變分法的基本問題第一頁，共十九頁，編輯于2023年，星期五路徑值集合（實(shí)線）允許的路徑集合（曲線）泛函的概念通常函數(shù)：從實(shí)數(shù)到實(shí)數(shù)的映射。泛函：從路徑（曲線）到實(shí)數(shù)的映射。第二頁，共十九頁，編輯于2023年，星期五目標(biāo)泛函的概念連續(xù)時(shí)間路徑上識(shí)別一條弧，需要三樣信息：無限小的一條?。?）開始時(shí)間（2）開始狀態(tài)（3）弧的前進(jìn)方向存在某個(gè)函數(shù)F，將弧值賦予弧，即從無限小的弧(曲線)到弧值(實(shí)數(shù))的影射，表示為：目標(biāo)泛函就是弧值之和：第三頁，共十九頁，編輯于2023年，星期五例：壟斷企業(yè)的利潤函數(shù)壟斷企業(yè)的動(dòng)態(tài)需求函數(shù)：壟斷企業(yè)的總收益函數(shù)：壟斷企業(yè)的總成本函數(shù)：壟斷企業(yè)的總利潤函數(shù)：加總T期的總利潤函數(shù)，得到目標(biāo)泛函：如果收益函數(shù)或成本函數(shù)隨時(shí)間變化，目標(biāo)泛函：第四頁，共十九頁，編輯于2023年，星期五第一節(jié)歐拉方程變分法的基本問題最大化或最小化一、歐拉方程的推導(dǎo)第五頁，共十九頁，編輯于2023年，星期五變?yōu)椋旱诹?，共十九頁，編輯?023年，星期五一、歐拉方程的推導(dǎo)（2.14）步驟1首先用來表示V，并求導(dǎo)：我們得到極值曲線的必要條件的更具體的形式：萊布尼茲法則：對(duì)于函數(shù)第七頁，共十九頁，編輯于2023年，星期五步驟2和令和。于是我們得到：把這些表達(dá)式代入（2.15），其中a=0，b=T。我們得到：（2.15）根據(jù)分部積分公式：以上推導(dǎo)得到：第八頁，共十九頁，編輯于2023年，星期五步驟3由于是任意的，因此可以得到：對(duì)于所有或?qū)τ谒袣W拉方程（2.17)以上推導(dǎo)得到：對(duì)推導(dǎo)得到的進(jìn)行整理：第九頁，共十九頁，編輯于2023年，星期五步驟4因?yàn)镕是一個(gè)具有三個(gè)自變量的函數(shù)所以偏導(dǎo)數(shù)也是具有三個(gè)同樣自變量的函數(shù)。把它代入(2.18)式，即，得：以上推導(dǎo)得到歐拉方程：歐拉方程的另一種形式第十頁，共十九頁，編輯于2023年，星期五具有邊界條件：例1求下列泛函的極值曲線。根據(jù)歐拉方程，可得：根據(jù)直接積分，得因此，極值曲線為：第十一頁，共十九頁，編輯于2023年，星期五具有邊界條件：例2求下列泛函的極值曲線。根據(jù)歐拉方程，可得：根據(jù)直接積分，得第十二頁，共十九頁，編輯于2023年，星期五10yt01根據(jù)水平終結(jié)線的橫截條件：代入水平終結(jié)線橫截條件。和（在t=T處）通解為第十三頁，共十九頁，編輯于2023年，星期五一、多個(gè)狀態(tài)變量的情況第二節(jié)歐拉方程的推廣當(dāng)給定問題中具有個(gè)狀態(tài)變量時(shí)，泛函變?yōu)椋翰⑶覍?duì)于每個(gè)狀態(tài)變量都有一對(duì)初始條件和終結(jié)條件。個(gè)變量的歐拉方程組為：對(duì)于所有這幾個(gè)方程與邊界條件一起,可以確定解第十四頁，共十九頁，編輯于2023年，星期五二、高階導(dǎo)數(shù)的情況那么高階導(dǎo)數(shù)泛函可以轉(zhuǎn)化為多個(gè)狀態(tài)變量的泛函:考慮一個(gè)含有的高階導(dǎo)數(shù)的泛函，即：并且都有一對(duì)初始條件和終結(jié)條件,即共有個(gè)邊界條件。可以轉(zhuǎn)化為含有個(gè)狀態(tài)變量及其一階導(dǎo)數(shù)的一個(gè)等價(jià)函數(shù)：第十五頁，共十九頁，編輯于2023年，星期五一、社會(huì)損失函數(shù)第三節(jié)通貨膨脹和失業(yè)之間的折衷與的關(guān)系用附加預(yù)期的菲利普斯曲線來表示：預(yù)期通脹率的形成被假定為自適應(yīng)的：其中，表示預(yù)期通貨膨脹率。其中，為實(shí)際收入，為理想實(shí)際收入，為實(shí)際通貨膨脹率。社會(huì)損失函數(shù)為：由（2.40)式和(2.41)式，得：重新整理，得：（2.42)式代入(2.40)式，得：（2.42)和(2.43)式代入(2.39)式，得社會(huì)損失函數(shù)：第十六頁，共十九頁，編輯于2023年，星期五二、問題三、解路徑滿足二階導(dǎo)數(shù)：政策制定者的目標(biāo)：最大化和被積函數(shù)為：F的一階導(dǎo)數(shù)：第十七頁，共十九頁，編輯于2023年，星期五公式（2.19）給出了具體的必要條件：其中由于這個(gè)方程是齊次的，它的特解是0，它的通解是它的余函數(shù)：[通解]