江蘇省揚州大學附屬中學2021屆高三年級階段檢測（12月）數(shù)學試卷（全卷滿分150分，考試時間120分鐘）一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合要求)．1．已知全集，集合，，則（）A．B．C． D．2．若復數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．3．在平面直角坐標系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關于軸對稱．若，則（）A． B． C． D．4．如圖，在四邊形中，設，則（）A． B． C． D．5．冬春季節(jié)是流感多發(fā)期，某地醫(yī)院近30天每天入院治療流感的人數(shù)依次構成數(shù)列，已知，，且滿足（），則該醫(yī)院30天入院治療流感的共有（）人A．225 B．255 C．365 D．4656．我國古代數(shù)學名著《九章算術》中,定義了三個特別重要而基本的多面體，它們是：（1）“暫堵”：兩個底面為直角三角形的直棱柱；（2）“陽馬”：底面為長方形，且有一棱與底面垂直的棱錐；（3）“鱉臑（biēnào）”：每個面都為直角三角形的四面體。魏晉時期的大數(shù)學家劉徽進一步研究發(fā)現(xiàn)：任何一個“暫堵”都可以分割成一個“陽馬”和一個“鱉臑”且“陽馬”和“鱉臑”的體積比為定值。則此定值為（）A．1:2 B．1:3 C．2:1 D．3:17．已知點A是拋物線x2＝2py的對稱軸與準線的交點，點B為拋物線的焦點，P在拋物線上且滿足|PB|＝m|PA|，則m的最小值為（）A．1 B． C． D．8．甲乙兩人進行乒乓球友誼賽，每局甲勝出概率是，三局兩勝制，甲獲勝概率是q，則當取得最大值時，p的取值為（）A． B． C． D．二、多項選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分)9．下列命題正確的是（）A．“”是“”的必要條件B．數(shù)列是等比數(shù)列的必要條件是C．命題“，”的否定是“，”D．時，“”是“”的必要不充分條件10．函數(shù)，以下結論正確的是（）A．的一個周期是 B．的圖象關于直線對稱C．的最大值為2 D．是上的增函數(shù)11．數(shù)學家們在探尋自然對數(shù)底與圓周率之間的聯(lián)系時，發(fā)現(xiàn)了如下公式：（1）（2）（3）以下命題，正確的是（）A．（為虛數(shù)單位）B．（為虛數(shù)單位）C．（為虛數(shù)單位） D．（為虛數(shù)單位）12．已知曲線.從點向曲線引斜率為的切線，切點為.則下列結論正確的是（）A．數(shù)列的通項為B．數(shù)列的通項為C．當時，D．三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．已知，，其中，是互相垂直的單位向量，則______.14．已知不等式的解集是，則不等式的解集是______．15．設、分別為橢圓：()與雙曲線：()的公共焦點，設橢圓與雙曲線在第一象限內交于點，且，若橢圓的離心率，則雙曲線的離心率的最小值是________.16．某同學在參加《通用技術》實踐課時，制作了一個實心工藝品（如圖所示）．該工藝品可以看成一是個球體被一個棱長為4的正方體的個面所截后剩余的部分（球心與正方體的中心重合）．若其中一個截面圓的周長為，則該球的半徑為___；現(xiàn)給出定義：球面被平面所截得的一部分叫做球冠．截得的圓叫做球冠的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球冠的高．如果球面的半徑是，球冠的高是，那么球冠的表面積計算公式是.由此可知，該實心工藝品的表面積是____.四、解答題（本大題共6小題，計70分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）17．在①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并加以解答問題：是否存在，其內角，，的對邊分別為，，，且，，______？若問題中的三角形存在，求的值；若三角形不存在，說明理由.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.18．已知為等差數(shù)列的前項和，，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和.19．根據海關總署發(fā)布的2020年上半年中國外貿進出口數(shù)據顯示，中國外貿進出口好于預期，6月份出口?進口雙雙實現(xiàn)正增長，上半年，民營企業(yè)進出口逆勢增長，一般貿易進出口比重提升。某公司抓住機遇，不斷加大科技攻關投入，提升產品質量，據統(tǒng)計該公司，兩類產品2020年1~6月份的盈利情況如表：月份代碼123456產品類型盈利/萬元605060708575807090110110100（1）從統(tǒng)計的這6個月份中任取3個月份，求產品盈利高于產品盈利的月份數(shù)的分布列及數(shù)學期望；（2）已知可用線性回歸模型擬合兩類產品的盈利之和(單位：萬元)與月份代碼之間的關系，試求關于的線性回歸方程，并預測該公司2020年11月份兩類產品的盈利之和.參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，.20．如圖，在梯形中，，，，四邊形為矩形，平面平面，，設點在線段上運動.（1）證明：；（2）設平面與平面所成銳二面角為，求的最小值.21．已知橢圓C：．過點P(0，2)的直線l與橢圓C相交于A，B兩點．（1）線段AB的垂直平分線交AB于點M，交y軸于點Q，求證：線段QM的中點在定直線上；（2）求的取值范圍．22．已知函數(shù)，其中．（1）討論函數(shù)的極值；（2）設，當時，若不等式對任意恒成立，求的最小值．江蘇省揚州大學附屬中學2021屆高三年級階段檢測（12月）數(shù)學試卷答案1.【詳解】因為，，所以.故選：C2.【詳解】，故.故選：A.3.【詳解】由題意，即，．故選：A．4.【詳解】由題意，在四邊形中，設，根據向量的運算法則，可得.故選：D.5.解：當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，，所以，是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以，故選：BC7.由條件可得過P作準線的垂線，垂足為N，則由拋物線的定義可得，∵，∴，則，設PA的傾斜角為α，則sinα＝m，當m取得最小值時，sinα最小，此時直線PA與拋物線相切，設直線PA的方程為，代入中，可得，即，∴，解得，選B。8.【詳解】采用三局兩勝制，則甲在下列兩種情況下獲勝：甲凈勝二局概率為；前二局甲一勝一負，第三局甲勝概率為則，得，設，，則則函數(shù)在單調遞減，在單調遞增，故函數(shù)在處取得極大值，也是最大值.故選：C.9.【詳解】對于A選項，由可得，解得或，或，所以，“”是“”的充分不必要條件，A選項錯誤；對于B選項，因為數(shù)列是等比數(shù)列，則、、成等比數(shù)列，所以，，所以，數(shù)列是等比數(shù)列的必要條件是，B選項正確；對于C選項，命題“，”為全稱命題，該命題的否定為“，”，C選項錯誤；對于D選項，當時，不等式即，解得，，所以，“”是“”的必要不充分條件，D選項正確.故選：BD.10.解：因為，所以的一個周期是，所以A正確；因為所以的圖象關于直線對稱，所以B正確；因為，所以，所以，所以C錯誤；當時，且單調遞增，所以在上為增函數(shù)，同理可判斷在上為增函數(shù)，所以是上的增函數(shù)，所以D正確，故選：ABD11.選：AB12.【詳解】設直線，聯(lián)立，得，則由，即，得（負值舍去）所以可得，，所以AB對；因為，因為，則，即，所以，故C對；因為，令，.可得在上遞減，可知在上恒成立.又.所以成立.故D錯誤.故選：ABC13.【詳解】，是互相垂直的單位向量，，且，，，，.故答案為：.14.【詳解】不等式ax2+bx+c＞0的解集為（﹣2，3），∴a＜0，且﹣2，3是方程ax2+bx+c＝0的兩個實數(shù)根，∴，解得b＝﹣a，c＝﹣6a，其中a＜0；∴不等式cx2+bx+a＜0化為﹣6ax2+ax+a＜0，即6x2﹣x﹣1＜0，解得x，因此所求不等式的解集為（，）．故答案為：（，）．．15.【答案】【詳解】如圖，繪出橢圓和雙曲線圖像：設，，由橢圓定義可得，由雙曲線定義可得解得，，因為，所以，即，由離心率的公式可得，因為，所以，即，解得，因為，所以，，故答案為：16.【詳解】設截面圓半徑為，球的半徑為，則球心到某一截面的距離為正方體棱長的一半即此距離為，根據截面圓的周長可得，得，故，得，所以球的表面積．如圖，，且，則球冠的高，得所截的一個球冠表面積，且截面圓面積為，所以工藝品的表面積．故答案為：，.17.【詳解】已知，則由正弦定理得，因為為三角形內角，，所以，即，所以，因為，所以.選擇條件①：由，則，則，與三角形內角和等于矛盾，因而三角形不存在。選擇條件②：由，可得，由余弦定理得，解得.選擇條件③：由及正弦定理，可得，由余弦定理，則，解得.18.【詳解】（1）設數(shù)列的首項為，公差為，則解得，所以通項公式為，（2）由（1）可得：，數(shù)列的前項和為19.【詳解】（1）由統(tǒng)計數(shù)據可知，這6個月份中，產品盈利高于產品盈利的月份有，則的可能取值為，；；.故的分布列為123故.（2）由題意可得：月份代碼123456兩類產品的盈利之和/萬元110130160150200210故，，所以，，所以，∴.所以兩類產品的盈利之和與月份代碼之間的線性回歸方程為，當時，.故預測該公司2020年11月份兩類產品的盈利之和為310萬元.20.【詳解】（1）證明：在梯形中，因為，，，所以，所以，所以，所以.因為平面平面，平面平面，因為平面，所以平面.所以；（2）解：由（1）可建立分別以直線，，為軸，軸，軸的如圖所示的空間直角坐標系，令，則，，，.∴，.設為平面的一個法向量，由得，取，則，∵是平面的一個法向量，∴∵，∴當時，有最大值，的最小值為.21.【詳解】（1）顯然直線l的斜率存在，設其方程為y＝kx＋2，代入整理得(2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則，所以，所以直線QM的方程為．令x=0，得，則yQ＝－yM，即，所以QM的中點在定直線x軸上．（2）若直線l的斜率存在，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，設，，由(2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0，得，即k2>，又，所以，令，則，由k2>，得，即，解之得，即的取值范圍為．若直線l的斜率不存在，，綜上的取值范圍為．22.（1）由題意，函數(shù)，可得（），當，即時，令，得；令，得，所以在區(qū)間（0，1）內單調遞增，在區(qū)間（1，）內單調遞減，故在處取得極大值，且極大值為，無極小值．當，即時，令，得；令，得或，所以在區(qū)間（0，）內單調遞減，在區(qū)間（，1）內單調遞增，在區(qū)間（1，）內單調遞減，故在處取得極大值，且極大值為，在處取得極小值，且極小值為．當，即時，恒成立，單調遞減，無極值．當，即時，同理可