PAGE2023年一.填空題(共4小題，每題4分，共計(jì)16分)1．2．設(shè),那么=3．設(shè)函數(shù)以為周期，為的的傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)，那么.4．設(shè)曲線為圓周,那么曲線積分=二.選擇題〔共4小題，每題4分，共計(jì)16分〕1.設(shè)直線為平面為,那么〔〕.(A)平行于平面(B)在平面上(C)垂直于平面(D)與相交，但不垂直2．設(shè)有空間區(qū)域，那么等于〔〕.(A)(B)(C)(D)3．以下級(jí)數(shù)中，收斂的級(jí)數(shù)是〔〕.(A)(B)(C)(D)4.設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，那么以下結(jié)論中錯(cuò)誤的選項(xiàng)是〔〕〔A〕假設(shè)收斂，那么也收斂〔B〕假設(shè)收斂，那么也收斂〔C〕假設(shè)收斂，那么局部和有界〔D〕假設(shè)收斂，那么三．計(jì)算題〔共8小題，每題8分，共計(jì)64分〕1．設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，，求.2．求函數(shù)在曲線上點(diǎn)〔1,2〕處，沿著曲線在該點(diǎn)偏向軸正向的切線方向的方向?qū)?shù).解：3．計(jì)算其中.4.設(shè)立體由錐面及半球面圍成.上任一點(diǎn)處的密度與該點(diǎn)到平面的距離成正比〔比例系數(shù)為〕，試求立體的質(zhì)量.6.計(jì)算第二類曲面積分，其中為球面的外側(cè)．7．求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。四．證明題〔此題4分〕證明以下不等式成立：，其中.五．證明題〔此題8分〕設(shè)有一小山，取它的底面所在平面為坐標(biāo)面，其底部所占的區(qū)域?yàn)樾∩降母叨群瘮?shù)為〔1〕設(shè)為區(qū)域上一點(diǎn)，問在該點(diǎn)沿平面上什么方向的方向?qū)?shù)最大？假設(shè)記此方向?qū)?shù)的最大值為，試寫出的表達(dá)式。〔2〕現(xiàn)欲利用此小山舉行攀巖活動(dòng)，為此需要在山腳尋找一上山坡度最大的點(diǎn)作為攀登的起點(diǎn)也就是說(shuō)，要在的邊界線上找使〔1〕中的到達(dá)最大值的點(diǎn)，試確定攀登起點(diǎn)的位置。2023-2023年填空題〔每題5分，總分值30分〕1.假設(shè)向量?jī)蓛苫ハ啻怪?，且，那?2．設(shè)函數(shù)，求.3.設(shè)函數(shù)為連續(xù)函數(shù),改變以下二次積分的積分順序：.4.計(jì)算.5.冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋?6.設(shè)函數(shù)

的傅里葉級(jí)數(shù)為：，那么其系數(shù).選擇題〔每題5分，總分值20分〕1．直線與平面的位置關(guān)系是()(A)直線在平面內(nèi)；(B)垂直；(C)平行；(D)相交但不垂直2.設(shè)函數(shù),那么〔〕(A)在原點(diǎn)有極小值；(B)在原點(diǎn)有極大值；(C)在點(diǎn)有極大值；(D)無(wú)極值.3.設(shè)是一條無(wú)重點(diǎn)、分段光滑，且把原點(diǎn)圍在內(nèi)部的平面閉曲線，的方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向，那么〔〕(A)0；(B)；(C)；(D).4.設(shè)為常數(shù)，那么級(jí)數(shù)〔〕(A)絕對(duì)收斂；(B)發(fā)散；(C)條件收斂；(D)斂散性與值有關(guān).本頁(yè)總分值14分本頁(yè)得分三、計(jì)算題(本大題總分值42分)1.設(shè)討論在原點(diǎn)處是否連續(xù)，并求出兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)和.(7分)2.計(jì)算其中是由上半球面和錐面所圍成的立體.(7分)本頁(yè)總分值14分本頁(yè)得分3.求錐面被柱面所割下局部的曲面面積.〔7分〕4.計(jì)算曲面積分，其中是由圍在第一卦限的立體的外側(cè)外表.〔7分〕本頁(yè)總分值14分本頁(yè)得分5.討論級(jí)數(shù)的斂散性.〔6分〕6.把級(jí)數(shù)的和函數(shù)展成的冪級(jí)數(shù).〔8分〕本頁(yè)總分值8分本頁(yè)得分〔此題總分值8分〕設(shè)曲線L是逆時(shí)針方向圓周，是連續(xù)的正函數(shù)，證明：本頁(yè)總分值8分本頁(yè)得分設(shè)曲線L是逆時(shí)針方向圓周，是連續(xù)的正函數(shù)，證明：〔8分〕2023-2023年一．選擇題〔此題共6小題，每題4分，總分值24分.每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)〕.1.設(shè)三向量滿足關(guān)系式，那么〔〕.〔A〕必有;〔B〕必有;〔C〕當(dāng)時(shí)，必有;〔D〕必有為常數(shù)).2.直線與平面的關(guān)系是〔〕.〔A〕平行，但直線不在平面上;〔B〕直線在平面上；〔C〕垂直相交;〔D〕相交但不垂直.3.二元函數(shù)在點(diǎn)〔0，0〕處〔〕(A)不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在(B)連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在(C)連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在(D)不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)不存在4.為某二元函數(shù)的全微分，那么〔〕.〔A〕;〔B〕;〔C〕;〔D〕.5.設(shè)是連續(xù)函數(shù)，平面區(qū)域，那么〔〕.〔A〕;〔B〕;〔C〕;〔D〕.6.設(shè)為常數(shù)，那么級(jí)數(shù)〔〕.〔A〕發(fā)散;〔B〕絕對(duì)收斂;〔C〕條件收斂;〔D〕收斂性與的值有關(guān).二．填空題〔此題共6小題，每題4分，總分值24分〕.1.設(shè)函數(shù)，向量，點(diǎn)，那么_____________.2.假設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處取得極值，那么常數(shù)____________.3.為圓的一周，那么_____________.4.設(shè)，級(jí)數(shù)的收斂半徑為_____________.5.設(shè)，那么_____________.6.設(shè)是以為周期的周期函數(shù)，它在區(qū)間上的定義為，那么的以為周期的傅里葉級(jí)數(shù)在處收斂于_____________.三．解答以下各題〔此題共7小題，總分值44分〕.1.〔本小題6分〕設(shè)是可微函數(shù)，，求.解題過程是：2.〔本小題6分〕計(jì)算二重積分，其中.解題過程是：3.〔本小題6分〕設(shè)曲面是由方程所確定，求該曲面在點(diǎn)處的切平面方程及全微分.解題過程是：4.〔本小題6分〕計(jì)算三重積分，其中是由柱面及，，所圍成的空間區(qū)域.解題過程是：5.〔本小題6分〕求，其中為曲面，方向取下側(cè).解題過程是：6.〔本小題7分〕求冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù).解題過程是：7.〔本小題7分〕計(jì)算，為立體的邊界。解題過程是：四．證明題〔8分〕.設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，是上半平面內(nèi)的有向分段光滑曲線，其起點(diǎn)為，終點(diǎn)為，記，〔1〕證明曲線積分與路徑無(wú)關(guān);〔2〕當(dāng)時(shí)，求的值.2023-2023年1.平面與平面的夾角為.2.函數(shù)在點(diǎn)處沿從點(diǎn)到點(diǎn)的方向的方向?qū)?shù)為.3.設(shè)是有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，那么當(dāng)時(shí)，.4.區(qū)域由圓錐面及平面圍成，那么將三重積分在柱面坐標(biāo)系下化為三次積分為.5.設(shè)為由曲線上相應(yīng)于從到的有向曲線弧，是定義在上的連續(xù)三元函數(shù)，那么對(duì)坐標(biāo)的曲線積分化為對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分有：______________________________________.6.將函數(shù)展開成余弦級(jí)數(shù)為__________________________________.二、單項(xiàng)選擇題：7~12小題，每題3分，共18分。以下每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).7.假設(shè)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，且(常數(shù))，那么〔〕(A)；(B)；(C)；(D).8.設(shè)是連續(xù)的奇函數(shù)，是連續(xù)的偶函數(shù)，區(qū)域，那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是〔〕(A)；(B)；(C)；(D).9.空間三角形三頂點(diǎn)，那么的面積為〔〕(A)；(B)；(C)；(D).10.曲面積分在數(shù)值上等于()(A)流速場(chǎng)穿過曲面Σ指定側(cè)的流量；(B)密度為的曲面片Σ的質(zhì)量；(C)向量場(chǎng)穿過曲面Σ指定側(cè)的通量；(D)向量場(chǎng)沿Σ邊界所做的功.11．()(A)發(fā)散；(B)條件收斂；(C)絕對(duì)收斂；(D)收斂性不能確定.12.級(jí)數(shù)的斂散性為()(A)當(dāng)時(shí)，絕對(duì)收斂；〔B〕當(dāng)時(shí)，條件收斂；(C)當(dāng)時(shí)，絕對(duì)收斂；〔D〕當(dāng)時(shí)，發(fā)散.三、解答題：13~20小題，共58分.請(qǐng)將解答過程寫在題目下方空白處.解容許寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟.13.〔此題總分值6分〕設(shè)確定，求全微分.14.〔此題總分值8分〕求曲線在點(diǎn)〔1,1,1〕處的切線與法平面方程.15.〔此題總分值8分〕求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù).16.〔此題總分值6分〕計(jì)算，其中為曲面被柱面所截下的有限局部.17.〔此題總分值8分〕計(jì)算積分，其中為曲線上從點(diǎn)到沿逆時(shí)針方向的一段有向弧.18.〔此題總分值8分〕計(jì)算，其中是由曲面與平面圍成的有界閉區(qū)域的外表外側(cè).19.〔此題總分值8分〕在第Ⅰ卦限內(nèi)作橢球面的切平面，使切平面與三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的四面體體積最小，求切點(diǎn)坐標(biāo).20.(此題總分值6分)設(shè)均在上連續(xù)，試證明柯西-施瓦茨不等式：.2023-2023年〔無(wú)答案，僅用于題型參考〕選擇題〔此題共6小題，每題4分，總分值24分.每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)〕.1．設(shè)三向量滿足關(guān)系式，那么〔〕.〔A〕必有;〔B〕必有;〔C〕當(dāng)時(shí)，必有;〔D〕必有.2.，且，那么〔〕.〔A〕2;〔B〕;〔C〕;〔D〕1.3.設(shè)曲面，是在第一卦限中的局部，那么有〔〕.〔A〕;〔B〕;〔C〕;〔D〕.4.曲面在點(diǎn)處的切平面方程是：〔〕.〔A〕;〔B〕;〔C〕;〔D〕.5.判別級(jí)數(shù)的斂散性，正確結(jié)果是：〔〕.〔A〕條件收斂;〔B〕發(fā)散；〔C〕絕對(duì)收斂;〔D〕可能收斂，也可能發(fā)散.6.平面的位置是〔〕.〔A〕平行于XOY平面;〔B〕平行于Z軸，但不通過Z軸;〔C〕垂直于Z軸;〔D〕通過Z軸.二、填空題〔此題共4小題，每題5分，總分值20分〕.，那么.函數(shù)在點(diǎn)處沿向量的方向?qū)?shù)是____________，函數(shù)在點(diǎn)處的方向?qū)?shù)取最大值的方向是_____________，該點(diǎn)處方向?qū)?shù)的最大值是______