PAGEPAGE1《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》第一章概率論的基本概念§2．樣本空間、隨機事件1．事件間的關(guān)系則稱事件B包含事件A，指事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生稱為事件A與事件B的和事件，指當(dāng)且僅當(dāng)A，B中至少有一個發(fā)生時，事件發(fā)生稱為事件A與事件B的積事件，指當(dāng)A，B同時發(fā)生時，事件發(fā)生稱為事件A與事件B的差事件，指當(dāng)且僅當(dāng)A發(fā)生、B不發(fā)生時，事件發(fā)生，則稱事件A與B是互不相容的，或互斥的，指事件A與事件B不能同時發(fā)生，基本事件是兩兩互不相容的，則稱事件A與事件B互為逆事件，又稱事件A與事件B互為對立事件2．運算規(guī)則交換律結(jié)合律分配律徳摩根律§3．頻率與概率定義在相同的條件下，進行了n次試驗，在這n次試驗中，事件A發(fā)生的次數(shù)稱為事件A發(fā)生的頻數(shù)，比值稱為事件A發(fā)生的頻率概率：設(shè)E是隨機試驗，S是它的樣本空間，對于E的每一事件A賦予一個實數(shù)，記為P（A），稱為事件的概率1．概率滿足下列條件：（1）非負(fù)性：對于每一個事件A（2）規(guī)范性：對于必然事件S（3）可列可加性：設(shè)是兩兩互不相容的事件，有（可以?。?．概率的一些重要性質(zhì)：（i）（ii）若是兩兩互不相容的事件，則有（可以?。╥ii）設(shè)A，B是兩個事件若，則，（iv）對于任意事件A，（v）（逆事件的概率）（vi）對于任意事件A，B有§4等可能概型（古典概型）等可能概型：試驗的樣本空間只包含有限個元素，試驗中每個事件發(fā)生的可能性相同若事件A包含k個基本事件，即，里§5．條件概率定義：設(shè)A,B是兩個事件，且，稱為事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率條件概率符合概率定義中的三個條件1。非負(fù)性：對于某一事件B，有2。規(guī)范性：對于必然事件S，3可列可加性：設(shè)是兩兩互不相容的事件，則有乘法定理設(shè)，則有稱為乘法公式全概率公式：貝葉斯公式：§6．獨立性定義設(shè)A，B是兩事件，如果滿足等式，則稱事件A,B相互獨立定理一設(shè)A，B是兩事件，且，若A，B相互獨立，則定理二若事件A和B相互獨立，則下列各對事件也相互獨立：A與第二章隨機變量及其分布§1隨機變量定義設(shè)隨機試驗的樣本空間為是定義在樣本空間S上的實值單值函數(shù)，稱為隨機變量§2離散性隨機變量及其分布律離散隨機變量：有些隨機變量，它全部可能取到的值是有限個或可列無限多個，這種隨機變量稱為離散型隨機變量滿足如下兩個條件（1），（2）=1三種重要的離散型隨機變量（1）0-1分布設(shè)隨機變量X只能取0與1兩個值，它的分布律是，則稱X服從以p為參數(shù)的0-1分布或兩點分布。（2）伯努利實驗、二項分布設(shè)實驗E只有兩個可能結(jié)果：A與，則稱E為伯努利實驗.設(shè)，此時.將E獨立重復(fù)的進行n次，則稱這一串重復(fù)的獨立實驗為n重伯努利實驗。滿足條件（1），（2）=1注意到是二項式的展開式中出現(xiàn)的那一項，我們稱隨機變量X服從參數(shù)為n，p的二項分布。（3）泊松分布設(shè)隨機變量X所有可能取的值為0,1,2…，而取各個值的概率為其中是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的泊松分布記為§3隨機變量的分布函數(shù)定義設(shè)X是一個隨機變量，x是任意實數(shù)，函數(shù)稱為X的分布函數(shù)分布函數(shù)，具有以下性質(zhì)(1)是一個不減函數(shù)（2）（3）§4連續(xù)性隨機變量及其概率密度連續(xù)隨機變量：如果對于隨機變量X的分布函數(shù)F（x），存在非負(fù)可積函數(shù)，使對于任意函數(shù)x有則稱x為連續(xù)性隨機變量，其中函數(shù)f(x)稱為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度1概率密度具有以下性質(zhì)，滿足（1）；（3）；（4）若在點x處連續(xù)，則有2,三種重要的連續(xù)型隨機變量(1)均勻分布若連續(xù)性隨機變量X具有概率密度，則成X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布.記為(2)指數(shù)分布若連續(xù)性隨機變量X的概率密度為其中為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。（3）正態(tài)分布若連續(xù)型隨機變量X的概率密度為的正態(tài)分布或高斯分布，記為特別，當(dāng)時稱隨機變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布§5隨機變量的函數(shù)的分布定理設(shè)隨機變量X具有概率密度又設(shè)函數(shù)處處可導(dǎo)且恒有，則Y=是連續(xù)型隨機變量，其概率密度為第三章多維隨機變量§1二維隨機變量定義設(shè)E是一個隨機試驗，它的樣本空間是和是定義在S上的隨機變量，稱為隨機變量，由它們構(gòu)成的一個向量（X，Y）叫做二維隨機變量設(shè)（X，Y）是二維隨機變量，對于任意實數(shù)x，y，二元函數(shù)稱為二維隨機變量（X，Y）的分布函數(shù)如果二維隨機變量（X，Y）全部可能取到的值是有限對或可列無限多對，則稱（X，Y）是離散型的隨機變量。我們稱為二維離散型隨機變量（X，Y）的分布律。對于二維隨機變量（X，Y）的分布函數(shù)，如果存在非負(fù)可積函數(shù)f（x，y），使對于任意x，y有則稱（X，Y）是連續(xù)性的隨機變量，函數(shù)f（x，y）稱為隨機變量（X，Y）的概率密度，或稱為隨機變量X和Y的聯(lián)合概率密度?！?邊緣分布二維隨機變量（X，Y）作為一個整體，具有分布函數(shù).而X和Y都是隨機變量，各自也有分布函數(shù)，將他們分別記為，依次稱為二維隨機變量（X，Y）關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)。分別稱為（X，Y）關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布律。分別稱，為X，Y關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣概率密度?！?條件分布定義設(shè)（X，Y）是二維離散型隨機變量，對于固定的j，若則稱為在條件下隨機變量X的條件分布律，同樣為在條件下隨機變量X的條件分布律。設(shè)二維離散型隨機變量（X，Y）的概率密度為，（X，Y）關(guān)于Y的邊緣概率密度為，若對于固定的y，〉0，則稱為在Y=y的條件下X的條件概率密度，記為=§4相互獨立的隨機變量定義設(shè)及，分別是二維離散型隨機變量（X，Y）的分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù).若對于所有x,y有，即，則稱隨機變量X和Y是相互獨立的。對于二維正態(tài)隨機變量（X，Y），X和Y相互獨立的充要條件是參數(shù)§5兩個隨機變量的函數(shù)的分布1，Z=X+Y的分布設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)型隨機變量，它具有概率密度.則Z=X+Y仍為連續(xù)性隨機變量，其概率密度為或又若X和Y相互獨立，設(shè)（X，Y）關(guān)于X，Y的邊緣密度分別為則和這兩個公式稱為的卷積公式有限個相互獨立的正態(tài)隨機變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布2，設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)型隨機變量，它具有概率密度，則仍為連續(xù)性隨機變量其概率密度分別為又若X和Y相互獨立，設(shè)（X，Y）關(guān)于X，Y的邊緣密度分別為則可化為3設(shè)X，Y是兩個相互獨立的隨機變量，它們的分布函數(shù)分別為由于不大于z等價于X和Y都不大于z故有又由于X和Y相互獨立，得到的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為第四章隨機變量的數(shù)字特征§1．?dāng)?shù)學(xué)期望定義設(shè)離散型隨機變量X的分布律為，k=1,2，…若級數(shù)絕對收斂，則稱級數(shù)的和為隨機變量X的數(shù)學(xué)期望，記為，即設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度為，若積分絕對收斂，則稱積分的值為隨機變量X的數(shù)學(xué)期望，記為，即定理設(shè)Y是隨機變量X的函數(shù)Y=(g是連續(xù)函數(shù))（i）如果X是離散型隨機變量，它的分布律為，k=1,2，…若絕對收斂則有（ii）如果X是連續(xù)型隨機變量，它的分概率密度為，若絕對收斂則有數(shù)學(xué)期望的幾個重要性質(zhì)1設(shè)C是常數(shù)，則有2設(shè)X是隨機變量，C是常數(shù)，則有3設(shè)X,Y是兩個隨機變量，則有；4設(shè)X，Y是相互獨立的隨機變量，則有§2方差定義設(shè)X是一個隨機變量，若存在，則稱為X的方差，記為D（x）即D（x）=，在應(yīng)用上還引入量，記為，稱為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差。方差的幾個重要性質(zhì)1設(shè)C是常數(shù)，則有2設(shè)X是隨機變量，C是常數(shù)，則有，3設(shè)X,Y是兩個隨機變量，則有特別，若X,Y相互獨立，則有4的充要條件是X以概率1取常數(shù)，即切比雪夫不等式：設(shè)隨機變量X具有數(shù)學(xué)期望，則對于任意正數(shù)，不等式成立§3協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)定義量稱為隨機變量X與Y的協(xié)方差為，即而稱為隨機變量X和Y的相關(guān)系數(shù)對于任意兩個隨機變量X和Y，協(xié)方差具有下述性質(zhì)12定理12的充要條件是，存在常數(shù)a,b使當(dāng)0時，稱X和Y不相關(guān)附：幾種常用的概率分布表分布參數(shù)分布律或概率密度數(shù)學(xué)期望方差兩點分布，二項式分布，泊松分布幾何分布均勻分布，指數(shù)分布正態(tài)分布第五章大數(shù)定律與中心極限定理§1．大數(shù)定律弱大數(shù)定理（辛欣大數(shù)定理）設(shè)X1，X2…是相互獨立，服從統(tǒng)一分布的隨機變量序列，并具有數(shù)學(xué)期望.作前n個變量的算術(shù)平均，則對于任意，有定義設(shè)是一個隨機變量序列，a是一個常數(shù)，若對于任意正數(shù)，有，則稱序列依概率收斂于a，記為伯努利大數(shù)定理設(shè)是n次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗中發(fā)生的概率，則對于任意正數(shù)〉0，有或§2中心極限定理定理一（獨立同分布的中心極限定理）設(shè)隨機變量相互獨立，服從同一分布，且具有數(shù)學(xué)期望和方差（k=1,2，…），則隨機變量之和，，定理二（李雅普諾夫定理）設(shè)隨機變量…相互獨立，它們具有數(shù)學(xué)期望和方差記定理三（棣莫弗-拉普拉斯定理）設(shè)隨機變量）的二項分布，則對任意，有《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》第一章隨機事件及其概率§1.1隨機事件一、給出事件描述，要求用運算關(guān)系符表示事件：二、給出事件運算關(guān)系符，要求判斷其正確性：§1.2概率古典概型公式：P（A）=實用中經(jīng)常采用“排列組合”的方法計算補例1：將n個球隨機地放到n個盒中去，問每個盒子恰有1個球的概率是多少？解：設(shè)A：“每個盒子恰有1個球”。求：P(A)=？Ω所含樣本點數(shù)：Α所含樣本點數(shù)：補例2：將3封信隨機地放入4個信箱中，問信箱中信的封數(shù)的最大數(shù)分別為1、2、3的概率各是多少？解：設(shè)Ai：“信箱中信的最大封數(shù)為i”。(i=1,2,3)求：P(Ai)=？Ω所含樣本點數(shù)：A1所含樣本點數(shù)：A2所含樣本點數(shù)：A3所含樣本點數(shù)：注：由概率定義得出的幾個性質(zhì)：1、0<P（A）<12、P(Ω)=1，P(φ)=0§1.3概率的加法法則定理：設(shè)A、B是互不相容事件（AB=φ），則：P（A∪B）=P（A）+P（B）推論1：設(shè)A1、A2、…、An互不相容，則P(A1+A2+...+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)推論2：設(shè)A1、A2、…、An構(gòu)成完備事件組，則P(A1+A2+...+An)=1推論3：P（A）=1－P（）推論4：若BA，則P(B－A)=P(B)－P(A)推論5（廣義加法公式）：對任意兩個事件A與B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB)補充——對偶律：§1.4條件概率與乘法法則條件概率公式：P(A/B)=（P(B)≠0）P(B/A)=（P(A)≠0）∴P（AB）=P（A/B）P（B）=P（B/A）P（A）有時須與P（A+B）=P（A）+P（B）－P（AB）中的P（AB）聯(lián)系解題。全概率與逆概率公式：全概率公式：逆概率公式：（注意全概率公式和逆概率公式的題型：將試驗可看成分為兩步做，如果要求第二步某事件的概率，就用全概率公式；如果求在第二步某事件發(fā)生條件下第一步某事件的概率，就用逆概率公式。）§1.5獨立試驗概型事件的獨立性：貝努里公式（n重貝努里試驗概率計算公式）：課本P24另兩個解題中常用的結(jié)論——1、定理：有四對事件：A與B、A與、與B、與，如果其中有一對相互獨立，則其余三對也相互獨立。2、公式：第二章隨機變量及其分布一、關(guān)于離散型隨機變量的分布問題1、求分布列：⑴確定各種事件，記為寫成一行；⑵計算各種事件概率，記為pk寫成第二行。得到的表即為所求的分布列。注意：應(yīng)符合性質(zhì)——1、（非負(fù)性）2、（可加性和規(guī)范性）補例1：將一顆骰子連擲2次，以表示兩次所得結(jié)果之和，試寫出的概率分布。解：Ω所含樣本點數(shù)：6×6=36所求分布列為：pk補例2：一袋中有5只乒乓球，編號1，2，3，4，5，在其中同時取3只，以表示取出3只球中最大號碼，試寫出的概率分布。解：Ω所含樣本點數(shù)：=106/103/106/103/101/10pk5432、求分布函數(shù)F(x)：分布函數(shù)二、關(guān)于連續(xù)型隨機變量的分布問題：x∈R，如果隨機變量的分布函數(shù)F（x）可寫成F（x）=，則為連續(xù)型。稱概率密度函數(shù)。解題中應(yīng)該知道的幾個關(guān)系式：第三章隨機變量數(shù)字特征一、求離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望E=？數(shù)學(xué)期望（均值）二、設(shè)為隨機變量，f(x)是普通實函數(shù)，則η=f()也是隨機變量，求Eη=?x1x2…xkpkp1p2…pkη=f()y1y2…yk以上計算只要求這種離散型的。補例1：設(shè)的概率分布為：－1012pk求：⑴，的概率分布；⑵。解：因為－1012pkη=－－2－101η=1014所以，所求分布列為：η=－－2－101pk和：η=1014pk當(dāng)η=－1時，Eη=E（－1）=－2×+(－1)×+0×+1×+×=1/4當(dāng)η=時，Eη=E=1×+0×+1×+4×+×=27/8三、求或η的方差D=？Dη=？實用公式=－其中，===補例2：－202pk0.40.30.3求：E和D解：=－2×0.4+0×0.3+2×0.3=－0.22=（－2）2×0.4+02×0.3+22×0.3=2.8=2－=2.8－（－0.2）2=2.76第四章幾種重要的分布常用分布的均值與方差（同志們解題必備速查表）名稱概率分布或密度期望方差參數(shù)范圍二項分布npnpq0<P<1q=1－p正態(tài)分布μμ任意σ>0泊松分布不要求λλλ>0指數(shù)分布不要求λ>0解題中經(jīng)常需要運用的E和D的性質(zhì)（同志們解題必備速查表）E的性質(zhì)D的性質(zhì)————————第五章參數(shù)估計§8.1估計量的優(yōu)劣標(biāo)準(zhǔn)（以下可作填空或選擇）⑴若總體參數(shù)θ的估計量為，如果對任給的ε>0，有，則稱是θ的一致估計；⑵如果滿足，則稱是θ的無偏估計；⑶如果和均是θ的無偏估計，若，則稱是比有效的估計量?！?.3區(qū)間估計：幾個術(shù)語——1、設(shè)總體分布含有一位置參數(shù)，若由樣本算得的一個統(tǒng)計量及，對于給定的（0<<1）滿足：則稱隨機區(qū)間（，）是的100（1－）％的置信區(qū)間，和稱為的100（1－）％的置信下、上限，百分?jǐn)?shù)100（1－）％稱為置信度。一、求總體期望（均值）E的置信區(qū)間1、總體方差已知的類型①據(jù)，得＝1－，反查表（課本P260表）得臨界值；②=③求d=④置信區(qū)間（-d，+d）補簡例：設(shè)總體隨機取4個樣本其觀測值為12.6，13.4，12.8，13.2，求總體均值μ的95%的置信區(qū)間。解：①∵1－α=0.95，α=0.05∴Φ（Uα）=1－=0.975，反查表得：Uα=1.96②③∵σ=0.3，n=4∴d===0.29④所以，總體均值μ的α=0.05的置信區(qū)間為：（－d，＋d）=（13－0.29，13＋0.29）即（12.71，13.29）2、總體方差未知的類型（這種類型十分重要！務(wù)必掌握?。。贀?jù)和自由度n－1（n為樣本容量），查表（課本P262表）得；②確定=和③求d=④置信區(qū)間（-d，+d）注：無特別聲明，一般可保留小數(shù)點后兩位，下同。二、求總體方差的置信區(qū)間①據(jù)α和自由度n－1（n為樣本數(shù)），查表得臨界值：和②確定=和③上限下限④置信區(qū)間（下限，上限）典型例題：補例1：課本P166之16已知某種木材橫紋抗壓力的實驗值服從正態(tài)分布，對10個試件作橫紋抗壓力試驗得數(shù)據(jù)如下（單位：kg/cm2）:482 493 457 471 510446 435 418 394 469試對該木材橫紋抗壓力的方差進行區(qū)間估計（α＝0.04）。解：①∵α=0.04，又n=10，自由度n－1=9∴查表得，==19.7==2.53②===457.5=[++…+]=1240.28③上限===4412.06下限===566.63④所以，所求該批木材橫紋抗壓力的方差的置信區(qū)間為（566.63，4412.06）第六章假設(shè)檢驗必須熟練掌握一個正態(tài)總體假設(shè)檢驗的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)一般思路：1、提出待檢假設(shè)H02、選擇統(tǒng)計量3、據(jù)檢驗水平，確定臨界值4、計算統(tǒng)計量的值5、作出判斷檢驗類型⑵：未知方差，檢驗總體期望(均值)μ①根據(jù)題設(shè)條件，提出H0:=(已知)；②選擇統(tǒng)計量；③據(jù)和自由度n－1（n為樣本容量），查表（課本P262表）得；④由樣本值算出＝？和＝？從而得到；⑤作出判斷典型例題：對一批新的某種液體的存貯罐進行耐裂試驗，抽查5個，得到爆破壓力的數(shù)據(jù)（公斤/寸2）為：545，545，530，550，545。根據(jù)經(jīng)驗爆破壓認(rèn)為是服從正態(tài)分布的，而過去該種液體存貯罐的平均爆破壓力為549公斤/寸2，問這種新罐的爆破壓與過去有無顯著差異？（α=0.05）解：H0:=549選擇統(tǒng)計量∵=0.05，n－1=4，∴查表得：=2.776又∵==543s2==57.==1.77<2.776∴接受假設(shè)，即認(rèn)為該批新罐得平均保爆破壓與過去的無顯著差異。檢驗類型⑶：未知期望(均值)μ，檢驗總體方差①根據(jù)題設(shè)條件，提出H0:=(已知)；②選擇統(tǒng)計量；③據(jù)和自由度n－1（n為樣本容量），查表（課本P264表）得臨界值：和；④由樣本值算出＝？和＝？從而得到；⑤若<<則接受假設(shè)，否則拒絕!補例：某廠生產(chǎn)銅絲的折斷力在正常情況下服從正態(tài)分布，折斷力方差=64，今從一批產(chǎn)品中抽10根作折斷力試驗，試驗結(jié)果（單位：公斤）：578，572，570，568，572，570，572，596，584，570。是否可相信這批銅絲折斷力的方差也是64？（α=0.05）解：H0:=64選擇統(tǒng)計量∵=0.05，n－1=9，∴查表得：==2.7==19又∵==575.2s2==75.73∴=2.7<<=19∴接受假設(shè)，即認(rèn)為這批銅絲折斷力的方差也是64。第1章隨機事件及其概率（1）排列組合公式從m個人中挑出n個人進行排列的可能數(shù)。從m個人中挑出n個人進行組合的可能數(shù)。（2）加法和乘法原理加法原理（兩種方法均能完成此事）：m+n某件事由兩種方法來完成，第一種方法可由m種方法完成，第二種方法可由n種方法來完成，則這件事可由m+n種方法來完成。乘法原理（兩個步驟分別不能完成這件事）：m×n某件事由兩個步驟來完成，第一個步驟可由m種方法完成，第二個步驟可由n種方法來完成，則這件事可由m×n種方法來完成。（3）一些常見排列重復(fù)排列和非重復(fù)排列（有序）對立事件（至少有一個）順序問題（4）隨機試驗和隨機事件如果一個試驗在相同條件下可以重復(fù)進行，而每次試驗的可能結(jié)果不止一個，但在進行一次試驗之前卻不能斷言它出現(xiàn)哪個結(jié)果，則稱這種試驗為隨機試驗。試驗的可能結(jié)果稱為隨機事件。（5）基本事件、樣本空間和事件在一個試驗下，不管事件有多少個，總可以從其中找出這樣一組事件，它具有如下性質(zhì)：①每進行一次試驗，必須發(fā)生且只能發(fā)生這一組中的一個事件；②任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。這樣一組事件中的每一個事件稱為基本事件，用來表示?；臼录娜w，稱為試驗的樣本空間，用表示。一個事件就是由中的部分點（基本事件）組成的集合。通常用大寫字母A，B，C，…表示事件，它們是的子集。為必然事件，?為不可能事件。不可能事件（?）的概率為零，而概率為零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率為1，而概率為1的事件也不一定是必然事件。（6）事件的關(guān)系與運算①關(guān)系：如果事件A的組成部分也是事件B的組成部分，（A發(fā)生必有事件B發(fā)生）：如果同時有，，則稱事件A與事件B等價，或稱A等于B：A=B。A、B中至少有一個發(fā)生的事件：AB，或者A+B。屬于A而不屬于B的部分所構(gòu)成的事件，稱為A與B的差，記為A-B，也可表示為A-AB或者，它表示A發(fā)生而B不發(fā)生的事件。A、B同時發(fā)生：AB，或者AB。AB=?，則表示A與B不可能同時發(fā)生，稱事件A與事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。-A稱為事件A的逆事件，或稱A的對立事件，記為。它表示A不發(fā)生的事件?；コ馕幢貙αⅰ＂谶\算：結(jié)合率：A(BC)=(AB)CA∪(B∪C)=(A∪B)∪C分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C)(A∪B)∩C=(AC)∪(BC)德摩根率：，（7）概率的公理化定義設(shè)為樣本空間，為事件，對每一個事件都有一個實數(shù)P(A)，若滿足下列三個條件：1°0≤P(A)≤1，2°P(Ω)=13°對于兩兩互不相容的事件，，…有常稱為可列（完全）可加性。則稱P(A)為事件的概率。（8）古典概型1°，2°。設(shè)任一事件，它是由組成的，則有P(A)==（9）幾何概型若隨機試驗的結(jié)果為無限不可數(shù)并且每個結(jié)果出現(xiàn)的可能性均勻，同時樣本空間中的每一個基本事件可以使用一個有界區(qū)域來描述，則稱此隨機試驗為幾何概型。對任一事件A，。其中L為幾何度量（長度、面積、體積）。（10）加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)當(dāng)AB不相容P(AB)＝0時，P(A+B)=P(A)+P(B)當(dāng)AB獨立，P(AB)=P(A)P(B),P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)（11）減法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)當(dāng)BA時，P(A-B)=P(A)-P(B)當(dāng)A=Ω時，P()=1-P(B)（12）條件概率定義設(shè)A、B是兩個事件，且P(A)>0，則稱為事件A發(fā)生條件下，事件B發(fā)生的條件概率，記為。條件概率是概率的一種，所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率。例如P(Ω/B)=1P(/A)=1-P(B/A)（13）乘法公式乘法公式：更一般地，對事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0…………。（14）獨立性①兩個事件的獨立性設(shè)事件、滿足，則稱事件、是相互獨立的。若事件、相互獨立，且，則有若事件、相互獨立，則可得到與、與、與也都相互獨立。必然事件和不可能事件?與任何事件都相互獨立。?與任何事件都互斥。②多個事件的獨立性設(shè)ABC是三個事件，如果滿足兩兩獨立的條件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同時滿足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互獨立。對于n個事件類似。（15）全概公式設(shè)事件滿足1°兩兩互不相容，，2°，則有。全概率公式解決的是多個原因造成的結(jié)果問題，全概率公式的題型：將試驗可看成分為兩步做，如果要求第二步某事件的概率，就用全概率公式；（16）貝葉斯公式設(shè)事件，，…，及滿足1°，，…，兩兩互不相容，>0，1，2，…，，2°，，則，i=1，2，…n。此公式即為貝葉斯公式。，（，，…，），通常叫先驗概率。，（，，…，），通常稱為后驗概率。貝葉斯公式反映了“因果”的概率規(guī)律，并作出了“由果朔因”的推斷。將試驗可看成分為兩步做，如果求在第二步某事件發(fā)生條件下第一步某事件的概率，就用貝葉斯公式。（17）伯努利概型我們作了次試驗，且滿足每次試驗只有兩種可能結(jié)果，發(fā)生或不發(fā)生；次試驗是重復(fù)進行的，即發(fā)生的概率每次均一樣；每次試驗是獨立的，即每次試驗發(fā)生與否與其他次試驗發(fā)生與否是互不影響的。這種試驗稱為伯努利概型，或稱為重伯努利試驗。用表示每次試驗發(fā)生的概率，則發(fā)生的概率為，用表示重伯努利試驗中出現(xiàn)次的概率，，。第二章隨機變量及其分布（1）離散型隨機變量的分布律設(shè)離散型隨機變量的可能取值為Xk(k=1,2,…)且取各個值的概率，即事件(X=Xk)的概率為P(X=xk)=pk，k=1,2,…，則稱上式為離散型隨機變量的概率分布或分布律。有時也用分布列的形式給出：。顯然分布律應(yīng)滿足下列條件：（1），，（2）。（2）連續(xù)型隨機變量的分布密度設(shè)是隨機變量的分布函數(shù)，若存在非負(fù)函數(shù)，對任意實數(shù)，有，則稱為連續(xù)型隨機變量。稱為的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)，簡稱概率密度。密度函數(shù)具有下面4個性質(zhì)：1、。2、。3、4、P(x=a)=0,a為常數(shù)，連續(xù)型隨機變量取個別值的概率為0（3）離散與連續(xù)型隨機變量的關(guān)系積分元在連續(xù)型隨機變量理論中所起的作用與在離散型隨機變量理論中所起的作用相類似。（4）分布函數(shù)設(shè)為隨機變量，是任意實數(shù)，則函數(shù)稱為隨機變量X的分布函數(shù)，本質(zhì)上是一個累積函數(shù)?？梢缘玫絏落入?yún)^(qū)間的概率。分布函數(shù)表示隨機變量落入?yún)^(qū)間（–∞，x]內(nèi)的概率。分布函數(shù)具有如下性質(zhì)：1°；2°是單調(diào)不減的函數(shù)，即時，有；3°，；4°，即是右連續(xù)的；5°。對于離散型隨機變量，；對于連續(xù)型隨機變量，。（5）八大分布0-1分布P(X=1)=p,P(X=0)=q二項分布在重貝努里試驗中，設(shè)事件發(fā)生的概率為。事件發(fā)生的次數(shù)是隨機變量，設(shè)為，則可能取值為。，其中，則稱隨機變量服從參數(shù)為，的二項分布。記為。當(dāng)時，，，這就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二項分布的特例。泊松分布設(shè)隨機變量的分布律為，，，則稱隨機變量服從參數(shù)為的泊松分布，記為或者P()。泊松分布為二項分布的極限分布（np=λ，n→∞）。幾何分布，其中p≥0，q=1-p。隨機變量X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為G(p)。均勻分布設(shè)隨機變量的值只落在[a，b]內(nèi)，其密度函數(shù)在[a，b]上為常數(shù)，即a≤x≤b其他，則稱隨機變量在[a，b]上服從均勻分布，記為X~U(a，a≤x≤b分布函數(shù)為a≤xa≤x≤b0，x<a，1，1，x>b。當(dāng)a≤x1<x2≤b時，X落在區(qū)間（）內(nèi)的概率為。指數(shù)分布,0,0,,其中，則稱隨機變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。X的分布函數(shù)為,x<0。

x<0。記住積分公式：正態(tài)分布設(shè)隨機變量的密度函數(shù)為，，其中、為常數(shù)，則稱隨機變量服從參數(shù)為、的正態(tài)分布或高斯（Gauss）分布，記為。具有如下性質(zhì)：1°的圖形是關(guān)于對稱的；2°當(dāng)時，為最大值；dtexFxtdtexFxt2)(21)(參數(shù)、時的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為，其密度函數(shù)記為，，分布函數(shù)為。是不可求積函數(shù)，其函數(shù)值，已編制成表可供查用。Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝。如果~，則~。。（6）分位數(shù)下分位表：；上分位表：。（7）函數(shù)的分布函數(shù)離散型已知的分布列為，的分布列（互不相等）如下：，若有某些相等，則應(yīng)將對應(yīng)的相加作為的概率。連續(xù)型先利用X的概率密度fX(x)寫出Y的分布函數(shù)FY(y)＝P(g(X)≤y)，再利用變上下限積分的求導(dǎo)公式求出fY(y)。（2）定理法：當(dāng)Y=g(X)嚴(yán)格單調(diào)并且可導(dǎo)時:其中h’(y)是g(x)的反函數(shù)（1）聯(lián)合分布離散型如果二維隨機向量（X，Y）的所有可能取值為至多可列個有序?qū)Γ▁,y），則稱為離散型隨機量。設(shè)=（X，Y）的所有可能取值為，且事件{=}的概率為pij,,稱為=（X，Y）的分布律或稱為X和Y的聯(lián)合分布律。聯(lián)合分布有時也用下面的概率分布表來表示：YXy1y2…yj…x1p11p12…p1j…x2p21p22…p2j…xipi1……這里pij具有下面兩個性質(zhì)：（1）pij≥0（i,j=1,2,…）；（2）連續(xù)型對于二維隨機向量，如果存在非負(fù)函數(shù)，使對任意一個其鄰邊分別平行于坐標(biāo)軸的矩形區(qū)域D，即D={(X,Y)|a<x<b,c<y<d}有則稱為連續(xù)型隨機向量；并稱f(x,y)為=（X，Y）的分布密度或稱為X和Y的聯(lián)合分布密度。分布密度f(x,y)具有下面兩個性質(zhì)：f(x,y)≥0;（2）（2）二維隨機變量的本質(zhì)（3）聯(lián)合分布函數(shù)設(shè)（X，Y）為二維隨機變量，對于任意實數(shù)x,y,二元函數(shù)稱為二維隨機向量（X，Y）的分布函數(shù)，或稱為隨機變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)。分布函數(shù)是一個以全平面為其定義域，以事件的概率為函數(shù)值的一個實值函數(shù)。分布函數(shù)F(x,y)具有以下的基本性質(zhì)：（1）（2）F（x,y）分別對x和y是非減的，即當(dāng)x2>x1時，有F（x2,y）≥F(x1,y);當(dāng)y2>y1時，有F(x,y2)≥F(x,y1);（3）F（x,y）分別對x和y是右連續(xù)的，即（4）（5）對于P(x1<x≤x2,y1<y≤y2)=（4）離散型與連續(xù)型的關(guān)系（5）邊緣分布離散型X的邊緣分布為；Y的邊緣分布為。連續(xù)型X的邊緣分布密度為Y的邊緣分布密度為（6）條件分布離散型在已知X=xi的條件下，Y取值的條件分布為在已知Y=yj的條件下，X取值的條件分布為連續(xù)型在已知Y=y的條件下，X的條件分布密度為；在已知X=x的條件下，Y的條件分布密度為（7）獨立性一般型F(X,Y)=FX(x)FY(y)離散型有零不獨立連續(xù)型f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判斷，充要條件：①可分離變量②正概率密度區(qū)間為矩形二維正態(tài)分布＝0隨機變量的函數(shù)若X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互獨立，h,g為連續(xù)函數(shù)，則：h（X1，X2,…Xm）和g（Xm+1,…Xn）相互獨立。特例：若X與Y獨立，則：h（X）和g（Y）獨立。例如：若X與Y獨立，則：3X+1和5Y