函數(shù)的奇偶性與周期性一、選擇題上的奇函數(shù)知足f(x4)f(x),且在區(qū)間上是增函數(shù),則Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)f(11)域?yàn)镽,所以f(0)數(shù)值非負(fù),故f(1)f(80)f(0)0,

0,且函數(shù)的圖象對(duì)于對(duì)稱,0,所以f(25)f(25)f(11)f(3)0,所以f(

因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是增函數(shù)f(1)0,25)f(80)f(11),應(yīng)選

,所以在上的函D答案

D2．已知定義在

R上的奇函數(shù)，

f

知足

f＋2＝－f，則

f6的值為．A．－1

B

．0

C

．1

D

．2解析

結(jié)構(gòu)法結(jié)構(gòu)函數(shù)

f＝in

錯(cuò)誤!，則有

f＋2＝in

錯(cuò)誤!＝－in

錯(cuò)誤!＝－f，所以

f＝in錯(cuò)誤!是一個(gè)知足條件的函數(shù)，所以

f6＝in3

π＝

0，應(yīng)選

B答案B【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)構(gòu)出一個(gè)切合條件的詳細(xì)函數(shù)，是解答抽象函數(shù)選擇題的常用方法，充分體現(xiàn)了由抽象到詳細(xì)的思維方法3下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，且在區(qū)間0,內(nèi)是單一遞增的函數(shù)是（）12xA．yx2B．ycosxC．ylnxD．yD4．若函數(shù)

f＝錯(cuò)誤!為奇函數(shù)，則

a＝

．D

．1解析

特例法∵

f＝錯(cuò)誤!是奇函數(shù)，f－1＝－f1，∴錯(cuò)誤!＝－錯(cuò)誤!，a＋1＝31－a，解得a＝錯(cuò)誤!答案A【點(diǎn)評(píng)】此題采用特例法，可簡(jiǎn)化運(yùn)算，自然也可用奇函數(shù)的定義進(jìn)行解題，可是過程較為繁瑣，若運(yùn)算能力較弱容易犯錯(cuò)5．函數(shù)

f

的定義域?yàn)?/p>

R，若

f＋1與

f－1都是奇函數(shù)，則

．A．f

是偶函數(shù)

B

．f

是奇函數(shù)C．f＝f＋2

D

．f＋3是奇函數(shù)解析由已知條件對(duì)∈R都有f－＋1＝－f＋1，f－－1＝－f－1因此f－＋3＝f[－－2＋1]＝－f[－2＋1]＝－f－1＝f－－1＝f－－2＋1＝f－＋2＋1＝－f＋2＋1＝－f＋3，因此函數(shù)f＋3是奇函數(shù)．答案

D是定義在A．

R上的偶函數(shù)，并知足

f＋2＝－錯(cuò)誤!，當(dāng)B．－

1≤≤2時(shí)，f＝－2，則

f＝C．

D

．－解析

∵f＋2＝－錯(cuò)誤!，∴f＋4＝f[＋2＋2]＝－錯(cuò)誤!＝f，∴f

周期為

4，∴f＝f－8＝f－＝f＝－2＝－答案D【點(diǎn)評(píng)】此題采用直接法，所謂直接法，就是直接從題設(shè)的條件出發(fā)，運(yùn)用相關(guān)的觀點(diǎn)、定義、性質(zhì)、定理、法例和公式等知識(shí)，經(jīng)過嚴(yán)實(shí)的推理與計(jì)算來(lái)得出題目的結(jié)論，然后再比較題目所給的四個(gè)選項(xiàng)來(lái)“對(duì)號(hào)入座”其基本策略是由因?qū)Ч?，直接求解是R上最小正周期為

2的周期函數(shù)，且當(dāng)

0≤＜2時(shí)，f＝3－，則函數(shù)＝

f

的圖象在區(qū)間

[0,6]上與軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

．A．6解析

B．7C．8D3當(dāng)0≤＜2時(shí)，令f＝－＝0，得＝0或＝1或＝－1舍去，又

f

．9的最小正周期為

2，∴0＝f2＝f4＝f6＝0，f1＝f3＝f5＝0，∴＝f的圖象在區(qū)間[0,6]上與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為7答案B二、填空題知足：f1＝錯(cuò)誤!，4ff＝f＋＋f－，∈R，則f2013＝________解析法一當(dāng)＝1，＝0時(shí)，f0＝錯(cuò)誤!；當(dāng)＝1，＝1時(shí)，f2＝－錯(cuò)誤!；當(dāng)＝2，＝1時(shí)，f3＝－錯(cuò)誤!；當(dāng)＝2，＝2時(shí)，f4＝－錯(cuò)誤!；當(dāng)＝3，＝2時(shí)，f5＝錯(cuò)誤!；當(dāng)＝3，＝3時(shí)，f6＝錯(cuò)誤!；當(dāng)＝4，＝3時(shí)，f7＝錯(cuò)誤!；當(dāng)＝4，＝4時(shí)，f8＝－錯(cuò)誤!；f是以6為周期的函數(shù)，f2013＝f3＋335×6＝f3＝－錯(cuò)誤!法二∵f1＝錯(cuò)誤!，4f·f＝f＋＋f－，∴結(jié)構(gòu)切合題意的函數(shù)f＝錯(cuò)誤!co錯(cuò)誤!，f2013＝錯(cuò)誤!co錯(cuò)誤!＝－錯(cuò)誤!答案－錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!a為常數(shù)在定義域上為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為________．解析f－＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!f＋f－＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!＝0恒建立，所以a＝1或－1答案1或－110．若f是R上周期為5的奇函數(shù)，且知足f1＝1，f2＝2，則f3－f4＝________解析∵f＋5＝f且f－＝－f，∴f3＝f3－5＝f－2＝－f2＝－2，f4＝f－1＝－f1＝－1，故f3－f4＝－2－－1＝－1答案－111．設(shè)奇函數(shù)f的定義域?yàn)閇－5,5]，當(dāng)∈[0,5]時(shí)，函數(shù)＝f的圖象如下圖，則使函數(shù)值0的的取值會(huì)合為________．解析由原函數(shù)是奇函數(shù)，所以＝f在[－5,5]上的圖象對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，由＝f在[0,5]上的圖象，得它在[－5,0]上的圖象，如下圖．由圖象知，使函數(shù)值＜0的的取值會(huì)合為－2,0∪2,5．答案－2,0∪2,512對(duì)于函數(shù)f(x)lgx21，有如下三個(gè)命題：f(x2)是偶函數(shù)；②在區(qū)間

,2

上是減函數(shù)，在區(qū)間

2,

上是增函數(shù)；③f(x

2)

f(x)在區(qū)間

2,

上是增函數(shù)．其中正確命題的序號(hào)是．（將你認(rèn)為正確的命題序號(hào)都填上）解析函數(shù)和f(x2)的圖像如下圖，由圖像可知①②正確；函數(shù)f(x2)f(x)lgxlgx2lgx2，由復(fù)合函數(shù)的單一性法例，lg1x2x2可知函數(shù)f(x2)f(x)在區(qū)間2,上是減函數(shù)。所以③錯(cuò)。答案①②三、解答題f是定義在R上的奇函數(shù)且知足f＋2＝f，當(dāng)∈0,1時(shí)，f＝2－1，求fog錯(cuò)誤!6的值解析∵og錯(cuò)誤!6＝－og263f4時(shí)，f在[t，t＋1]上單一遞減，ht＝ft＝－t2＋8t綜上，ht＝錯(cuò)誤!2函數(shù)＝f的圖象與＝g的圖象有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即函數(shù)φ＝g－f的圖象與軸的正半軸有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)．∵φ＝2－8＋6n＋m，∴φ′＝2－8＋錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!＝錯(cuò)誤!>0．當(dāng)∈0,1時(shí)，φ′>0，φ是增函數(shù)；當(dāng)∈1,3時(shí)，φ′0，φ是增函數(shù)；當(dāng)＝1或＝3時(shí)，φ′＝0∴φ極大值＝φ