1.3二項(xiàng)式定理1.3.2“楊輝三角”與二項(xiàng)式 系數(shù)的性質(zhì)

問(wèn)題提出1.二項(xiàng)式定理是什么？二項(xiàng)展開(kāi)式有哪些基本特征？

共有n＋1項(xiàng)；字母a的最高次數(shù)為n且按降冪排列；字母b的最高次數(shù)為n且按升冪排列；各項(xiàng)中a與b的指數(shù)冪之和都是n；各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)依次為 且與a，b無(wú)關(guān).2.二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)是什么？3.組合數(shù)有哪兩個(gè)基本性質(zhì)？4.二項(xiàng)式系數(shù)是二項(xiàng)展開(kāi)式中的基本數(shù)據(jù)，它有許多變化規(guī)律，探究、了解二項(xiàng)式系數(shù)的基本性質(zhì)，對(duì)提升思維素養(yǎng)，進(jìn)一步理解二項(xiàng)式定理和運(yùn)用二項(xiàng)式定理解決某些實(shí)際問(wèn)題，都有重要的作用.楊輝三角與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)探究（一）：楊輝三角

問(wèn)題1：(a＋b)1，(a＋b)2，(a＋b)3，(a＋b)4，(a＋b)5，(a＋b)6的展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)分別是哪些組合數(shù)？并將它們的計(jì)算結(jié)果填入下表：654321二項(xiàng)式系數(shù)n11111111111123346451010561515206問(wèn)題2：觀察上表中每一行的數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律嗎？654321二項(xiàng)式系數(shù)n11111111111123346451010561515206具有對(duì)稱(chēng)性問(wèn)題3：將上表寫(xiě)成如下形式，你又能發(fā)現(xiàn)這些數(shù)據(jù)有什么新的規(guī)律嗎？(a＋b)1………………11(a＋b)2……………121(a＋b)3…………1331(a＋b)4………14641(a＋b)5……15101051(a＋b)6…

1615201561（1）每行兩端的數(shù)都是1；（2）與兩端等距離的項(xiàng)的系數(shù)相等；（3）在相鄰的兩行中，除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它“肩上”兩個(gè)數(shù)的和，等等.問(wèn)題4：上述數(shù)表是我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》一書(shū)中最先提出的，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要成果，比歐洲早五百年左右，我們把這個(gè)數(shù)表稱(chēng)為楊輝三角，楊輝三角的上述基本性質(zhì)如何用組合數(shù)性質(zhì)解釋?zhuān)?a＋b)1………………11(a＋b)2……………121(a＋b)3…………1331(a＋b)4………14641(a＋b)5……15101051(a＋b)6…

1615201561問(wèn)題5：利用楊輝三角，(a＋b)7的展開(kāi)式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別是什么？(a＋b)1………………11(a＋b)2……………121(a＋b)3…………1331(a＋b)4………14641(a＋b)5……15101051(a＋b)6…

1615201561135352121771探究（二）：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

問(wèn)題1：對(duì)給定的正整數(shù)n，設(shè)函數(shù) ，r∈{0，1，2，…，n}，當(dāng)n＝6時(shí)，函數(shù)f(r)的圖象是什么？rf(r)O1234565101520問(wèn)題2：一般地，函數(shù)，r∈{0，1，2，…，n}的圖象是什么？它具有怎樣的對(duì)稱(chēng)性？n＋1個(gè)孤立的點(diǎn)，關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)問(wèn)題3：在二項(xiàng)式系數(shù)中，哪些二項(xiàng)式系數(shù)是相等的？與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等.問(wèn)題4：相鄰兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的大小關(guān)系如何？從理論上如何確定與的大?。繂?wèn)題5：通過(guò)上述分析，二項(xiàng)式系數(shù)的增減性與最大值分別是什么？二項(xiàng)式系數(shù)的前半部分是遞增的，后半部分是遞減的，且在中間取得最大值.問(wèn)題6：當(dāng)n分別為偶數(shù)和奇數(shù)時(shí)，第幾項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大？當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù) 為最大；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，第的二項(xiàng)式系數(shù)和第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且同時(shí)為最大.問(wèn)題7：在二項(xiàng)式定理中，a，b可以任意取值，特別地，當(dāng)a＝b＝1時(shí)，可得什么結(jié)論？當(dāng)a＝1，b＝－1時(shí)，又可得什么結(jié)論？問(wèn)題8：上述閘結(jié)果仆表明泉，所踢有二喘項(xiàng)式催系數(shù)燭之和程等于2n，所其有奇拌數(shù)項(xiàng)徹的二冠項(xiàng)式義系數(shù)響之和挪與所寺有偶恐?jǐn)?shù)項(xiàng)劇的二趕項(xiàng)式散系數(shù)門(mén)之和轟相等政，且端都等鑰于2n－1.那么陵，如木何求(3＋2x贊)n的展劉開(kāi)式揚(yáng)中各燭項(xiàng)的財(cái)系數(shù)渠之和彎？令x＝1，得淡各項(xiàng)灑的系媽數(shù)之沿和為5n.例1填空恭：（1）(x－y)11的展峽開(kāi)式侵中系擴(kuò)數(shù)最若大的覽項(xiàng)第項(xiàng)，乞系數(shù)并最小納的項(xiàng)肆第項(xiàng)；（2），經(jīng)典非范例5610曠2351宜2例2已知(1＋2x突)n的展賤開(kāi)式叛中第6項(xiàng)與媽第7項(xiàng)的宜系數(shù)挺相等訴，求馬展開(kāi)漲式中淚二項(xiàng)當(dāng)式系步數(shù)最蹲大的古項(xiàng).例3求集天合A＝{a1，a2，…，an}共有名多少杰個(gè)子邊集？課堂戰(zhàn)小結(jié)1.楊輝槍三角與反映較了二蠅項(xiàng)式罵系數(shù)家的變況化規(guī)榜律，抗其理畢論依恐據(jù)是叫組合驚數(shù)的供兩個(gè)鉛性質(zhì).楊輝盒三角災(zāi)中還賽有許棒多有捕趣性拌質(zhì)，?？勺鳂尀橐慌輦€(gè)研爐究性芽課題貨進(jìn)行占探究.2.二項(xiàng)吐式系辣數(shù)的凡性質(zhì)肅實(shí)質(zhì)摘是組木合數(shù)憲的一勤些性糧質(zhì)，院常作擇為解椅決組旗合數(shù)仰問(wèn)題寸的理寇論依兼據(jù)，丟但這校些性廢質(zhì)不作能類(lèi)濕推到體二項(xiàng)葛展開(kāi)廳式的先系數(shù).3.令x＝1，可茂求得(a＋bx)n