第13講第八章平面解析幾何（綜合測試）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1．（2022·陜西渭南·高一期末）如果且，那么直線不經(jīng)過（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C由且，可得同號(hào)，異號(hào)，所以也是異號(hào)；令，得；令，得；所以直線不經(jīng)過第三象限.故選：C.2．（2022·四川甘孜·高二期末（文））若直線?與圓?相交于?兩點(diǎn)，且?(其中?為原點(diǎn))，則?的值為（

）A．?或? B．? C．?或? D．?【答案】A由可知，圓心到直線的距離為，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得故選：A3．（2022·吉林·東北師大附中模擬預(yù)測（理））由倫敦著名建筑事務(wù)所SteynStudio設(shè)計(jì)的南非雙曲線大教堂驚艷世界，該建筑是數(shù)學(xué)與建筑完美結(jié)合造飲就的藝術(shù)品．若將如圖所示的大教堂外形弧線的一段近似看成雙曲線下支的部分，且此雙曲線的下焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，焦距為，則該雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B雙曲線的漸近線方程為，下焦點(diǎn)為，因?yàn)殡p曲線的下焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，所以，因?yàn)榻咕酁椋?，所以，所以所以雙曲線的漸近線方程，故選：B4．（2022·陜西渭南·高一期末）若方程表示雙曲線，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A因?yàn)榉匠瘫硎倦p曲線，所以，解得，故選：A5．（2022·陜西渭南·高一期末）已知圓，圓，則同時(shí)與圓和圓相切的直線有（

）A．4條 B．2條 C．1條 D．0條【答案】B圓的圓心為，半徑為；圓的圓心為，半徑為，因?yàn)?，所以，即圓和圓相交，則同時(shí)與圓和圓相切的直線有2條.故選：B6．（2022·湖北武漢·高三開學(xué)考試）已知橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，過的直線與交于A，B兩點(diǎn).若，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C設(shè),則,.由橢圓的定義可知,所以,所以,.在△ABF1中,.所以在△AF1F2中,,即整理可得：,所以故選：C7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）過橢圓的左焦點(diǎn)F作傾斜角為60°的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A由，得，，，左焦點(diǎn)為．則過左焦點(diǎn)F，傾斜角為60°直線l的方程為．代入，得，設(shè)，，則，，又，根據(jù)弦長公式得：，且，∴，故選：A．8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，，為該雙曲線的左右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．【答案】D由雙曲線的對(duì)稱性，假設(shè)在右支上，即，由到的距離為，而，所以，綜上，，同理，則，對(duì)于雙曲線，有且，所以，而，即.故選：D二?多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9．（2022·湖南·長沙市南雅中學(xué)高三階段練習(xí)）圓（

）A．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B．關(guān)于直線對(duì)稱C．關(guān)于直線對(duì)稱D．關(guān)于直線對(duì)稱【答案】ABC將圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可得，所以圓心的坐標(biāo)為，圓是關(guān)于圓心對(duì)稱的中心對(duì)稱圖形，而點(diǎn)是圓心坐標(biāo)，所以A選項(xiàng)正確；圓是關(guān)于直徑對(duì)稱的軸對(duì)稱圖形，直線過圓心，所以B選項(xiàng)正確；圓是關(guān)于直徑對(duì)稱的軸對(duì)稱圖形，直線過圓心，所以C選項(xiàng)正確；圓是關(guān)于直徑對(duì)稱的軸對(duì)稱圖形，直線不過圓心，所以D選項(xiàng)不正確.故選：ABC.10．（2022·全國·高一）直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，則線段的長度可能為（

）A． B． C．12 D．14【答案】BC直線過圓C內(nèi)一定點(diǎn)，當(dāng)直線經(jīng)過圓C的圓心時(shí)，有最大值12；當(dāng)為線段中點(diǎn)時(shí)，有最小值，所以．故選：BC．11．（2022·海南·瓊海市嘉積第三中學(xué)高三階段練習(xí)）我們通常稱離心率為的橢圓為“黃金橢圓”.如圖，已知橢圓，為頂點(diǎn)，為焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，滿足下列條件能使橢圓為“黃金橢圓”的有（

）A．為等比數(shù)列B．C．軸，且D．四邊形的內(nèi)切圓過焦點(diǎn)【答案】BD解：，，，對(duì)于A：為等比數(shù)列，則，，不滿足條件，故錯(cuò)誤；對(duì)于B：,,即解得或（舍去）滿足條件.故B正確；對(duì)于C：軸，且，即解得，不滿足題意，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：四邊形的內(nèi)切圓過焦點(diǎn)，即四邊形的內(nèi)切圓的半徑為，解得（舍去）或，故D正確.故選：BD12．（2022·云南昆明·高二期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與相交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)位于第一象限），與的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，則（

）A．直的斜率為 B．C． D．直線與的傾斜角互補(bǔ)【答案】ABD易知拋物線的焦點(diǎn)為，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，若軸，則直線與拋物線的準(zhǔn)線平行，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，可得，即點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則，則，可得，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，則，可得，所以，直線的方程為，即，故直線的斜率為，A對(duì)；聯(lián)立，解得或，即點(diǎn)、，易知點(diǎn)，所以，，，則，B對(duì)；易知點(diǎn)，，，故，C錯(cuò)；，，則，所以，直線與的傾斜角互補(bǔ)，D對(duì).故選：ABD.三?填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，第二空3分.）13．（2022·湖北十堰·高二階段練習(xí)）關(guān)于直線：，：，若，則__________.【答案】若，則，解得.故答案為：.14．（2022·全國·高二專題練習(xí)）橢圓：上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為_____.【答案】解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中，則點(diǎn)到直線的距離，其中，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．所以取得最小值．故答案為：15．（2022·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)雙曲線：的右焦點(diǎn)為，雙曲線的一條漸近線為，以為圓心的圓與交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則雙曲線的離心率的取值范圍是______．【答案】解：由題可知，點(diǎn)，如圖所示，不妨取直線的方程為，過點(diǎn)作于，則到直線的距離，，且，為等腰直角三角形，，，，，，，，即，離心率，令，，則，即]，．故答案為：.16．（2022·廣東梅州·高二階段練習(xí)）希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓”．后來，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)是滿足的阿氏圓上的任一點(diǎn)，則該阿氏圓的方程為____；若點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在軸上的射影為，則的最小值為______．【答案】

##設(shè)點(diǎn)，，∴.拋物線的焦點(diǎn)為點(diǎn)，由題意知，，∴.故答案為：；.四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）17．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知直線的方程為：．(1)求證：不論為何值，直線必過定點(diǎn)；(2)過點(diǎn)引直線，使它與兩坐標(biāo)軸的負(fù)半軸所圍成的三角形面積最小，求的方程．【答案】(1)證明見解析(2)(1)證明：原方程整理得：．由，可得，不論為何值，直線必過定點(diǎn)(2)解：設(shè)直線的方程為．令令．．當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，三角形面積最?。畡t的方程為．18．（2022·重慶長壽·高二期末）在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，．(1)求BC邊上的中線AD的所在直線方程；(2)求△ABC的外接圓O被直線l：截得的弦長．【答案】(1)(2)(1)∵，∴BC邊的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為，∴中線AD的斜率為，∴中線AD的直線方程為：，即(2)設(shè)△ABC的外接圓O的方程為，∵A、B、C三點(diǎn)在圓上，∴解得：∴外接圓O的方程為，即，其中圓心O為，半徑,又圓心O到直線l的距離為,∴被截得的弦長的一半為,∴被截得的弦長為.19．（2022·陜西渭南·高二期末（理））已知拋物線C：的焦點(diǎn)與橢圓：的一個(gè)焦點(diǎn)重合．(1)求拋物線C的方程；(2)若直線l：交拋物線C于，兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，求證：．【答案】(1)；(2)證明見解析.(1)∵橢圓：的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，即．∴拋物線C的方程為：．(2)聯(lián)立方程組消去x，整理得．∴．∴，即,∴,∴．20．（2022·海南·瓊海市嘉積第二中學(xué)高二期中）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線經(jīng)過點(diǎn)，且與橢圓交于，兩點(diǎn)，若，求直線的方程．【答案】(1)(2)或．(1)解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，拋物線的焦點(diǎn)為，依題意，解得．∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．(2)解：由題意得直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，則由，消去整理得，且．設(shè)，，∴，由得，∴消去得，解得，，所以直線的方程為，即或．21．（2022·廣東·華南師大附中三模）已知在△ABC中，，，動(dòng)點(diǎn)A滿足，，AC的垂直平分線交直線AB于點(diǎn)P．(1)求點(diǎn)P的軌跡E的方程；(2)直線交x軸于D，與曲線E在第一象限的交點(diǎn)為Q，過點(diǎn)D的直線l與曲線E交于M，N兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)K，記QM，QN，QK的斜率分別為，，，①求證：是定值．②若直線l的斜率為1，問是否存在m的值，使？若存在，求出所有滿足條件的m的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)①證明見解析；②存在；(1)∵，∴AC的垂直平分線交BA的延長線于點(diǎn)P．連接PC，則，∴，由雙曲線的定義知，點(diǎn)P的軌跡E是以，為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為的雙曲線的右支（右頂點(diǎn)除外），，，則，∴E的方程是．(2)①證明：由已知得，，滿足，設(shè)直線l方程為，，，聯(lián)立，得，，，，同理，∴對(duì)，令，得，∴，，∴，∴是定值．②假設(shè)存在m的值，使由①知，，則，∴，直線QK的方程為，令，得；直線l的斜率為1，直線l的方程為，令，得；∴，∴，代入，得，整理得，，解得，或（∵，舍去）∴，存在m的值為，使．22．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，半焦距為，且．經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)F，斜率為的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程