“二項式定理（一）”教案一、教學(xué)目的：使學(xué)生掌握二項式定理及其證明數(shù)學(xué)概括法，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和揭露事物內(nèi)在客觀規(guī)律能力和邏輯推理能力。經(jīng)過介紹“楊輝三角”，對學(xué)生進行愛國主義教育。二、教學(xué)重、難點：重點：二項式定理的推導(dǎo)及證明難點：二項式定理的證明三、教學(xué)過程：一新課引入：提問：若今天是星期一，再過810天后的那一天是星期幾在初中，我們已經(jīng)學(xué)過了ab222abb2810＝7110＝C100710C10179=aab3＝ab2ab＝a33a2b3ab2b3C1097C1010提問：關(guān)于ab4，ab5怎樣展開利用多項式乘法＝2733＋c1732c32·72再提問：ab100又怎么辦abnn∈N呢我們知道，事物之間或多或少存在著規(guī)律。這節(jié)課，我們就來研究abn的二項展開式的規(guī)律性二新課：怎樣著手研究它的規(guī)律呢采用從特殊到一般（不完全概括）的方法。規(guī)律：ab1=abab2=abab=a·aa·bb·ab·b=a

22abb2ab

3=ab2ab=a22abb2ab=a33a2b3ab2b3ab4=ab3ab=a33a2b3ab2b3ab=a44a3b6a2b24ab3b4根據(jù)以上的概括，能夠想到abn的展開式的各項是齊次的，它們分別為an,an-1b,an-2b2,，bn,展開式中各項系數(shù)的規(guī)律，能夠列表：ababababab

12345

1112113311464115101051（這表是我國宋代楊輝于1261年首次發(fā)現(xiàn)的，稱為楊輝三角，比歐洲起碼早了三百年。）怎樣從組合知識獲得ab4展開式中各項的系數(shù)ab4=abababab1若每個括號都不取b，只有一種取法獲得a4即C40種2若只有一個括號取b，共有C41種取法獲得a3b3若只有兩個括號取b，共有C42種取法獲得a2b24若只有三個括號取b，共有C43種取法獲得3ab54若每個括號都取b，共有C44種取法得bC10C11C20C21C22C30C31C32C33C40C41C42C43C44C50C51C52C53C54C55∴abn=Cn0anC1nan-1bCnran-rbrCnnbnn∈N以上我們采用不完全概括法獲得，不一定可靠，若要說明正確，須加以證明數(shù)學(xué)概括法。證明：1當n=1時，左邊＝1=ab0111=abab右邊＝C1aC1b∴等式建立2假定n=時，等式建立，即ab=Ck0aCk1-1-rrCkk·b·abCkrab那么當n=1時分別難點作法以ab4ab與abab進行類比ab4ab＝C40a4C41a3bC42a2b2C43ab3C44b4ab=05142323234404132（C4aC4abC4abC4abC4ab）（C4abC4abC42a2b3C43ab4C44b5）由組合數(shù)性質(zhì)知C40＝C50C41＋C40＝C51C42＋C41＝C52C43＋C42＝C53C44＋C43＝C54C44＝C55則ab5=C50aC51a4bC52abC53a2b3C54ab4C55b5325ab=ab·ab=Ck0aCk1·abCkrabrCkk·bab＝Ck0·aCk1abCkrab1-1-r1-r1r-12-rr11CkkabCk0abCk1abCkr·ab＋＋Ckk·b0110r1r-rbr1Ckkk1k1＝CkaCkCkabCkCkaCkabCk·b由組合數(shù)性質(zhì)得，Cko=Ck01Ck1Cko=Ck11，Ckr1Ckr=Ckr11，CkkCkk1=Ckk1，Ckk=Ckk11∴ab=Ck01aCk1abCkk11abr1Ckk1abCkk11b，即等式建立。1111-r1根據(jù)（1）（2）可知，等式關(guān)于隨意n∈N都建立。一、指出：這個公式叫做二項式定理（板書），它的特點：1．項數(shù)：共有n1項2．系數(shù)：依次為Cn0，Cn1，Cn2，Cnr，Cnn，其中Cnrr＝0，1，2，n稱為二項式系數(shù)說明：二項式系數(shù)Cnr與展開中某一項系數(shù)是有區(qū)其他。比如：1＋26展開式中第3項中系數(shù)為C622＝60而第三項的二項式系數(shù)是C62＝15?！?3．指數(shù)：an-r·br指數(shù)和為n，a的指數(shù)依次從n遞減到0，b的指數(shù)依次從0遞增到n。三、小結(jié)：n0n1n-1rn-rrnn（1）二