第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用復(fù)習(xí)小結(jié)5/23/2023本章知識結(jié)構(gòu)導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)概念導(dǎo)數(shù)運算導(dǎo)數(shù)應(yīng)用函數(shù)的瞬時變化率運動的瞬時速度曲線的切線斜率基本初等函數(shù)求導(dǎo)導(dǎo)數(shù)的四則運算法則簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)單調(diào)性研究函數(shù)的極值、最值曲線的切線變速運動的速度最優(yōu)化問題5/23/2023曲線的切線

以曲線的切線為例，在一條曲線C：y=f(x)上取一點P(x0，y0)，點Q(x0+△x，y0+△y)是曲線C上與點P臨近的一點，做割線PQ，當(dāng)點Q沿曲線C無限地趨近點P時，割線PQ便無限地趨近于某一極限位置PT，我們就把直線PT叫做曲線C的在點P處的切線。一．知識串講5/23/2023

此時割線PT斜率的極限就是曲線C在點P處的切線的斜率，用極限運算的表達式來寫出，即

k=tanα=5/23/2023（一）導(dǎo)數(shù)的概念：

1．導(dǎo)數(shù)的定義：對函數(shù)y=f(x)，在點x=x0處給自變量x以增量△x，函數(shù)y相應(yīng)有增量△y=f(x0+△x)－f(x0)，若極限存在，則此極限稱為f(x)在點x=x0處的導(dǎo)數(shù)，記為f’(x0)，或y|；5/23/2023

2．導(dǎo)函數(shù)：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)每一點都可導(dǎo)，就說y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)．即對于開區(qū)間(a，b)內(nèi)每一個確定的x0值，都相對應(yīng)著一個確定的導(dǎo)數(shù)f’(x0)，這樣在開區(qū)間(a，b)內(nèi)構(gòu)成一個新函數(shù)，把這一新函數(shù)叫做f(x)在(a，b)內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)．簡稱導(dǎo)數(shù)．記作f’(x)或y’.即f’(x)=y’=5/23/2023

3．導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)y=f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y=f(x)在P(x0，f(x0))處的切線的斜率，即曲線y=f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線斜率為k＝f’(x0)．所以曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線方程為

yy0=f’(x0)·(x－x0)．

4．導(dǎo)數(shù)的物理意義：物體作直線運動時，路程s關(guān)于時間t的函數(shù)為：s=s(t)，那么瞬時速度v就是路程s對于時間t的導(dǎo)數(shù)，即v(t)=s’(t).5/23/2023返回5/23/2023導(dǎo)數(shù)的運算法則:法則1:兩個函數(shù)的和(差)的導(dǎo)數(shù),等于這兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(差),即:法則2:兩個函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù),等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘第二個函數(shù),加上第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù),即:法則3:兩個函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù),等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘第二個函數(shù),減去第一個函數(shù)乘第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù),再除以第二個函數(shù)的平方.即:返回5/23/2023當(dāng)點Q沿著曲線無限接近點P即Δx→0時,割線PQ如果有一個極限位置PT.則我們把直線PT稱為曲線在點P處的切線.設(shè)切線的傾斜角為α,那么當(dāng)Δx→0時,割線PQ的斜率,稱為曲線在點P處的切線的斜率.即:PQoxyy=f(x)割線切線T返回5/23/20231)如果恒有f′(x)>0，那么y=f（x)在這個區(qū)間（a,b)內(nèi)單調(diào)遞增；2)如果恒有f′(x)<0，那么y=f（x）在這個區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)遞減。一般地，函數(shù)y＝f（x）在某個區(qū)間(a,b)內(nèi)定理aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf'(x)>0f'(x)<0如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有,則為常數(shù).返回5/23/20232)如果a是f’(x)=0的一個根，并且在a的左側(cè)附近f’(x)<0，在a右側(cè)附近f’(x)>0，那么是f(a)函數(shù)f(x)的一個極小值.函數(shù)的極值1)如果b是f’(x)=0的一個根，并且在b左側(cè)附近f’(x)>0，在b右側(cè)附近f’(x)<0，那么f(b)是函數(shù)f(x)的一個極大值注：導(dǎo)數(shù)等于零的點不一定是極值點．2)在閉區(qū)間[a,b]上的函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,則它必有最大值和最小值.函數(shù)的最大（?。┲蹬c導(dǎo)數(shù)xy0abx1x2x3x4f(a)f(x3)f(b)f(x1)f(x2)返回5/23/20235/23/20235/23/20235/23/20235/罷18筍/2妙02延3（五降）函秤數(shù)的著最大蜻值與摩最小盡值：1．定麗義：最值盞是一添個整胳體性澤概念罷，是如指函汗數(shù)在從給定碎區(qū)間(或定啦義域)內(nèi)所役有函甜數(shù)值顛中最狐大的歡值或作最小眉的值輝，最是大數(shù)持值叫膝最大正值，閣最小預(yù)的值鼓叫最筒小值肯，通穗常最吳大值呆記為M，最小泳值記依為m.5/烘18鏈/2堪02談32．存在叫性：蛾在閉巨區(qū)間[a，b]上連決續(xù)函宮數(shù)f(x)在[a，b]上必斧有最唐大值能與最蜓小值瓜．3．求見最大谷（小均）值余的方驚法：倡函數(shù)f(x)在閉沃區(qū)間[a，b]上最偷值求渣法：①求出f(x)在(a，b)內(nèi)的肚極值桌；②將函支數(shù)f(x)的極覆值與f(a)，f(b)比較騙，其貢中較嚇大的堅一個害是最離大值盯，較唐小的辛一個逼是最雞小值.5/并18錄/2玻02蜜35/征18裹/2楊02康35/朝18沫/2伙02麻35/怕18位/2歇02盛35/汽18芒/2脆02他35/彩18附/2德02識3例1．已蔑經(jīng)曲刪線C：y=繪x3-x廉+2和點A(怎1,運2)。求額在點A處的雜切線帶方程奔？解：f/(x)=蛋3x2－1，∴k=扔f/(1駱)=醬2∴所求粱的切副線方蠢程為芝：y－2=敢2(庫x－1)品,即y=瓶2x5/雞18瓣/2膠02欠3變式1：求過城點A的切巖線方徑程？例1．已葡經(jīng)曲迷線C：y=啞x3-x辰+2和點(1努,2輕)求在毫點A處的蹲切線濱方程壘？解：憤變1：設(shè)切埋點為P（x0，x03－x0+2），∴切線倦方程袍為y－(己x03－x0+2血)=蓮(3激x02－1)(x－x0)又∵切線夢過點A(建1,押2)∴2－(固x03－x0+2慮)=搬(案3挑x02－1)(賊1－x0)化簡涌得(x0－1)2(2x0+1恩)=周0，①當(dāng)x0=1時，錫所求齒的切燒線方粉程為頓：y－2=吸2(x－1)說,即y=殘2x解得x0=1或x0=－k=潛f/(x0)=圣3誰x02－1壤，②當(dāng)x0=－時，飯所求島的切慕線方根程為響：y－2=－(x－1)江,即x+煌4y－9=爸05/興18瀉/2佩02松3變式1：求過串點A的切餓線方下程？例1：已經(jīng)惹曲線C：y=樣x3－x+劣2和點(1會,2欄)求在漂點A處的飼切線舍方程臂？變式2：若曲悟線上鼠一點Q處的茅切線競恰好踏平行寇于直線y=隆11威x－1，則P點坐姥標(biāo)為__厘__蛋__薄__諒__夢__械,切線幸方程禿為__表__捎__杏__棕__退__扶__稱__里__前__鄙_．(2甜,8驕)或(－2,－4)y=遭11炎x－14或y=鐮11把x+燭185/職18拆/2激02載35/弄18大/2師02數(shù)35/筍18削/2血02叮3（1）正訓(xùn)確理滋解導(dǎo)泥數(shù)的循概念搭和意株義，拘導(dǎo)數(shù)水是一鈔個函斤數(shù)的宇改變潔量與掙自變工量的唉改變太量的晃比值棕的極為限，拳它反鉤映的補是函合數(shù)的鎖變化閣率，丈即函搏數(shù)值五在x=x0點附袋近的慢變化酒快慢精；所家以只霉有與蘋變化每率有抗關(guān)的棍問題涂都可測以用元導(dǎo)數(shù)秤來解隱決；（2）掌京握求擠導(dǎo)數(shù)蜘的方軟法，傍特別喂是在院求復(fù)口合函榮數(shù)的堅導(dǎo)數(shù)幅時，西