10.平板彎曲問(wèn)題

本章要點(diǎn)板彎曲理論的基本假設(shè)和方程Kirchhoff板單元的構(gòu)造方法和特點(diǎn)Mindlin板單元的構(gòu)造方法和特點(diǎn)離散Kirchhoff單元的基本特點(diǎn)有限元法基礎(chǔ)1目前一頁(yè)\總數(shù)四十八頁(yè)\編于二十二點(diǎn)10.平板彎曲問(wèn)題關(guān)鍵概念C1類板單元C0類板單元非協(xié)調(diào)板單元協(xié)調(diào)板單元Ks奇異性條件Ke非奇異性條件DKT板單元有限元法基礎(chǔ)2目前二頁(yè)\總數(shù)四十八頁(yè)\編于二十二點(diǎn)10.平板彎曲問(wèn)題有限元法基礎(chǔ)Z

XY中面板的特點(diǎn)：在一個(gè)方向的尺度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于其他兩個(gè)方向，中面是平面，只承受橫向載荷。3目前三頁(yè)\總數(shù)四十八頁(yè)\編于二十二點(diǎn)10.1Kirchhoff板單元有限元法基礎(chǔ)一.基本方程Kirchhoff假設(shè)1）變形前垂直于中面的直線段，變形后依然垂

直于中面，并且忽略它的伸縮變形2）忽略厚度方向的應(yīng)力，即4目前四頁(yè)\總數(shù)四十八頁(yè)\編于二十二點(diǎn)10.1Kirchhoff板單元有限元法基礎(chǔ)板中任意點(diǎn)的位移表示為三維問(wèn)題二維問(wèn)題5目前五頁(yè)\總數(shù)四十八頁(yè)\編于二十二點(diǎn)10.1Kirchhoff板單元有限元法基礎(chǔ)定義廣義應(yīng)變和廣義內(nèi)力廣義應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系抗彎剛度6目前六頁(yè)\總數(shù)四十八頁(yè)\編于二十二點(diǎn)10.1Kirchhoff板單元有限元法基礎(chǔ)應(yīng)力與廣義內(nèi)力的關(guān)系平衡方程以中面撓度w表示的微分方程7目前七頁(yè)\總數(shù)四十八頁(yè)\編于二十二點(diǎn)10.1Kirchhoff板單元有限元法基礎(chǔ)邊界條件1）固支類邊界2）簡(jiǎn)支類邊界3）給定力邊界8目前八頁(yè)\總數(shù)四十八頁(yè)\編于二十二點(diǎn)10.1Kirchhoff板單元有限元法基礎(chǔ)9目前九頁(yè)\總數(shù)四十八頁(yè)\編于二十二點(diǎn)10.1Kirchhoff板單元有限元法基礎(chǔ)最小勢(shì)能原理以上廣義應(yīng)變是撓度w的二階導(dǎo)數(shù)關(guān)系，基于此理論的板單元是C1類連續(xù)問(wèn)題。10目前十頁(yè)\總數(shù)四十八頁(yè)\編于二十二點(diǎn)10.1Kirchhoff板單元有限元法基礎(chǔ)有限元列式

設(shè)插值函數(shù)為

通過(guò)泛函取駐值得有限元方程

單元?jiǎng)偠染仃?1目前十一頁(yè)\總數(shù)四十八頁(yè)\編于二十二點(diǎn)10.1Kirchhoff板單元有限元法基礎(chǔ)二.非協(xié)調(diào)矩形板單元

每節(jié)點(diǎn)有3DOF，4節(jié)點(diǎn)單元共12個(gè)節(jié)點(diǎn)DOF。

12目前十二頁(yè)\總數(shù)四十八頁(yè)\編于二十二點(diǎn)10.1Kirchhoff板單元有限元法基礎(chǔ)插值函數(shù)

按廣義坐標(biāo)有限元法，在Pascal三角形中選取12項(xiàng)多項(xiàng)式

13目前十三頁(yè)\總數(shù)四十八頁(yè)\編于二十二點(diǎn)10.1Kirchhoff板單元有限元法基礎(chǔ)

14目前十四頁(yè)\總數(shù)四十八頁(yè)\編于二十二點(diǎn)10.1Kirchhoff板單元有限元法基礎(chǔ)以節(jié)點(diǎn)DOF表示插值函數(shù)

表示為矩陣形式

15目前十五頁(yè)\總數(shù)四十八頁(yè)\編于二十二點(diǎn)10.1Kirchhoff板單元有限元法基礎(chǔ)以自然坐標(biāo)表示

16目前十六頁(yè)\總數(shù)四十八頁(yè)\編于二十二點(diǎn)10.1Kirchhoff板單元有限元法基礎(chǔ)收斂性檢查1）

位移模式代表剛體位移

沿Z向的平移和繞y軸和X軸的轉(zhuǎn)動(dòng)2）位移模式代表常曲率

滿足完備性要求17目前十七頁(yè)\總數(shù)四十八頁(yè)\編于二十二點(diǎn)10.1Kirchhoff板單元有限元法基礎(chǔ)3）單元間連續(xù)性檢查

單元邊界為x=常數(shù)或y=常數(shù)，w是三次變化曲線。以2－3邊為例，可以由4個(gè)參數(shù)完全確定。在2－3邊的法向?qū)?shù)為

為三次x變化,而在邊界上只有2個(gè)參數(shù)。

法向?qū)?shù)不連續(xù)18目前十八頁(yè)\總數(shù)四十八頁(yè)\編于二十二點(diǎn)10.1Kirchhoff板單元有限元法基礎(chǔ)4）由于在單元間邊界上法向?qū)?shù)不連續(xù)，所以插值函數(shù)是非協(xié)調(diào)的；5）單元不滿足收斂準(zhǔn)則，但是可以驗(yàn)證該單元通過(guò)補(bǔ)片試驗(yàn)（PatchTest），故當(dāng)單元剖分不斷縮小時(shí)，計(jì)算結(jié)果還是能收斂于精確解。

通過(guò)補(bǔ)片試驗(yàn)實(shí)際驗(yàn)算19目前十九頁(yè)\總數(shù)四十八頁(yè)\編于二十二點(diǎn)10.1Kirchhoff板單元有限元法基礎(chǔ)例:均布載荷下四邊固支方形薄板,利用對(duì)稱性取四分之一板計(jì)算20目前二十頁(yè)\總數(shù)四十八頁(yè)\編于二十二點(diǎn)10.1Kirchhoff板單元有限元法基礎(chǔ)例:載荷作用下方形薄板,利用對(duì)稱性取四分之一板計(jì)算注：由于是非協(xié)調(diào)元，位移解并補(bǔ)滿足下界條件21目前二十一頁(yè)\總數(shù)四十八頁(yè)\編于二十二點(diǎn)10.1Kirchhoff板單元有限元法基礎(chǔ)三.3節(jié)點(diǎn)三角形非協(xié)調(diào)板單元共有3×3＝9個(gè)DOF三次完備多項(xiàng)式

ijm10項(xiàng)22目前二十二頁(yè)\總數(shù)四十八頁(yè)\編于二十二點(diǎn)10.1Kirchhoff板單元有限元法基礎(chǔ)插值函數(shù)

面積坐標(biāo)剛體位移常應(yīng)變23目前二十三頁(yè)\總數(shù)四十八頁(yè)\編于二十二點(diǎn)10.1Kirchhoff板單元有限元法基礎(chǔ)坐標(biāo)變換代入節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)求出系數(shù)，得到形函數(shù)

24目前二十四頁(yè)\總數(shù)四十八頁(yè)\編于二十二點(diǎn)10.1Kirchhoff板單元有限元法基礎(chǔ)位移插值函數(shù)的特點(diǎn)

插值函數(shù)包含有完備的線性項(xiàng)和二次項(xiàng)，能正確反映剛體位移和常應(yīng)變；在單元邊界上，w是三次變化，可由兩端節(jié)點(diǎn)的w和w,s唯一確定，w是協(xié)調(diào)的；在單元邊界上，w,n是二次變化的,不能由兩端節(jié)點(diǎn)的w,n確定，w,n是非協(xié)調(diào)的。

25目前二十五頁(yè)\總數(shù)四十八頁(yè)\編于二十二點(diǎn)10.1Kirchhoff板單元有限元法基礎(chǔ)

Irons等已證明如果單元網(wǎng)格是由3組等間距直線產(chǎn)生的，單元能夠通過(guò)補(bǔ)片試驗(yàn)，并收斂于解析解。26目前二十六頁(yè)\總數(shù)四十八頁(yè)\編于二十二點(diǎn)10.1Kirchhoff板單元有限元法基礎(chǔ)3節(jié)點(diǎn)三角板元四.協(xié)調(diào)單元思路：在邊界(如i-j)上尋找校正函數(shù)，具有性質(zhì)1）在全部邊界上2）在j-m,i-m邊上3)在i-j上，按二次變化，且在中點(diǎn)上取1

單元邊界上w,n二次變化非協(xié)調(diào)元27目前二十七頁(yè)\總數(shù)四十八頁(yè)\編于二十二點(diǎn)10.1Kirchhoff板單元有限元法基礎(chǔ)插直函數(shù)w是非協(xié)調(diào)元的產(chǎn)值函數(shù),為待定常數(shù)。目的：調(diào)整使在單元邊界中點(diǎn)處的w,n等于兩端節(jié)點(diǎn)的w,n的平均值，也即使得邊界上法向?qū)?shù)線性化，可由兩端點(diǎn)的值唯一確定。

28目前二十八頁(yè)\總數(shù)四十八頁(yè)\編于二十二點(diǎn)10.1Kirchhoff板單元有限元法基礎(chǔ)

的確定線性化要求，在邊界中點(diǎn)處原插值函數(shù)計(jì)算出的各邊界中點(diǎn)值原插值函數(shù)計(jì)算的邊界中點(diǎn)平均值29目前二十九頁(yè)\總數(shù)四十八頁(yè)\編于二十二點(diǎn)10.1Kirchhoff板單元有限元法基礎(chǔ)校正函數(shù)可以驗(yàn)證以上函數(shù)滿足校正函數(shù)的要求，即在全部邊界上等于零，在i-m和j-m邊法向?qū)?shù)為零，在i-j邊上二次變化。令30目前三十頁(yè)\總數(shù)四十八頁(yè)\編于二十二點(diǎn)10.1Kirchhoff板單元有限元法基礎(chǔ)單元特點(diǎn)單元協(xié)調(diào)性完全滿足隨著單元尺寸不斷減小，解能單調(diào)收斂于精確解有高階校正函數(shù)，要提高數(shù)值積分階次實(shí)際計(jì)算時(shí)，單元往往過(guò)于剛硬31目前三十一頁(yè)\總數(shù)四十八頁(yè)\編于二十二點(diǎn)10.1Kirchhoff板單元有限元法基礎(chǔ)例：簡(jiǎn)支方板受中心集中力32目前三十二頁(yè)\總數(shù)四十八頁(yè)\編于二十二點(diǎn)協(xié)調(diào)薄板元列式的其他方法1）組合單元法

將四個(gè)三角形單元組合為一個(gè)四邊形單元，選用特殊插值函數(shù)，使之滿足連續(xù)性要求，并凝聚內(nèi)部節(jié)點(diǎn)2）多節(jié)點(diǎn)參數(shù)法

引入高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)作為節(jié)點(diǎn)DOF，以提高邊界的協(xié)調(diào)性，例如10.1Kirchhoff板單元有限元法基礎(chǔ)33目前三十三頁(yè)\總數(shù)四十八頁(yè)\編于二十二點(diǎn)Reissner-Mindlin變形假設(shè)

變形前垂直于中面的直線段，變形后仍然保持為直線段，但不在垂直于中面。10.2Mindlin板單元有限元法基礎(chǔ)34目前三十四頁(yè)\總數(shù)四十八頁(yè)\編于二十二點(diǎn)廣義應(yīng)變變分原理10.2Mindlin板單元有限元法基礎(chǔ)一般取k=5/635目前三十五頁(yè)\總數(shù)四十八頁(yè)\編于二十二點(diǎn)位移插值10.2Mindlin板單元有限元法基礎(chǔ)36目前三十六頁(yè)\總數(shù)四十八頁(yè)\編于二十二點(diǎn)應(yīng)變-節(jié)點(diǎn)DOF矩陣10.2Mindlin板單元有限元法基礎(chǔ)37目前三十七頁(yè)\總數(shù)四十八頁(yè)\編于二十二點(diǎn)有限元方程由泛函取極值條件得單元?jiǎng)偠染仃?0.2Mindlin板單元有限元法基礎(chǔ)38目前三十八頁(yè)\總數(shù)四十八頁(yè)\編于二十二點(diǎn)邊界條件

三種類型：1）2）3）

給定位移屬于強(qiáng)制邊界條件，給定內(nèi)力屬于自然邊界條件10.2Mindlin板單元有限元法基礎(chǔ)39目前三十九頁(yè)\總數(shù)四十八頁(yè)\編于二十二點(diǎn)剪切自鎖

與Timoshenko梁?jiǎn)卧粯覯indlin板元中剪切能量引入后，存在罰因子現(xiàn)象解決辦法有減縮積分、假設(shè)應(yīng)變等方法多變量有限元也是常見(jiàn)的處理方法10.2Mindlin板單元有限元法基礎(chǔ)40目前四十頁(yè)\總數(shù)四十八頁(yè)\編于二十二點(diǎn)積分方案目標(biāo)：保證K非奇異性和Ks奇異性保證K非奇異性的必要條件M單元數(shù)；ng高斯積分點(diǎn)數(shù)；d應(yīng)變分量數(shù)；N系統(tǒng)的獨(dú)立DOF數(shù)。N＝節(jié)點(diǎn)總數(shù)×每節(jié)點(diǎn)DOF數(shù)－給定約束數(shù)10.2Mindlin板單元有限元法基礎(chǔ)41目前四十一頁(yè)\總數(shù)四十八頁(yè)\編于二十二點(diǎn)對(duì)Mindlin板單元，保證K非奇異性的必要條件nb

和ns分別為Kb和Ks的高斯積分點(diǎn)數(shù)；db和ds分別為Kb和Ks的應(yīng)變分量數(shù)，db＝3，ds＝2。保證Ks奇異性的必要條件10.2Mindlin板單元有限元法基礎(chǔ)42目前四十二頁(yè)\總數(shù)四十八頁(yè)\編于二十二點(diǎn)積分方案10.2Mindlin板單元有限元法基礎(chǔ)43目前四十三頁(yè)\總數(shù)四十八頁(yè)\編于二十二點(diǎn)假設(shè)應(yīng)變法

以4節(jié)點(diǎn)Mindlin板元為例，

為雙線性插值，剪應(yīng)變?yōu)?0.2Mindlin板單元有限元法基礎(chǔ)44目前四十四頁(yè)\總數(shù)四十八頁(yè)\編于二十二點(diǎn)新泛函假設(shè)剪應(yīng)變4節(jié)點(diǎn)取樣點(diǎn)10.2Mindlin板單元有限元法基礎(chǔ)45目前四十五頁(yè)\總數(shù)四十八頁(yè)\編于二十二點(diǎn)剪應(yīng)變?nèi)狱c(diǎn)10.2Mindlin板單元有限元法基礎(chǔ)46目前四十六頁(yè)\總數(shù)四十八頁(yè)\編于二十二點(diǎn)思路

使