第2講推理能力課--特殊四邊形證明I.知識(shí)梳理（一）菱形1、定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．2、菱形的性質(zhì)：

①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；②菱形的四條邊都相等；

③菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；

④菱形是軸對(duì)稱圖形，它有2條對(duì)稱軸，分別是兩條對(duì)角線所在直線．3、菱形的面積計(jì)算①利用平行四邊形的面積公式．

②菱形面積=EQ\F(1,2)ab．（a、b是兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度）4、菱形的判定：①一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（平行四邊形+一組鄰邊相等=菱形）；②四條邊都相等的四邊形是菱形．③對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形（或“對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形”）．（二）矩形1、定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．2、矩形的性質(zhì)：

平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；角：矩形的四個(gè)角都是直角；

邊：鄰邊垂直；

對(duì)角線：矩形的對(duì)角線相等；

矩形是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形．3、由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角形的一個(gè)重要性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．4、矩形的判定：①有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；②有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；③對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形（或“對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形”）說(shuō)明：證明一個(gè)四邊形是矩形，若題設(shè)條件與這個(gè)四邊形的對(duì)角線有關(guān)，通常證這個(gè)四邊形的對(duì)角線相等．題設(shè)中出現(xiàn)多個(gè)直角或垂直時(shí)，常采用“三個(gè)角是直角的四邊形是矩形”來(lái)判定矩形．（三）正方形1、定義：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形．2、正方形的性質(zhì)：①正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角；②正方形的兩條對(duì)角線相等，互相垂直平分，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)．兩條對(duì)角線將正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形，正方形又是軸對(duì)稱圖形，有四條對(duì)稱軸．3、正方形的判定：①先判定四邊形是矩形，再判定這個(gè)矩形有一組鄰邊相等；②先判定四邊形是菱形，再判定這個(gè)菱形有一個(gè)角為直角．③還可以先判定四邊形是平行四邊形，再用1或2進(jìn)行判定．II.考點(diǎn)精講01.菱形的性質(zhì)與判定01.菱形的性質(zhì)與判定例題精講例題精講例1、如圖，四邊形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，則DH等于（）A． B． C．5 D．4【解析】A．例2、如圖，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分別是AB，AD的中點(diǎn)，DE、BF相交于點(diǎn)G，連接BD，CG．有下列結(jié)論：①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④S△ABD=AB2其中正確的結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解析】①由菱形的性質(zhì)可得△ABD、BDC是等邊三角形，∠DGB=∠GBE+∠GEB=30°+90°=120°，故①正確；②∵∠DCG=∠BCG=30°，DE⊥AB，∴可得DG=CG（30°角所對(duì)直角邊等于斜邊一半）、BG=CG，故可得出BG+DG=CG，即②也正確；③首先可得對(duì)應(yīng)邊BG≠FD，因?yàn)锽G=DG，DG＞FD，故可得△BDF不全等△CGB，即③錯(cuò)誤；④S△ABD=AB?DE=AB?BE=AB?AB=AB2，即④正確．綜上可得①②④正確，共3個(gè)．故選C．例3、如圖：在平行四邊形ABCD中，用直尺和圓規(guī)作∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E（尺規(guī)作圖的痕跡保留在圖中了），連接EF．（1）求證：四邊形ABEF為菱形；（2）AE，BF相交于點(diǎn)O，若BF=6，AB=5，求AE的長(zhǎng)．【解析】（1）證明：由尺規(guī)作∠BAF的角平分線的過(guò)程可得AB=AF，∠BAE=∠FAE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠FAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∴BE=FA，∴四邊形ABEF為平行四邊形，∵AB=AF，∴四邊形ABEF為菱形；（2）解：∵四邊形ABEF為菱形，∴AE⊥BF，BO=FB=3，AE=2AO，在Rt△AOB中，AO==4，∴AE=2AO=8．02.矩形的性質(zhì)與判定02.矩形的性質(zhì)與判定例題精講例題精講例1、矩形具有而菱形不具有的性質(zhì)是（）A．對(duì)角線相等 B．兩組對(duì)邊分別平行C．對(duì)角線互相平分 D．兩組對(duì)角分別相等【解析】A．例2、矩形ABCD中，AB=2，AD=1，點(diǎn)M在邊CD上，若AM平分∠DMB，則DM的長(zhǎng)是（）A． B． C． D．【解析】∵四邊形ABCD是矩形，∴CD=AB=2，AB∥CD，BC=AD=1，∠C=90°，∴∠BAM=∠AMD，∵AM平分∠DMB，∴∠AMD=∠AMB，∴∠BAM=∠AMB，∴BM=AB=2，∴CM===，∴DM=CD﹣CM=2﹣；故選：D．例3、如圖，在?ABCD中，∠ABD的平分線BE交AD于點(diǎn)E，∠CDB的平分線DF交BC于點(diǎn)F．（1）求證：△ABE≌△CDF；（2）若AB=DB，求證：四邊形DFBE是矩形．【解析】證明：（1）∵∠ABD的平分線BE交AD于點(diǎn)E，∴∠ABE=∠ABD，∵∠CDB的平分線DF交BC于點(diǎn)F，∴∠CDF=∠CDB，∵在平行四邊形ABCD中，∴AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，∴∠CDF=∠ABE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD=AB，∠A=∠C，即，∴△ABE≌△CDF（ASA）；（2）∵△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD=BC，∴DE∥BF，DE=BF，∴四邊形DFBE是平行四邊形，∵AB=DB，BE平分∠ABD，∴BE⊥AD，即∠DEB=90°．∴平行四邊形DFBE是矩形．03.正方形的性質(zhì)與判定03.正方形的性質(zhì)與判定例題精講例題精講例1、正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是（）A．對(duì)角線互相垂直 B．對(duì)角線相等C．對(duì)角線互相平分 D．對(duì)角相等【解析】B．例2、如圖，正方形AEFG的邊AE放置在正方形ABCD的對(duì)角線AC上，EF與CD交于點(diǎn)M，得四邊形AEMD，且兩正方形的邊長(zhǎng)均為2，則兩正方形重合部分（陰影部分）的面積為（）A．﹣4+4 B．4+4 C．8﹣4 D．+1【解析】∵四邊形ABCD是正方形，∴∠D=90°，∠ACD=45°，AD=CD=2，則S△ACD=AD?CD=×2×2=2；AC=AD=2，則EC=2﹣2，∵△MEC是等腰直角三角形，∴S△MEC=ME?EC=（2﹣2）2=6﹣4，∴陰影部分的面積=S△ACD﹣S△MEC=2﹣（6﹣4）=4﹣4．故選：A．例3、已知：如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，P，Q分別是正方形ABCD的四條邊上的點(diǎn)，且AF=BP=CQ=DE．求證：（1）EF=FP=PQ=QE；（2）四邊形EFPQ是正方形．【解析】證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，∵AF=BP=CQ=DE，∴DF=CE=BQ=AP，在△APF和△DFE和△CEQ和△BQP中，，∴△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP（SAS），∴EF=FP=PQ=QE；（2）∵EF=FP=PQ=QE，∴四邊形EFPQ是菱形，∵△APF≌△BQP，∴∠AFP=∠BPQ，∵∠AFP+∠APF=90°，∴∠APF+∠BPQ=90°，∴∠FPQ=90°，∴四邊形EFPQ是正方形．04.線段和最短問題04.線段和最短問題例題精講例題精講矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，4），D是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AB上，當(dāng)△CDE的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（）A．（3，1） B．（3，） C．（3，） D．（3，2）【解析】如圖，作點(diǎn)D關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)H，連接CH與AB的交點(diǎn)為E，此時(shí)△CDE的周長(zhǎng)最小．∵D（，0），A（3，0），∴H（，0），∴直線CH解析式為y=﹣x+4，∴x=3時(shí)，y=，∴點(diǎn)E坐標(biāo)（3，）故選：B．例2、已知菱形OABC在平面直角坐標(biāo)系的位置如圖所示，頂點(diǎn)A（5，0），OB=4，點(diǎn)P是對(duì)角線OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，D（0，1），當(dāng)CP+DP最短時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A．（0，0） B．（1，） C．（，） D．（，）【解析】如圖連接AC，AD，分別交OB于G、P，作BK⊥OA于K．∵四邊形OABC是菱形，∴AC⊥OB，GC=AG，OG=BG=2，A、C關(guān)于直線OB對(duì)稱，∴PC+PD=PA+PD=DA，∴此時(shí)PC+PD最短，在RT△AOG中，AG===，∴AC=2，∵OA?BK=?AC?OB，∴BK=4，AK==3，∴點(diǎn)B坐標(biāo)（8，4），∴直線OB解析式為y=x，直線AD解析式為y=﹣x+1，由解得，∴點(diǎn)P坐標(biāo)（，）．故選D．05.折疊問題05.折疊問題例題精講例題精講例1、如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為9，將正方形折疊，使頂點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)E處，折痕為GH．若BE：EC=2：1，則線段CH的長(zhǎng)是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解析】設(shè)CH=x，則DH=EH=9﹣x，∵BE：EC=2：1，BC=9，∴CE=BC=3，∴在Rt△ECH中，EH2=EC2+CH2，即（9﹣x）2=32+x2，解得：x=4，即CH=4．故選（B）．例2、如圖，把矩形ABCD沿對(duì)角線BD折疊使點(diǎn)C落在F處，BF交AD于點(diǎn)E．（1）求證：△BEA≌△DEF；（2）若AB=2，AD=4，求AE的長(zhǎng)．【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠A=∠C=90°，∵把矩形ABCD沿對(duì)角線BD折疊使點(diǎn)C落在F處，BF交AD于點(diǎn)E，∴DF=CD，∠F=∠C=90°，∴AB=FD，∠A=∠F，在△BEA和△DEF中∴△BEA≌△DEF（AAS）；（2）解：∵△BEA≌△DEF，∴BE=DE=AD﹣AE=4﹣AE，在Rt△BAE中，由勾股定理得：AB2+AE2=BE2，∴22+AE2=（4﹣AE）2，解得：AE=．舉一反三舉一反三1、下列性質(zhì)中，菱形對(duì)角線不具有的是（）A．對(duì)角線互相垂直 B．對(duì)角線所在直線是對(duì)稱軸C．對(duì)角線相等 D．對(duì)角線互相平分【解析】C．2、如圖，菱形ABCD的周長(zhǎng)為8cm，高AE的長(zhǎng)為cm，則對(duì)角線BD的長(zhǎng)為（）A．2cm B．3cm C．cm D．2cm【解析】如圖，設(shè)AC，BD相較于點(diǎn)O，∵菱形ABCD的周長(zhǎng)為8cm，∴AB=BC=2cm，∵高AE長(zhǎng)為cm，∴BE==1（cm），∴CE=BE=1cm，∴AC=AB=2cm，∴△ACB是等邊三角形，∴OA=1cm，AC⊥BD，∴OB==（cm），∴BD=2OB=2cm，故選：D．3、如圖，在菱形ABCD中，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．∠1=∠2 B．AC⊥BD C．AB=AD D．AC═BD【解析】D．4、如圖，把菱形ABCD沿AH折疊，使B點(diǎn)落在BC上的E點(diǎn)處，若∠B=70°，則∠EDC的大小為（）A．10° B．15° C．20° D．30°【解析】根據(jù)菱形的對(duì)角相等得∠ADC=∠B=70°．∵AD=AB=AE，∴∠AED=∠ADE．根據(jù)折疊得∠AEB=∠B=70°．∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB=70°，∴∠ADE=∠AED=（180°﹣∠DAE）÷2=55°．∴∠EDC=70°﹣55°=15°．故選B．5、如圖所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，則下面的結(jié)論：①△ODC是等邊三角形；②BC=2AB；③∠AOE=135°；④S△AOE=S△COE，其中正確結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解析】②錯(cuò)誤，故選C．6、如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，O是AD的中點(diǎn)，連接OB、OC，點(diǎn)E在線段BC上（點(diǎn)E不與點(diǎn)B、C重合），過(guò)點(diǎn)E作EM⊥OB于M，EN⊥OC于N，則EM+EN的值為（）A．6 B．1.5 C． D．【解析】連接OE，∵△OBE的面積+△OCE的面積=△OBC的面積，∴OB?EM+OC?EN=BC?AB，∴（EM+EN）×=×2×3，得：EM+EN=；故選D．7、如圖，P是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，則PA+PE的最小值是（）A． B． C． D．【解析】連接AC，EC，EC與BD交于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PE的最小，∵正方形ABCD中，AB=BC=1，E為AB中點(diǎn)，∴BE=，∴EC==，故選A．8、如圖，已知點(diǎn)E，F(xiàn)分別是?ABCD的邊BC，AD上的中點(diǎn)，且∠BAC=90°．（1）求證：四邊形AECF是菱形；（2）若∠B=30°，BC=10，求菱形AECF面積．【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，∴AE=BC=CE，同理，AF=AD=CF，∴AE=CE=AF=CF，∴四邊形AECF是菱形；（2）解：連接EF交AC于點(diǎn)O，如圖所示：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，BC=10，∴AC=BC=5，AB=AC=5，∵四邊形AECF是菱形，∴AC⊥EF，OA=OC，∴OE是△ABC的中位線，∴OE=AB=，∴EF=5，∴菱形AECF的面積=AC?EF=×5×5=．9、如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，點(diǎn)D在DG上，BC=1，CE=3，H是AF的中點(diǎn)，求CH的長(zhǎng)．【解析】∵正方形ABCD和正方形CEFG中，點(diǎn)D在CG上，BC=1，CE=3，∴AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，延長(zhǎng)AD交EF于M，連接AC、CF，則AM=BC+CE=1+3=4，F(xiàn)M=EF﹣AB=3﹣1=2，∠AMF=90°，∵四邊形ABCD和四邊形GCEF是正方形，∴∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°，∵H為AF的中點(diǎn)，∴CH=AF，在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF===2∴CH=AF=．直擊中考直擊中考1、下列說(shuō)法：①三角形的三條高一定都在三角形內(nèi)；②有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形；③有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；④兩邊及一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；⑤一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形；其中正確的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)【解析】正確的只有③，故選A．2、如圖，正方形ABCD的面積為1，則以相鄰兩邊中點(diǎn)連線EF為邊正方形EFGH的周長(zhǎng)為（）A． B．2 C．+1 D．2+1【解析】∵正方形ABCD的面積為1，∴BC=CD==1，∠BCD=90°，∵E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，∴CE=BC=，CF=CD=，∴CE=CF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴EF=CE=，∴正方形EFGH的周長(zhǎng)=4EF=4×=2；故選：B．3、如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，若增加一個(gè)條件，使?ABCD成為菱形，下列給出的條件不正確的是（）A．AB=AD B．AC⊥BD C．AC=BD D．∠BAC=∠DAC【解析】C．4、如圖，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠EDC：∠EDA=1：3，且AC=10，則DE的長(zhǎng)度是（）A．3 B．5 C． D．【解析】D．5、如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)E在AB邊上．四邊形EFGB也為正方形，設(shè)△AFC的面積為S，則（）A．S=2 B．S=2.4C．S=4 D．S與BE長(zhǎng)度有關(guān)【解析】連接FB∵四邊形EFGB為正方形；∴∠FBA=∠BAC=45°，∴FB∥AC；∴△ABC與△AFC是同底等高的三角形∴S=2；故選A6、在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AF∥BC交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）求證：△AEF≌△DEB；（2）證明四邊形ADCF是菱形；（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面積．【解析】（1）證明：①∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，∵E是AD的中點(diǎn)，AD是BC邊上的中線，∴AE=DE，BD=CD，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）；（2）證明：由（1）知，△AFE≌△DBE，則AF=DB．∵DB=DC，∴AF=CD．∵AF∥BC，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∵∠BAC=90°，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，∴AD=DC=BC，∴四邊形ADCF是菱形；（3）連接DF，∵AF∥BD，AF=BD，∴四邊形ABDF是平行四邊形，∴DF=AB=5，∵四邊形ADCF是菱形，∴S菱形ADCF=AC?DF=×4×5=10．課后鞏固課后鞏固1、在平面中，下列命題為真命題的是（）A．四邊相等的四邊形是正方形B．對(duì)角線相等的四邊形是菱形C．四個(gè)角相等的四邊形是矩形D．對(duì)角線互相垂直的四邊形是平行四邊形【解析】C．2、已知菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD的長(zhǎng)分別為6cm、8cm，則此菱形的面積為（）A．48cm2 B．24cm2 C．18cm2 D．12cm2【解析】B．3、如圖所示，菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，H為AD邊的中點(diǎn)，菱形ABCD的周長(zhǎng)為36，則OH的長(zhǎng)等于（）A．4.5 B．5 C．6 D．9【解析】∵四邊形ABCD為菱形，且周長(zhǎng)為36，∴AB=BC=CD=AD=9，又∵O為BD中點(diǎn)，H為AD的中點(diǎn)，∴OH為△ABD的中位線，∴OH=AB=4.5，故選A．4、已知菱形ABCD在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，∠DAO=30°，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2），動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→C→D→A→B→…的路線，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在菱形ABCD的邊上移動(dòng)，當(dāng)移動(dòng)到第2016秒時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A．（﹣2，0） B．（0，﹣2） C．（2，0） D．（0，2）【解析】在RT△AOD中，∵∠AOD=90°，∠DAO=30°，OD=2，∴AD=2OD=4，OA==2，∵點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為1米/秒，∴從點(diǎn)A到點(diǎn)B所需時(shí)間==4秒，∴沿A→B→C→D→A所需的時(shí)間=4×4=16秒．∵=126，∴移動(dòng)到第2016秒和第16秒的位置相同，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)