.知拋物線

yaxbx(0)

的頂點(diǎn)為P，對(duì)稱軸為直線，若此拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)A和B問C為何值時(shí)△為等腰直角三角形？例

已知拋物線

yx

2

與x軸于A、點(diǎn)，P是拋物線的頂.（1當(dāng)△PAB的面積為

18

時(shí)，求拋物線的解析式。（2是否存在實(shí)數(shù)，使是邊三角形？若存在。求的；若不存在，請(qǐng)說明理由。當(dāng)堂測(cè)、二次函數(shù)y=x-mx+m-2圖與x軸于A、B兩點(diǎn)，與軸于點(diǎn)C點(diǎn)，M頂點(diǎn)（1當(dāng)時(shí)，AMB為角角形；（2當(dāng)時(shí)，AMB為三形；當(dāng)m=________，AB=AM；若∠ACB=90°則線y=k與拋物線y=2有兩個(gè)交點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)eq\o\ac(△,，)ABO是正三角形則k=______,S

△ABO

=_______。(2)（選做以拋物線ymx頂點(diǎn)A為一個(gè)頂點(diǎn)作該拋物線的內(nèi)接正M，兩點(diǎn)在拋物線上）.△AMN的面積是與無關(guān)的定值嗎？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由。三、課達(dá)標(biāo)檢測(cè)2004年太原市競(jìng)賽題次函數(shù)y=x+2ax+當(dāng)⊿ABC為等邊三角形時(shí)，求的值

12

a2(a﹤0)的圖像頂點(diǎn)為AX軸交點(diǎn)為B,C,如圖，拋物線

y

1x22

與

軸交于

A、

兩點(diǎn)，與y

軸交于

點(diǎn)．

y（1求

A、、

三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2證明

△ABC

為直角三角形；

C（3在拋物線上除

點(diǎn)外，是否還存在另外一個(gè)點(diǎn)

P

，使

△ABP

是直角三角形，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)

P

的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

AO

x四、課小結(jié)與收獲五作布（附課后反思檢查人

日期：

2222家作2222如，物線

12

學(xué)姓x與x軸于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且A（，（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的標(biāo)；（2）判斷ABC的狀，證明你的結(jié)；⑶點(diǎn)（，）是x軸的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)淖钚r(shí)，求值設(shè)次數(shù)

yax

bx(0)

的圖象與軸兩個(gè)交點(diǎn)為

(xB(

拋線頂點(diǎn)為顯然△ABC為腰角形，我們可以得到三個(gè)重要的結(jié)論：（1）當(dāng)△ABC為腰直角三角形時(shí)，eq\o\ac(△,=4)eq\o\ac(△,)；（2）當(dāng)△ABC為邊三角形時(shí)，=12（3）當(dāng)△ABC為腰三角形且

時(shí)，eq\o\ac(△,=)

43果條物線y=ax+bx+ca）x軸兩個(gè)交點(diǎn)，那么以該拋物線的頂點(diǎn)和這兩個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為這條拋物線拋物線三角”．（1）拋線三角形”一定是三形（2）若拋物線y=-x（b＞0）的拋線三角是腰直角三角形，求b的；（3）如圖，OAB是物線y=-x+b′x（＞0）“物線三角形，否存在以原點(diǎn)O為稱中心的矩形ABCD若存在，求出過、、D三的拋物線的表達(dá)式；若不存在，說明理由．

二次函數(shù)的圖像是軸對(duì)稱圖像圖像上的點(diǎn)除了頂點(diǎn)在對(duì)稱軸上以外其他的對(duì)稱點(diǎn)都是成對(duì)出現(xiàn)的，這樣的一對(duì)點(diǎn)和頂點(diǎn)形成的三角形，本人稱之為頂點(diǎn)三角形，由于函數(shù)的對(duì)稱性，我們很容易就能得到它是等腰三角形，并且等腰三角形的頂點(diǎn)就是二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)，因?yàn)樗奶厥庑?，所以成了中考命題者的偏愛和側(cè)重的重點(diǎn)，那么頂點(diǎn)三角形有哪些規(guī)律呢？本人對(duì)頂點(diǎn)三角形的規(guī)律由一道競(jìng)賽題談起。題目年太原市競(jìng)賽題設(shè)二次函數(shù)y=x+2ax+點(diǎn)為B,C,當(dāng)⊿ABC為等邊三角形時(shí)，求的值。

12

a2(a﹤0)的圖像頂點(diǎn)為與X軸交解：作AD⊥BC于D，由題意則A(-a,-

12

a2),BC=-a,

由AD=

32

BC，得1︱-a︳=（-a得a=-,a=0(去)。2該題有別的解法嗎？有什么規(guī)律可以利用嗎？本人經(jīng)過探討得出了以下幾條結(jié)論：命題：設(shè)二次函數(shù)y=ax+bx+c(a≠0)的圖像頂點(diǎn)為A，與X軸交點(diǎn)為B,C,⊿ABC中，∠ABC=∠ACB=

，△=b

2

-4ac（△＞0）,那么tan

2

。

y證明：如圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC,交BC于點(diǎn)D,∵BC=,a14ac2∴BD=,又∵點(diǎn)A坐標(biāo)為：A(-,)，2a2a

OB

DA

C

xac∴AD=∣∣=,在Rt⊿ABD中，∠ABD=

∠ADB=Rt∠∴tan=

BD=/=。命題成立。AD4a2推論：二次函數(shù)y=ax

2

+bx+c(a≠0)的圖像頂點(diǎn)為，與X軸交點(diǎn)為B,C,則⊿為等邊三角形的充要條件是△-4ac=12。證明：分條件：∵⊿ABC等邊三角形，∴=60

0

，∴

=tan602

0

=3,

∴=2,△=12.必要條：△=12∴中過點(diǎn)A作AD⊥BC,交BC于點(diǎn)D,∠ABD=

∠ADB=Rt∠，tan

BD1=/=∴AD2a

BD=3，ABD=AD

為銳角∴=60

0

又⊿ABC為等腰三角形，ABC為等邊三角形。推論二次函數(shù)y=ax

2

+bx+c(a≠0)的圖像頂點(diǎn)為，與X交點(diǎn)為B,C,那么⊿ABC為直角三角形的充要條件是△=b

2

-4ac=4。證明：分條件：∵⊿ABC直角三角形，那么∠BAC=90∴0，∴=

2

=tan45=1,=2,△=4.必要條：∵△，∴⊿ABC中，過點(diǎn)A作AD⊥BC,交BC點(diǎn)D,∠∠ADB=Rt∠，tan

BD=/=，∴tanAD4a2

BD==1，∠ABD=AD

為銳角，=45

0

，又∵ABC為等腰三角形，∴⊿ABC為等腰直角三角形。推論二次函數(shù)y=ax

2

+bx+c(a≠0)的圖像頂點(diǎn)為與X軸交點(diǎn)為B,C,⊿ABC中∠ABC=∠ACB=

0

的充要條件是△

2

4-4ac=。證明略。3如果二次函y=ax+bx+c(a0)的圖像與X交點(diǎn)及頂點(diǎn)構(gòu)不成特殊的等腰直角三角形或等邊三角形或者二次函數(shù)y=ax

2

+bx+c(a≠0)的圖像與X軸根本就沒有交點(diǎn)情況又如何呢？命題2：次函數(shù)

2

+bx+c(a≠0)的圖像頂點(diǎn)為，過點(diǎn)，n)作的垂線交該拋物線于點(diǎn)C和點(diǎn)B,⊿ABC中，∠ABC=∠ACB=△-4ac，'=b-4ac+4an=△+4an,則

。

y證明：如圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC,交BC于點(diǎn)D,令y=n,代入y=ax2+bx+c，得：2+bx+c-n=0,設(shè)B(x,n),C(x,n),=b-4ac+4an=△+4an,2

O

B

D

xA

''''∴BC=x

==,∴BD=,aabac4an又∵點(diǎn)A坐標(biāo)為,)AD=∣-n∣==,在Rt⊿ABD24a444a中，∠ABD=

∠ADB=Rt∠BD∴=/=。命題成立。ADa4a推論：二次函數(shù)y=ax

2

+bx+c(a≠0)的圖像頂點(diǎn)為A，過點(diǎn)P(0n)作y軸的垂線交該拋物線于點(diǎn)C和點(diǎn)B,⊿ABC中，∠ABC=∠ACB=

則⊿ABC為等邊三角形的充要條件是'=b2-4ac+4an=△+4an=12。理由是：∵⊿為等邊三角形∴∴

=tan60=3,∴=23,∴'

=12.所以充分結(jié)論成立。顯然必要性也成立。推論2:二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像頂點(diǎn)為A，過點(diǎn)P(0，n)作y軸的垂線交該拋物線于點(diǎn)C和點(diǎn)B,⊿ABC中，∠ABC=∠則⊿ABC為直角三角形的充要條件是2'=b-4ac+4an=△+4an=4。理由是∵⊿ABC為直角三角形么∠BAC=90

0,AB=AC,∴=45

∴tan

=tan45

0

=1,∴=2,'

=4.所以充分結(jié)論成立。顯然必要性也成立。至此已完全弄清楚了二次函數(shù)中的頂點(diǎn)三角形的特殊性與二次函數(shù)的系a,b,c，△及

之間的關(guān)系，這種特殊的關(guān)系對(duì)研究函數(shù)的性質(zhì)，帶來許多方便，面舉例說明．例1，已知拋物線22+4x-3開口向下，與x軸交于A,B兩點(diǎn)，且點(diǎn)為函數(shù)圖像的頂點(diǎn)，當(dāng)⊿ABP為直角三角形時(shí)，m=.解根據(jù)題意由命題1推論2可得⊿ABP為直角三角形充要條件是eq\o\ac(△,：)=b

2

-4ac=16-4（1-m

2

）(-3)=4.得出m=±2又因?yàn)殚_口向下，所以1-m

2

﹤0，所以m=±成立。例2年太原市競(jìng)賽題）設(shè)二次函數(shù)y=x

2

+2ax+

12

a(a﹤0)的圖像頂點(diǎn)為A，與X軸交點(diǎn)為B,C,當(dāng)⊿ABC為等邊三角形時(shí)，求的值。

解：∵由命題1的推論1可得：⊿為等邊三角形的充要條件是：△=b-4ac=12，∴（2a2

-4

12

a

2

=12,解得a=±又因?yàn)閍﹤0，所以a=-6.例3．拋物線y=ax的對(duì)稱軸為x=1.

2

+bx+c(a≠0)交X軸于A,B(3,0)點(diǎn)，交Y軸于點(diǎn)C(0,-3)，已知拋物線⑴求二次函數(shù)2+bx+c的解析式。⑵在Y軸上是否存在一點(diǎn)P,且過點(diǎn)P的直線交拋物線于G,H點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)Q,使得⊿QGH為等邊三角形？如果存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由。解：⑴y=x-2x-3,過程略