數(shù)列通項公式的求法數(shù)列通項公式的求法/NUMPAGES15數(shù)列通項公式的求法數(shù)列通項公式的求法數(shù)列通項公式的求法集錦非等比、等差數(shù)列的通項公式的求法，題型繁雜，方法瑣碎結合近幾年的高考情況，對數(shù)列求通項公式的方法給以歸納總結。累加法形如(n=2、3、4…...)且可求，則用累加法求。有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解。在數(shù)列{}中，=1，(n=2、3、4……)，求{}的通項公式。解：∵這n-1個等式累加得：=故且也滿足該式∴().例2．在數(shù)列{}中，=1，(),求。解：n=1時,=1以上n-1個等式累加得==，故且也滿足該式∴()。累乘法形如(n=2、3、4……)，且可求，則用累乘法求。有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解。例3．在數(shù)列{}中，=1，，求。解：由已知得，分別取n=1、2、3……(n-1),代入該式得n-1個等式累乘，即=1×2×3×…×(n-1)=(n-1)!所以時，故且=1也適用該式∴().例4．已知數(shù)列{}滿足=，，求。解：由已知得，分別令n=1，2，3，….(n-1),代入上式得n-1個等式累乘，即=所以，又因為也滿足該式，所以。三、構造等比數(shù)列法原數(shù)列{}既不等差，也不等比。若把{}中每一項添上一個數(shù)或一個式子構成新數(shù)列，使之等比，從而求出。該法適用于遞推式形如=或=或=其中b、c為不相等的常數(shù)，為一次式。例5、（06福建理22）已知數(shù)列{}滿足=1，=()，求數(shù)列{}的通項公式。解：構造新數(shù)列，其中p為常數(shù)，使之成為公比是的系數(shù)2的等比數(shù)列即=整理得：=使之滿足=∴p=1即是首項為=2，q=2的等比數(shù)列∴==例6、（07全國理21）設數(shù)列{}的首項，=，n=2、3、4……（）求{}的通項公式。解：構造新數(shù)列，使之成為的等比數(shù)列即=整理得：=滿足=得=∴p=-1即新數(shù)列首項為，的等比數(shù)列∴=故=+1例7、（07全國理22）已知數(shù)列{}中，=2，=（）求{}的通項公式。解：構造新數(shù)列，使之成為的等比數(shù)列=整理得：=+使之滿足已知條件=+2∴解得∴是首項為的等比數(shù)列，由此得=∴=例8、已知數(shù)列{}中，=1，=，求數(shù)列的通項公式。分析：該數(shù)列不同于以上幾個數(shù)列，該數(shù)列中含是變量，而不是常量了。故應構造新數(shù)列，其中為常數(shù)，使之為公比是的系數(shù)2的等比數(shù)列。解：構造數(shù)列，為不為0的常數(shù)，使之成為q=2的等比數(shù)列即=整理得：=滿足=得∴新數(shù)列是首項為=，q=2的等比數(shù)列∴=∴=例9、（07天津文20）在數(shù)列{}中，=2，=，求數(shù)列的通項。解：構造新數(shù)列，使之成為q=4的等比數(shù)列，則=整理得：=滿足=，即得∴新數(shù)列的首項為，q=4的等比數(shù)列∴∴四、構造等差數(shù)列法數(shù)列{}既不等差，也不等比，遞推關系式形如，那么把兩邊同除以后，想法構造一個等差數(shù)列，從而間接求出。例10．（07石家莊一模）數(shù)列{}滿足且。求、、是否存在一個實數(shù)，使此數(shù)列為等差數(shù)列？若存在求出的值及；若不存在，說明理由。解：由==81得=33；又∵==33得=13；又∵==13，∴=5假設存在一個實數(shù)，使此數(shù)列為等差數(shù)列即===該數(shù)為常數(shù)∴=即為首項，d=1的等差數(shù)列∴=2+=n+1∴=例11、數(shù)列{}滿足=()，首項為，求數(shù)列{}的通項公式。解：=兩邊同除以得=+1∴數(shù)列是首項為=1，d=1的等差數(shù)列∴=1+故=例12．數(shù)列{}中，=5，且（n=2、3、4……），試求數(shù)列{}的通項公式。解：構造一個新數(shù)列，為常數(shù)，使之成為等差數(shù)列，即整理得+3，讓該式滿足∴取，得，d=1，即是首項為，公差d=1的等差數(shù)列。故∴=例13、（07天津理21）在數(shù)列{}中，=2，且（）其中＞0，求數(shù)列{}的通項公式。解：的底數(shù)與的系數(shù)相同，則兩邊除以得即∴是首項為，公差d=1的等差數(shù)列?！唷?。取倒數(shù)法有些關于通項的遞推關系式變形后含有項，直接求相鄰兩項的關系很困難，但兩邊同除以后，相鄰兩項的倒數(shù)的關系容易求得，從而間接求出。例14、已知數(shù)列{}，=，，求=？解：把原式變形得兩邊同除以得∴是首項為，d=的等差數(shù)列故∴。例15、（06江西理22）已知數(shù)列{}滿足，且（）求數(shù)列{}的通項公式。解：把原式變形成兩邊同除以得即……⑴構造新數(shù)列，使其成為公比q=的等比數(shù)列即整理得：滿足⑴式使∴∴數(shù)列是首項為，q=的等比數(shù)列∴∴。例16．（06江西文22）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{}滿足：，且求數(shù)列{}的通項公式。解：把原式變形為兩邊同除以得移項得：所以新數(shù)列是首項為q=2的等比數(shù)列。故解關于的方程得。六．利用公式求通項有些數(shù)列給出{}的前n項和與的關系式=，利用該式寫出，兩式做差，再利用導出與的遞推式，從而求出。例17.(07重慶21題)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{}的前n項和為滿足＞1且6=n∈求{}的通項公式。解：由=解得=1或=2，由已知＞1，因此=2又由=得=0∵＞0∴從而{}是首項為2，公差為3的等差數(shù)列，故{}的通項為=2+3(n-1)=3n-1.例18.(07陜西理22)已知各項全不為0的數(shù)列{}的前k項和為，且=(k∈)其中=1，求數(shù)列{}的通項公式。解：當k=1時，=及=1得=2；當k≥2時，由==得=2∵≠0∴=2從而=1+(m-1)2=2m-1=2+(m-1)2=2m(m∈)故=k(k∈).例19.(07福建文21)數(shù)列{}的前n項和為，=1，(n∈),求{}的通項公式。解：由=1，=2，當n≥2時==得=3，因此{}是首項為=2，q=3的等比數(shù)列。故=(n≥2),而=1不滿足該式所以=。例20.(06全國Ⅰ理22)該數(shù)列{}的前n項和(n=1、2、3……)求{}的通項公式。解：由(n=1、2、3……)…①得=所以=2再=（n=2、3…）…②將①和②相減得：==整理得（n=2、3…）因而數(shù)列{}是首項為,q=4的等比數(shù)列。即==，因而。七．重新構造新方程組求通項法有時數(shù)列{}和{}的通項以方程組的形式給出，要想求出與必須得重新構造關于和的方程組，然后解新方程組求得和。例21.（07遼寧第21題）：已知數(shù)列{}，{}滿足=2，=1且（）,求數(shù)列{}，{}的通項公式。解析：兩式相加得則{}是首項為，d=2的等差數(shù)列，故=3+2(n-1)=2n+1…………(1)而兩式相減得==則{}是首項為=1，q=的等比數(shù)列，故=…………(2)聯(lián)立(1)、(2)得由此得，。分析該題條件新穎,給出的數(shù)據(jù)比較特殊，兩條件做加法、減法后恰好能構造成等差或等比數(shù)列，從而再通過解方程組很順利求出{}、{}的通項公式。若改變一下數(shù)據(jù)，又該怎樣解決呢？下面給出一種通法。例22.在數(shù)列{}、{}中=2，=1，且（n∈）求數(shù)列{}和{}的通項公式。解析：顯然再把與做和或做差已無規(guī)律可循。不妨構造新數(shù)列{}其中為的常數(shù)。則==+=令得=2或=3則{}為首項，q=+2的等比數(shù)列。即=2時，{}是首項為4，q=4的等比數(shù)列，故=4×=；=3時，{}是首項為5，q=5的等比數(shù)列，故=5×=聯(lián)立二式解得，。注：該法也可適用于例21，下面給出例21的該種解法解：構造新數(shù)列{}，則=++=令得=1或=即=1時，新數(shù)列{}中，=∴（）新數(shù)列{}是首項為，d=2的等差數(shù)列∴==………(1)當=時，新數(shù)列{}是首項為=1，q=的等比數(shù)列∴=…