化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)第一頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-2

數(shù)學(xué)：化學(xué)計量學(xué)的理論基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)將實際問題中的背景省略，抽提其在數(shù)字或幾何方面的共性特點進行研究。抽象數(shù)學(xué)十分實用：很多學(xué)科中的研究對象可以用向量、矩陣表示。利用數(shù)學(xué)中抽象符號及其相關(guān)理論可以建立描述研究對象的數(shù)學(xué)模型，從而進一步發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在規(guī)律。第二頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五數(shù)學(xué)對化學(xué)家有用嗎？數(shù)據(jù)的挖掘數(shù)據(jù)的處理從測試數(shù)據(jù)提取化學(xué)信息信息技術(shù)的革命計算機的發(fā)展與應(yīng)用

第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-3第三頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五§2-1數(shù)學(xué)基礎(chǔ)回顧-線性代數(shù)部分

化學(xué)中的數(shù)據(jù)類型第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-4單變量數(shù)據(jù)：一次測量得到一個值（如：溫度、壓力、單波長的吸光度等）；多變量數(shù)據(jù)：分析儀器的高性能化，使得一次測量可以獲得多變量、多通道的數(shù)據(jù)（如：UV-VisL吸收光譜、IR、NIR、熒光光譜、GC、LC、MS、NMR及聯(lián)用儀器等）；

第四頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五

分析化學(xué)中的矢量★任何一個光譜、色譜等譜圖可以用一個向量表達(dá)；★一組描述研究對象的變量也可用一個向量表達(dá)第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-5第五頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-6第六頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五聯(lián)用儀器HPLC-DAD,GC-MS,GC-IR,HPLC-MS二維數(shù)據(jù)既含有色譜信息又含有光譜信息數(shù)據(jù)矩陣大于10兆大量化合物數(shù)據(jù)庫第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-7第七頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五根據(jù)Lambert-Beer定律做出的

兩個不同化合物a與b的混合物光譜第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-8第八頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五向量加法的幾何意義第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-9第九頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五向量減法的幾何意義第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-10第十頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五向量的方向與長度

向量的方向：由構(gòu)成向量的所有元素所決定，因為任意兩元素間的不同比率會確定向量在線性子空間中的方向;向量的長度：由構(gòu)成向量的所有元素的平方和所決定：第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-11第十一頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五向量分量之間的不同比例決定了向量在線性子空間中的方向第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-12第十二頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五兩向量間的減法決定了n維空間中兩點間的距離第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-13第十三頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五向量的數(shù)乘第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-14第十四頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五

向量的數(shù)乘相當(dāng)于不同濃度的光譜第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-15向量的數(shù)乘滿足結(jié)合律、分配律第十五頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五向量的內(nèi)積與外積第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-16向量間的內(nèi)積或點積生成一個數(shù)第十六頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五兩向量間內(nèi)積的幾何意義第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-17第十七頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五

兩向量外積生成一個雙線性矩陣第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-18其在多元分辨中有重要的意義第十八頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五矩陣代數(shù)相關(guān)概念簡介1、矩陣的相等：矩陣A和B相等，當(dāng)且僅當(dāng)對于所有i和j均有Aij=Bij時才成立！2、矩陣的加減：只有相同維數(shù)的矩陣才可以加減

Aij

Bij＝Cij第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-193、矩陣乘法：矩陣A、B，僅當(dāng)A的列數(shù)等于B的行數(shù)是，才可以相乘：C＝AB第十九頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-20第二十頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五4、矩陣“除法”：只能通過一個逆過程來完成，凡是矩陣A具有非零行列式：det(A)≠0（稱非奇異矩陣），而且僅對于這種矩陣，才能按照下列等式定義其逆矩陣A-1:AA-1=A-1A=E第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-21A、B不對易第二十一頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-22

或：如果兩個方陣A、B滿足AB=E，則稱B矩陣是A矩陣的逆矩陣，計為B=A-1;

如果矩陣A的逆矩陣A-1存在，則稱A是非奇異矩陣（或滿秩矩陣）！否則成為奇異矩陣！第二十二頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-235、零矩陣和單位矩陣：

全部元素為0的矩陣為零矩陣，計作：0

對n階方陣，對角元均為1、非對角元均為0稱單位矩陣；計作：E6、矩陣的轉(zhuǎn)置：將矩陣行與列互換稱為矩陣的轉(zhuǎn)置，轉(zhuǎn)置矩陣有如下性質(zhì)：第二十三頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-247、矩陣的行列式：方陣的行列式是一個實數(shù)，計為detA：

其中：Akj是(n-1)(n-1)階矩陣，是劃去第k行和第j列所得的A的子陣。第二十四頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-258、正交矩陣：如果一個方陣A滿足：AtA=E；稱A為正交矩陣。顯然：At=A-1；9、方陣的跡：定義為矩陣A主對角線上元素的和，計為trA；第二十五頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-2610、方陣的秩：第二十六頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-27

方陣秩的化學(xué)意義

聯(lián)用色譜法測量樣本，獲得一個數(shù)據(jù)矩陣：矩陣中每行就是一個在某保留時間點上的光譜（MS,NMR）；每一列就是一個在某一波長（或質(zhì)荷比等）上的色譜。如果沒有量測噪聲，且每個不同化學(xué)物質(zhì)都具有不同的光譜或色譜，則矩陣的秩就是體系的組分?jǐn)?shù)！

如果化合物測量體系沒有化學(xué)反應(yīng)發(fā)生（即各物質(zhì)相互獨立），這是與矩陣秩的意義相同！第二十七頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五中藥肉桂的一部分二維數(shù)據(jù)第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-28第二十八頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五

Lambert-BeerLaw的矩陣表達(dá)

單組分在某下的Lambert-Beer定律:A＝

bC

p個混合物構(gòu)成的體系在j處的吸光度Aj

第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-29第二十九頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五在分析化學(xué)中經(jīng)常遇到多組分含量確定的問題

在分光光度法中，各組分在同樣的顯色條件下于同一顯色劑生成有色物，但是各組分特征吸收峰常出現(xiàn)干擾情況。如果試驗符合以下兩個條件：比爾定律：A=kbc；吸光度具有加和性Ai=Ai1+Ai2+…+Ain

如：現(xiàn)有一樣品含有Mo,Ti,V三種組分，顯色后在400、540、610nm處進行了吸光度測定，并對以上三組分的獨立標(biāo)準(zhǔn)溶液進行了同樣顯色條件的測定，數(shù)據(jù)如下，求Mo,Ti,V三種組分的含量,第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-30nmMoTiV樣品14000.4160.1300.0000.24825400.0480.6080.1480.85736100.0020.4100.2000.718第三十頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五

p個混合物構(gòu)成的體系在n個波長處的吸光度可用一行向量表示：第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-31第三十一頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五

p個混合物構(gòu)成的m個樣本在波長j處的吸光度可用一列向量表示：第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識32第三十二頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五p個混合物構(gòu)成的m個樣本在n個波長處的吸光度可用一矩陣表示：第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-33第三十三頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五

可見，矩陣的應(yīng)用之一就是可用簡潔形式表示線性方程組，例如：第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-34可寫成：或第三十四頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五上三角陣與下三角陣上三角矩陣 下三角矩陣對角矩陣 恒等矩陣第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-35第三十五頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五逆矩陣的運算性質(zhì)（1）若A可逆，則A-1亦可逆，且（A-1)-1=A

第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-36證明第三十六頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五證明第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-37第三十七頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-38第三十八頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五(6)

若A是可逆矩陣，則A的逆矩陣是唯一的.若設(shè)和是的逆矩陣，則有可得所以的逆矩陣是唯一的，即第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-39第三十九頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五證明若可逆，定理1

矩陣可逆的充要條件是，且

第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-40對任意n

階矩陣A

，稱A*

為A

的伴隨矩陣，其中，Aij

是A

中元素aij的代數(shù)余子式。

第四十頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-41第四十一頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五按逆矩陣的定義得證畢.1AA*A1-=第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-42第四十二頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五逆矩陣的求解第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-43

定義

對于階矩陣，如果有一個階矩陣

則說矩陣是可逆的，并把矩陣稱為的逆矩陣.,使得例設(shè):第四十三頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五例1

設(shè)解設(shè)是的逆矩陣,則利用待定系數(shù)法第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-441、利用待定系數(shù)法第四十四頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五又因為所以第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-45第四十五頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五例2求方陣的逆矩陣.解三、逆矩陣的求法第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-462、逆矩陣充要條件法：

第四十六頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五故第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-47第四十七頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五解例3第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-48a2i-a1i2a3i-a1i第四十八頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-49A21=3;A22=0;A23=-1;A31=1;A32=4;A33=-3;第四十九頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-50第五十頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五例4設(shè)解第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-51第五十一頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五于是第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-52第五十二頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-53例5第五十三頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五解給方程兩端左乘矩陣第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-54第五十四頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五給方程兩端右乘矩陣得第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-55第五十五頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五給方程兩端左、右乘相應(yīng)逆矩陣第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-56得第五十六頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五解

例6,1AA*A1-=第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-57第五十七頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-58第五十八頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五四、小結(jié)3、初等變換法—矩陣的初等變換（1）互換矩陣的兩行，常用rirj表示第i行與第j行互換。（2）用一個非零數(shù)乘矩陣的某一行，常用kri

表示用數(shù)k乘矩陣的某i行。（3）將矩陣的某一行乘以數(shù)k后，加到另一行，常用rj＋kri

表示第i行的k倍加到第j行。這樣的過程稱為矩陣的初等行變換！（4）將定義中的“行r”

換成“列c”，即得到矩陣的列變換。

矩陣的初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換法！

第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-59互換；表示用數(shù)k乘以第i行；第五十九頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五在給定的n階方陣的右邊放一個n階單位矩陣E形成初等行變換求逆矩陣一個n×2n的矩陣

，然后對矩陣

實施初等行變換，直到將原矩陣A所在部分變成單位矩陣E，原單位矩陣部分經(jīng)同樣的初等變換后，所得到的矩陣就是A的逆矩陣，即第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-60第六十頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五例7我國某地方為避開高峰期用電，實行分時段計費，鼓勵夜間用電。某地白天(AM8:00～PM11:00)與夜間(PM11:00~AM8:00)的電費標(biāo)準(zhǔn)為P，若某宿舍兩戶人某月的用電情況如下：白天夜間一二第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-61所交電費F=(90.29101.41)，問如何用矩陣的運算表示當(dāng)?shù)氐碾娰M？第六十一頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五可以得到當(dāng)?shù)氐碾娰M標(biāo)準(zhǔn)為

下面用初等變換求

解

令，因為等式兩邊同時左乘以矩陣

第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-62第六十二頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五即

第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-63第六十三頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五所以即白天的電費標(biāo)準(zhǔn)為0.462元/度，夜間電費標(biāo)準(zhǔn)為0.2323元/度.第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-64第六十四頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五例8、[轉(zhuǎn)動矩陣]機器人手臂的轉(zhuǎn)動常用矩陣表示，其中的元素為轉(zhuǎn)動角的三角函數(shù)值，求下面轉(zhuǎn)動矩陣R的逆陣。第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-65【解】因為第六十五頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五所以第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-66第六十六頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五

矩陣的本征值方程

設(shè)A

是n階方陣，如果存在數(shù)和非零n維列向量X，使得AX=X成立，則稱是A的一個特征值(characteristicvalue)或本征值(eigenvalue)。非零n維列向量X稱為矩陣A的屬于（對應(yīng)于）特征值的特征向量或本征向量，簡稱A的特征向量或A的本征向量。第2講第2章化學(xué)計量學(xué)的相關(guān)基礎(chǔ)知識2-67第六十七頁，共七十二頁，編輯于2023年，星期五求矩陣特征值的方法

AX=X，等價于求

，使得(A-E)X=0，其中E是單位矩陣，0為零矩陣。

|E-A|=0，求得的值即為A