學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精[學(xué)習(xí)目標(biāo)］1。通過生活和數(shù)學(xué)中的實(shí)例，理解全稱量詞和存在量詞的意義.2。掌握全稱命題和特稱命題的定義。3。能判定全稱命題和特稱命題的真假。4。能正確的對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定。知識(shí)點(diǎn)一全稱量詞和全稱命題（1)全稱量詞：“所有”“每一個(gè)"“任何"“任意一條”“一切”都是在指定范圍內(nèi)，表示整體或全部的含義，這樣的詞叫作全稱量詞，“所有”“每一個(gè)”“任何”“任意一條”.（2）全稱命題:含有全稱量詞的命題叫作全稱命題.知識(shí)點(diǎn)二存在量詞和特稱命題（1)“有些"“至少有一個(gè)"“有一個(gè)"“存在”都有表示個(gè)別或一部分的含義，這樣的詞叫作存在量詞.(2)特稱命題:含有存在量詞的命題叫作特稱命題。知識(shí)點(diǎn)三全稱命題與特稱命題的否定全稱命題的否定是特稱命題。特稱命題的否定是全稱命題.思考（1）用自然語言描述的全稱命題的否定形式惟一嗎？（2）對(duì)省略量詞的命題怎樣否定？答案（1)不惟一，如“所有的菱形都是平行四邊形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四邊形”，也可以是“有些菱形不是平行四邊形"。(2）對(duì)于含有一個(gè)量詞的命題,容易知道它是全稱命題或特稱命題。一般地，省略了量詞的命題是全稱命題，可加上“所有的"或“對(duì)任意”，它的否定是特稱命題.反之，亦然。題型一全稱量詞與特稱命題的真假判斷例1判斷下列命題是全稱命題還是特稱命題，并判斷其真假.(1）存在x∈R，使x2＋2x＋2＝0；（2）所有的三角形中，兩邊之和大于第三邊；(3)至少有一個(gè)實(shí)數(shù)T，使得sin(x＋T)＝sinx;（4)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x1，x2，若x1〈x2，則tanx1〈tanx2。解(1)特稱命題。因?yàn)閤2＋2x＋2＝（x＋1)2＋1≥1>0，即x2＋2x＋2≠0,所以為假命題。（2)全稱命題,因?yàn)槿切沃?，任意兩邊之和大于第三邊，所以為真命題.(3)特稱命題。當(dāng)T＝2π時(shí)，sin(x＋2π）＝sinx,故為真命題.（4)全稱命題，取x1＝0，x2＝π，有x1<x2,但tan0＝tanπ＝0，所以為假命題.反思與感悟（1）要判定全稱命題是真命題，需要判斷所有的情況都成立；如果有一種情況不成立，那么這個(gè)全稱命題就是假命題.(2)要判定特稱命題是真命題，只需找到一種情況成立即可；如果找不到使命題成立的特例，那么這個(gè)特稱命題是假命題.跟蹤訓(xùn)練1判斷下列命題的真假。（1）所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)；（2）任意x∈R，x2＋1≥1；(3）對(duì)每一個(gè)無理數(shù)x，x2也是無理數(shù)；(4）存在x∈R,使x2＋2x＋3＝0；(5)存在兩個(gè)相交平面垂直于同一條直線。解(1）2是素?cái)?shù)，但2不是奇數(shù)，所以全稱命題“所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)”是假命題.（2)任意x∈R,總有x2≥0，因而x2＋1≥1，所以全稱命題“任意x∈R，x2－1≥1”是真命題。（3）eq\r（2）是無理數(shù)，但（eq\r（2）)2＝2是有理數(shù)，所以全稱命題“對(duì)每一個(gè)無理數(shù)x，x2也是無理數(shù)”是假命題。(4)由于任意x∈R，x2＋2x＋3＝(x＋1）2＋2≥2，因此使x2＋2x＋3＝0的實(shí)數(shù)x不存在,所以特稱命題“存在x∈R，使x2＋2x＋3＝0"為假命題.(5)由于垂直于同一條直線的兩個(gè)平面是互相平行的，因此不存在兩個(gè)相交平面垂直于同一條直線，所以特稱命題“存在兩個(gè)相交平面垂直于同一條直線”為假命題。題型二含有一個(gè)量詞的命題的否定例2判斷下列命題是全稱命題還是特稱命題，并寫出它們的否定：(1）p：對(duì)任意的x∈R，x2＋x＋1＝0都成立;（2）p：存在x∈R，x2＋2x＋5〉0；（3）p：x∈R，則方程x2＋2x＋1＝0有解。解（1）由于命題中含有全稱量詞“任意的”，因而是全稱命題，又由于“任意的”的否定為“存在一個(gè)”，因此，p的否定：存在一個(gè)x∈R，使x2＋x＋1≠0成立.（2)由于命題中含有存在量詞“存在一個(gè)”,因而是特稱命題,又由于“存在一個(gè)”的否定為“任意一個(gè)"，因此,p的否定:對(duì)任意x∈R，都有x2＋2x＋5≤0.（3）由于x∈R表示x是任意實(shí)數(shù)，即命題中含有全稱量詞“任意"，因而是全稱命題，p的否定：存在x∈R,使方程x2＋2x＋1＝0無解.反思與感悟全稱命題的否定是一個(gè)特稱命題，特稱命題的否定是一個(gè)全稱命題,因此在書寫它們的否定時(shí)，相應(yīng)的全稱量詞變?yōu)榇嬖诹吭~，存在量詞變?yōu)槿Q量詞,同時(shí)否定結(jié)論.跟蹤訓(xùn)練2寫出下列特稱命題的否定,并判斷其否定的真假:(1）有些實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù)；(2)某些平行四邊形是菱形;（3)存在x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋1<0.解（1）命題的否定是“不存在一個(gè)實(shí)數(shù),它的絕對(duì)值是正數(shù)”，即“所有實(shí)數(shù)的絕對(duì)值都不是正數(shù)”.因?yàn)閨－2|＝2，所以命題的否定是假命題.(2）命題的否定是“沒有一個(gè)平行四邊形是菱形”,即“每一個(gè)平行四邊形都不是菱形”。因?yàn)榱庑问瞧叫兴倪呅?，所以命題的否定是假命題。(3）命題的否定是“不存在x0∈R，xeq\o\al（2,0)＋1〈0"，即“任意x∈R,x2＋1≥0”.因?yàn)閤2＋1≥1>0，所以命題的否定是真命題.題型三全稱命題、特稱命題的綜合應(yīng)用例3（1)若命題p：存在x0∈R，使axeq\o\al（2，0）＋2x0＋a<0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;（2）若不等式(m＋1）x2－(m－1）x＋3(m－1）〈0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。解(1）由axeq\o\al（2,0)＋2x0＋a<0,得a(xeq\o\al(2,0）＋1）<－2x0，∵xeq\o\al(2，0）＋1>0，∴a<－eq\f(2x0，x\o\al（2，0)＋1）＝－eq\f（2,x0＋\f（1,x0）)，當(dāng)x0>0時(shí)，x0＋eq\f（1，x0）≥2，∴－eq\f（2,x0＋\f（1，x0)）≥－1，當(dāng)x0<0時(shí)，x0＋eq\f（1，x0）≤－2，∴－eq\f（2，x0＋\f(1,x0)）≤1，∴－eq\f（2，x0＋\f（1,x0））的最大值為1。又∵存在x0∈R，使axeq\o\al（2,0)＋2x0＋a〈0成立，∴只要a〈1,∴a的取值范圍是(－∞，1)。(2）①當(dāng)m＋1＝0即m＝－1時(shí)，2x－6〈0不恒成立.②當(dāng)m＋1≠0，則eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(m＋1<0，,Δ〈0,）)?eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(m<－1，，Δ＝m－12－4m＋1·3m－1〈0，)）?eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（m〈－1,,m<－\f（13,11）或m〉1，)）綜上,m<－eq\f(13，11）。反思與感悟有解和恒成立問題是特稱命題和全稱命題的應(yīng)用，注意二者的區(qū)別.跟蹤訓(xùn)練3(1)已知關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1）x＋a2＋2≤0的解集非空，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;（2)若命題p：eq\r（1－sin2x)＝sinx－cosx是真命題，求實(shí)數(shù)x的取值范圍。解(1)關(guān)于x的不等式x2＋（2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，∴Δ＝(2a＋1）2－4（a2＋2)≥0，即4a－7≥0，解得a≥eq\f（7，4），∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為［eq\f(7,4),＋∞）.(2）由eq\r(1－sin2x)＝sinx－cosx，得eq\r(sin2x＋cos2x－2sinxcosx)＝sinx－cosx，∴eq\r（sinx－cosx2)＝sinx－cosx，即|sinx－cosx｜＝sinx－cosx，∴sinx≥cosx.結(jié)合三角函數(shù)圖像得，2kπ＋eq\f(π，4）≤x≤2kπ＋eq\f（5π，4）(k∈Z），此即為所求x的取值范圍.即p：任意x∈[2kπ＋eq\f(π,4），2kπ＋eq\f(5π，4)]（k∈Z)，有eq\r(1－sin2x)＝sinx－cosx是真命題.恒成立問題例4不等式x2－2mx－1>0對(duì)一切1≤x≤3都成立。求m的取值范圍。解方法一∵Δ＝4m2＋4>0恒成立,∴設(shè)其兩根為x1，x2，且x1〈x2.∵{x｜1≤x≤3｝?｛x|x2－2mx－1〉0｝＝{x|x>x2或x<x1}，∴方程x2－2mx－1＝0的兩根x1，x2都大于3或小于1.∵x1x2＝－1<0，∴兩根都小于1.令f(x）＝x2－2mx－1,則eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(m〈1，,f1>0，))解得m〈0.∴m的取值范圍為｛m｜m〈0｝。方法二∵1≤x≤3，x2－2mx－1〉0,∴m<eq\f（x2－1，2x)＝eq\f（1，2）(x－eq\f(1，x)).當(dāng)x∈［1，3］時(shí)，函數(shù)y＝x－eq\f(1，x)單調(diào)遞增，∴eq\f(1,2）(x－eq\f（1，x))∈［0，eq\f（4，3）］，∴m<0。名師點(diǎn)評(píng)一元二次不等式在某區(qū)間的恒成立問題，一般來說，常有以下兩條途徑,如方法一:轉(zhuǎn)化為方程根的分布問題,如方法二：通過分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值的問題。1。下列命題中，既是真命題又是特稱命題的是（)A.存在一個(gè)α0，使tan(90°－α0)＝tanα0B。存在實(shí)數(shù)x0，使sinx0＝eq\f(π,2)C.對(duì)一切α,sin(180°－α)＝sinαD.對(duì)一切α，β，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ答案A解析含有存在量詞的命題只有A,B，而sinx0≤1，所以sinx0＝eq\f(π,2）不成立，故選A。2.命題p：“存在實(shí)數(shù)m，使方程x2＋mx＋1＝0有實(shí)數(shù)根”，則“綈p”形式的命題是()A。存在實(shí)數(shù)m,使方程x2＋mx＋1＝0無實(shí)數(shù)根B。不存在實(shí)數(shù)m，使方程x2＋mx＋1＝0無實(shí)數(shù)根C。對(duì)任意的實(shí)數(shù)m，方程x2＋mx＋1＝0無實(shí)數(shù)根D。至多有一個(gè)實(shí)數(shù)m，使方程x2＋mx＋1＝0有實(shí)數(shù)根答案C解析命題p是特稱命題，其否定形式為全稱命題，即綈p：對(duì)任意的實(shí)數(shù)m,方程x2＋mx＋1＝0無實(shí)數(shù)根.3。對(duì)下列命題的否定說法錯(cuò)誤的是(）A。p：能被2整除的數(shù)是偶數(shù)；綈p：存在一個(gè)能被2整除的數(shù)不是偶數(shù)B.p:有些矩形是正方形；綈p：所有的矩形都不是正方形C。p:有的三角形為正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形D。p:存在n∈N，2n≤100；綈p：任意n∈N,2n>100.答案C解析“有的三角形為正三角形”為特稱命題,其否定為全稱命題:“所有的三角形都不是正三角形”，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.4。命題“任意x∈［0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是（）A.任意x∈(－∞,0)，x3＋x〈0B。任意x∈（－∞,0),x3＋x≥0C.存在x0∈[0,＋∞），xeq\o\al（3，0）＋x0<0D.存在x0∈[0，＋∞），xeq\o\al(3，0）＋x0≥0答案C解析全稱命題的否定是特稱命題。5.命題“零向量與任意向量共線"的否定為__________________________。答案有的向量與零向量不共線解析命題“零向量與任意向量共線"即“任意向量與零向量共線"，是全稱命題，其否定為特稱命題“有的向量與零向量不共線".1。判斷全稱命題、特稱命題的真假（1）要判斷一個(gè)全稱命題是真命題,必須對(duì)限定集合M中的每個(gè)元素x驗(yàn)證p(x)成立;但要判定全稱命題是假命題，卻只要能舉出集合M中的一個(gè)x，使得p（x）不成立即可（這就是通常所說的“舉出一個(gè)反例”)。(2)要判定一個(gè)特稱命題是真命題，只要在限定集合M中，能找到一個(gè)x，使p(x）成立即可；否則，這一特稱命題就是假命題。2.含有量詞命題的否定（1）全稱命