cos x，cosy，cos|OM |r |r |r從而，(cos,cos,cos)(x y z)1(x,y,z)re|r||r||r |r |r coscoscos稱為向量r的方向余弦1A(4,0,5B(7,1,3)AB方向相同的單位向量e 因?yàn)锳BOBOA(7,1,3)(4,0,5)(3, AB

2) e (3,1,2)|AB1 3,1,21例2已知兩點(diǎn)M1(2, 2)和M2(1,3,0)，計(jì)算向量M1M2的模、方向余弦和方向角 M1M2(12,32,0(1)2(1)212(M1M2

111

2) 2cos1，cos1，cos 2 2π，π，3π

或abx1x2y1y2z1z2x2y2 x2y2 x2y2 x2y2 ab

由向量積的定義可以直接推得ab0的充分必要條件是a與b共線，即a與b由ab0不能推導(dǎo)出a與b必有一個(gè)為零向量，這與數(shù)的乘法不同．由aba也不能得到bcbaab (ab)c稱作三向量a,b,c的混合積．記作[abc][abc]

[abc](ab)c|ab||c|混合積的絕對值．以向量abcVAh|ab||c|cos[abc（體積取正值3R3ai2j2kb3i4kcij2k，試求以向量abc為棱圍成的 所求體積等于[abc] 而[abc] 48 所以，所求體積V[abc]84空間三個(gè)向量abc共面的充分必要條件是[abc0 設(shè)向量n的坐標(biāo)表示為(A,B,C)，M0的坐標(biāo)為(x0,y0,z0)，M(x,y,z)為平面上的任意動(dòng)點(diǎn)，平面的點(diǎn)法式方程A(xx0)B(yy0)C(zz0)05求過三點(diǎn)M11,2,3)M23,4,6)和M34,3,3) 解M1M22,2,3M1M33,1,0) nM1M2×M1M33i9j4k，于是，3(x1)9(y2)4(z3)0， 3x9y4z3．截距式方程設(shè)a,b,cxyz軸上的截距xyz1 一般式方程AxByCzD0D0A0xAD0xAB0xoyABD0xoyB0或C06求過點(diǎn)M1(2，-1，4)，M2(-1，3，-2)且垂直12x3yz0 設(shè)所求平面的一個(gè)法向量為n(A,B,C)因?yàn)橄蛄縈1M2346)在所求的平面上，所以它必與n又因?yàn)樗蟮钠矫媾c平面1垂直，所以平面1得法線向量n1(2,3,1)必與n垂直． nM1M2n114i9jk，14(x2)9(y1)(z4) 14x9yz150兩平面的夾角 2 A1A2A1A2B1B2A2B2C A2B2C 12A1A2B1B2C1C20//n與n共線ABC)kABC)A1B1C1A A2

點(diǎn)到平面的距離P0x0y0z0)到平面AxByCzD0A2B2C

,

xx0yy0z 令t為參數(shù)，xx0mtyy zz yy0z（2）當(dāng)m0時(shí)，方程組轉(zhuǎn)化為 x np7求過點(diǎn)(2，1，3)x1y1

z解作過點(diǎn)(2，1，3)3(x2)2(y1)(z3)x1t

y12t,zt2 ，從而，得交點(diǎn)為( ,) 2 7 以點(diǎn)(2，1，3)為起點(diǎn)，點(diǎn)( ,7

x2y1z3 一般式方程平面1與2A1xB1yC1zD1AxByCzD xyz1

8求直線xyz10xyz0xyz1 過直線xyz10的平面束方程(xyz1)(xyz1)0 (1)x(1)y(1)z(1)0即(1)1(1)1(1)1于是得1，代入得投影平面方程 yz10

yz1xyz0兩直線的夾 cos （2）LLm2n2p2mnp mnp 直線與平面的夾 設(shè)平面的法向量為n(A,B,C)，直線L的方程xx0yy0zz0，設(shè)直線L與平面的夾角為，又因?yàn)橹本€的方向向量s(m,n,p) 與平面的法向量nA,BCsin|cosn,s |AmBnCp 9平面xyz0L2x12y2z3L與夾角 平面的法向量為n(1,1,1)，直線L的方向向量為s(1,1,2)，12121212121212121212323于是23 x2 xn)T|xiR,i 給定向量組Ａ：a1, a2,, 組合；k1, k2,, km稱為這個(gè)組合的系數(shù)． 1a11a20a31，和向量b1 1k1 解：設(shè)bk1a1k2a2k3a3

1k1 0k

3 方程組系數(shù)行列式D1

1200亦即向量bb1a1a1a2 2 2對于給定向量組Ａ： a2 am，存在不全為零的實(shí)數(shù)1,2,m，使關(guān)系1例 已知向量組a,a2,a3線性無關(guān)，b1=a1+a2,b2=a2+a3,b3=a3+a1 試證向量1 由已知，

(b,b,b)(a,a,

1 0 1 ) 0 3 1 1|K|0

020K可逆，因此b1b2b3 3a a 、 2 4

0-- 、1 3

3、6 1

2 、 0

4321 顯然，a1,a2,a3,a4,a5線性相關(guān)． 向量組的 對于給定向量組A:a,a2,,am，如果它的一個(gè)部分組A0:ai,ai A0．4A:a10,0)Ta0,1,0)Ta00,1)Ta4,1,0)Ta04,1)T 所以，向量組中任意向量都可由a1a2a3a1a2a3為向量組如果向量組1,2,,r可以由向量組12,s線性表示，且1,2,,r線性無關(guān)，則rs．秩．矩陣A的列秩等于A的行秩，等于A的秩．5求下列向量組的秩和一個(gè)最大線性無關(guān)組，并將其余的向量表示成該最大線性無關(guān)組 2 解：A 7252 7321522100 0110□ 1

BB繼續(xù)施行初等行變換，將其轉(zhuǎn)化為最簡行階梯矩陣 2 2/ 1/ 1 1/ 1/3 0 21，11 3 3 3 36證明：向量組11,1,1)T,22,3,4)T,357,9)T與1(3,4,5)T并將12分別用1,2,3 A

20,1,2)T□ 0 0 0

因此，向量組1,2,3與向量組12等價(jià)．觀察矩陣C有：11203，2212037討論集合Vxx1,0,...,0xnx1xnR是否構(gòu)成一個(gè)向量空間．解是．對于任意a0,0a)TV(b,0,,0,b)T

有ab0,0ab)T 和Ra0,0,a)TV 顯然，V對線性運(yùn)算封閉．因此，VRn8Vx12r|iRi12,r稱為1,2,,r生成的集合．證明：V是一個(gè)向量空間（事實(shí)上，我們更稱V是由1,2,,r所生成的向量空間． 對于任意x11111221rrVx22112222rrV x1x2(1121)1(1222)2(1r2r)rV；對任意的R，x11111221rrV所以，V若V是由1,2,,r生成的向量空間，則可看作V是由1,2,,r的一個(gè)最大線性無關(guān)組生成的向量空間．即dimVR(1,2,,r)．若1,2,,r為向量空間V的一組基，則V可看作是由1,2,,r向量組的最大線性無關(guān)組一般不唯一，因此V1,2,,r為向量空間V的一個(gè)基，則對任意的V可唯一的表示為x11x22xrrx1x2xn稱作向量在基1,2,,r下的坐標(biāo)，記為(x1,x2,,xn)．9在R4中，求由向量組11,3,2,1)T，2495,4)T，33,7,43)T所生成的向量空間V的維數(shù)和一組基．解：向量組1,2,3的最大線性無關(guān)組及秩分別為向量空間V 4 0 1 3

0 V的一個(gè)基可為1,2，V104維列向量1,2,3則r(1,2,3,4)

(i4非零，且與1,2,3 設(shè)V是由1,2,3生成的子空間．由于1,2,3線性無關(guān)，因dimV3，1,2,3i(i4非零，且均與1,2,3iViV(i設(shè)有m個(gè)方程的n11 12 1naxax11 12 1naxaxax21 22 2n A 2n x2

x mn nx1x2xn0，稱為零解11xx,xAx0x21 nAx0的全體解所構(gòu)成的集合S是一個(gè)向量空間，當(dāng)系數(shù)矩陣的RAr時(shí)，解空間S的維數(shù)為nr．Ax0的解空間S例1設(shè)A 實(shí)矩陣，證明R(ATA)R( 設(shè)x為n維列向量xAx0ATAx0,即ATAx0x滿足ATAx0xTATAx0，即Ax)TAx0b1b2Ax (bR bn (Ax)T(Ax)b2b2b2 b1b2bn0，即Ax0Ax0與ATAx0RATARA0 1 1 1設(shè)β，α11，α21，α31，問當(dāng)取何值時(shí)，(1)β2 1 1

α1α2α3(2)β可以由α1α2α3線性表示，但表示 設(shè)k1α1k2α2k3α3β，由此得線性方程 1k1 1 D 1

11

1

2當(dāng)0時(shí)，方程組（*）D0，因此此方程組有無窮多組解，因此β可以由α1α2α3線性表示，但表示式不唯一．．當(dāng)

0

9

9 3 12 12

18

6 2當(dāng)a、bx1 x2 x3x4 32x x xa3x2x x3ax4 b a a b

a 當(dāng)a1rArA,b4 當(dāng)a1

b

1212

b 0若b1，則r(A) r(A,b)3，此時(shí)，方程組無解若b1，則rA)rA,b24 b

x1 x

2c

c 1x

1

2 0

03x4

3Axb(1)其中k1,k2為任意常數(shù)．1220(0301 A

0 1 21103 0 Ax* 11200 3 0

4已知向量組1(1,1,1)T2(1,1,0)T,3(1,0,0)TAA1(4,3)TA2(7,8)T,A3(5,5)TA解：A(,,)(A,A,A) 記P

5 0，則P可逆，且AP 5 0 所以，A 5P1 P1

1 0 2 故，A 5P 5 1 1555

2 a 例5設(shè)A ，B ，當(dāng)a為何值時(shí)，存在矩陣C，使ACCAB成立．并 0 出所有矩陣C x解：設(shè)C x4 a x2 x1