第第頁本資料分享自高中數學同步資源大全QQ群483122854專注收集同步資源期待你的加入與分享聯系QQ309000116加入百度網盤群2500G一線老師必備資料一鍵轉存，自動更新，一勞永逸重溫基礎，高考“七分靠實力，三分靠心態(tài)”——備戰(zhàn)2023年高考數學考前[必記知識][必會結論][易錯剖析]良好的心態(tài)是穩(wěn)定發(fā)揮乃至超常發(fā)揮的前提．考前這幾天，最明智的做法就是回歸基礎，鞏固基礎知識和基本能力；最有效的心態(tài)調節(jié)方法就是每天練一組基礎小題——做到保溫訓練手不涼，每天溫故一組基礎知識——做到胸中有糧心不慌．一集合與常用邏輯用語『必記知識』1．集合(1)集合的運算性質①A∪B＝A?B?A；②A∩B＝B?B?A；③A?B??UA??UB.(2)子集、真子集個數計算公式對于含有n個元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數依次為2n，2n－1，2n－1，2n－2.(3)集合運算中的常用方法若已知的集合是不等式的解集，用數軸求解；若已知的集合是點集，用數形結合法求解；若已知的集合是抽象集合，用Venn圖求解．數集自然數集N正整數集N*(或N＋)整數集Z有理數集Q實數集R2．含有一個量詞的命題的否定全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，如下所述：命題命題的否定?x∈M，p(x)?x∈M，?p(x)?x∈M，p(x)?x∈M，?p(x)[提醒]由于全稱量詞命題經常省略量詞，因此，在寫這類命題的否定時，應先確定其中的全稱量詞，再改寫量詞和否定結論．3．全稱量詞命題與存在量詞命題真假的判斷方法命題名稱真假判斷方法一判斷方法二全稱量詞命題真所有對象使命題真否定命題為假假存在一個對象使命題假否定命題為真存在量詞命題真存在一個對象使命題真否定命題為假假所有對象使命題假否定命題為真『必會結論』1．集合運算的重要結論(1)A∩B?A，A∩B?B；A?(A∪B)；B?(A∪B)，A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A；A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A.(2)若A?B，則A∩B＝A；反之，若A∩B＝A，則A?B.若A?B，則A∪B＝B；反之，若A∪B＝B，則A?B.(3)A∩(?UA)＝?，A∪(?UA)＝U，?U(?UA)＝A.(4)?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)．2．一些常見詞語的否定正面詞語否定正面詞語否定正面詞語否定等于(＝)不等于(≠)是不是任意的存在一個大于(>)不大于(小于或等于，即“≤”)都是不都是(至少有一個不是)所有的存在一個小于(<)不小于(大于或等于，即“≥”)至多有一個至少有兩個且或全為不全為至少有一個一個也沒有或且3.充分條件與必要條件的三種判定方法(1)定義法：正、反方向推理，若p?q，則p是q的充分條件(或q是p的必要條件)；若p?q，且qp，則p是q的充分不必要條件(或q是p的必要不充分條件)．(2)集合法：利用集合間的包含關系．例如，若A?B，則A是B的充分條件(B是A的必要條件)；若A＝B，則A是B的充要條件．(3)等價法：將命題等價轉化為另一個便于判斷真假的命題．『易錯剖析』易錯點1忽視集合中元素的互異性【突破點】求解集合中元素含有參數的問題，先根據其確定性列方程，求出值后，再根據其互異性檢驗．易錯點2未弄清集合的代表元素【突破點】集合的特性由元素體現，在解決集合的關系及運算時，要弄清集合的代表元素是什么．易錯點3遺忘空集【突破點】空集是一個特殊的集合，空集是任何非空集合的真子集，由于思維定式的原因，在解題中常遺忘這個集合，導致解題錯誤或解題不全面．易錯點4忽視不等式解集的端點值【突破點】進行集合運算時，可以借助數軸，要注意集合中的“端點元素”在運算時的“取”與“舍”．易錯點5對含有量詞的命題的否定不當【突破點】由于有的命題的全稱量詞往往可以省略不寫，從而在進行命題否定時易只否定全稱量詞命題的判斷詞，而不否定被省略的全稱量詞．『易錯快攻』易錯快攻一遺忘空集[典例1]設集合A＝{x|2≤x≤6}，B＝{x|2m≤x≤m＋3}，若B?A，則實數m的取值范圍是________．[聽課筆記]注意空集的特殊性．由于空集是任何集合的子集，因此，本題中B＝?時也滿足B?A.解含有參數的集合問題時，要注意含參數的所給集合可能是空集的情況．空集是一個特殊的集合，由于受思維定式影響，同學們往往在解題中易遺忘這個集合，導致解題錯誤或解題不全面．易錯快攻二對含有量詞的命題的否定不當[典例2]設命題p：?x<0，x2≥1，則?p為()A．?x≥0，x2<1B．?x<0，x2<1C．?x≥0，x2<1D．?x<0，x2<1[聽課筆記]本題易忽視對量詞的否定致錯．在對含有全稱量詞或存在量詞的命題進行否定時，要先對全稱量詞或存在量詞進行否定：全稱量詞的否定為存在量詞，存在量詞的否定為全稱量詞，然后對結論進行否定．簡記為：改量詞，否結論．二不等式『必記知識』1．一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步驟：一化(將二次項系數化為正數)；二判(判斷Δ的符號)；三解(解對應的一元二次方程)；四寫(大于取兩邊，小于取中間)．解含有參數的一元二次不等式一般要分類討論，往往從以下幾個方面來考慮：①二次項系數，它決定二次函數的開口方向；②判別式Δ，它決定根的情形，一般分Δ>0，Δ＝0，Δ<0三種情況；③在有根的條件下，要比較兩根的大?。?．一元二次不等式的恒成立問題(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的條件是a>0，Δ<0.(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的條件是3．分式不等式fxgx>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0)；fxgx[提醒](1)不等式兩端同時乘以一個數或同時除以一個數，不討論這個數的正負，從而出錯．(2)解形如一元二次不等式ax2＋bx＋c>0時，易忽視系數a的討論導致漏解或錯解，要注意分a>0，a<0進行討論．(3)應注意求解分式不等式時正確進行同解變形，不能把fxgx≤0直接轉化為f(x)·g(x)≤0，而忽視g(x4．利用基本不等式求最值(1)對于正數x，y，若積xy是定值p，則當x＝y時，和x＋y有最小值2p.(2)對于正數x，y，若和x＋y是定值s，則當x＝y時，積xy有最大值14s2(3)已知a，b，x，y∈R＋，若ax＋by＝1，則有1x+1y＝(ax＋by)·1x+1y＝a＋b＋byx+ax(4)已知a，b，x，y∈R＋，若ax+by＝1，則有x＋y＝(x＋y)·ax+by＝a＋b＋ayx+bx[提醒]利用基本不等式求最大值、最小值時應注意“一正、二定、三相等”，即：①所求式中的相關項必須是正數；②求積xy的最大值時，要看和x＋y是否為定值，求和x＋y的最小值時，要看積xy是否為定值，求解時，常用到“拆項”“湊項”等解題技巧；③當且僅當對應項相等時，才能取等號．以上三點應特別注意，缺一不可．『必會結論』解不等式恒成立問題的常用方法(1)若所求問題可以化為一元二次不等式，可以考慮使用判別式法求解，利用二次項系數的正負和判別式進行求解，若二次項系數含參數時，應對參數進行分類討論．(2)對于含參數的函數在閉區(qū)間上的函數值恒大于等于或小于等于零的問題，一般的轉化原理是：在閉區(qū)間D上，f(x)≥0恒成立?f(x)在區(qū)間D上的圖象在x軸上方或x軸上；f(x)≤0?f(x)在區(qū)間D上的圖象在x軸下方或x軸上．(3)對于含參數的函數在閉區(qū)間上的函數值恒大于等于或小于等于常數的問題，即“f(x)≥a”或“f(x)≤a”型不等式恒成立問題，通常利用函數最值進行轉化，其一般的轉化原理是：f(x)≥a在閉區(qū)間D上恒成立?f(x)min≥a(x∈D)；f(x)≤a在閉區(qū)間D上恒成立?f(x)max≤a(x∈D)．(4)分離參數法：將恒成立的不等式F(x，m)≥0(或≤0)(m為參數)中的參數m單獨分離出來，不等號一側是不含參數的函數，將問題轉化為求函數最值的問題，該方法主要適用于參數與變量能分離和函數的最值易于求出的題目，其一般轉化原理是：當m為參數時，g(m)≥f(x)(在閉區(qū)間D上恒成立)?g(m)≥f(x)max(x∈D)；g(m)≤f(x)(在閉區(qū)間D上恒成立)?g(m)≤f(x)min(x∈D)．『易錯剖析』易錯點1不能正確應用不等式性質【突破點】在使用不等式的基本性質進行推理論證時一定要注意前提條件，如不等式兩端同時乘以或同時除以一個數、式，兩個不等式相乘、一個不等式兩端同時n次方時，一定要注意使其能夠這樣做的條件．易錯點2忽視基本不等式應用的條件【突破點】(1)利用基本不等式a＋b≥2ab以及變式ab≤a+b22等求函數的最值時，務必注意a，b為正數(或a，(2)對形如y＝ax＋bx(a，b>0)的函數，在應用基本不等式求函數最值時，一定要注意ax，b易錯點3解不等式時轉化不等價【突破點】如求函數f(x)·gx≥0可轉化為f(x)·gx>0或f(x)·易錯點4解含參數的不等式時分類討論不當【突破點】解形如ax2＋bx＋c>0的不等式時，首先要考慮對x2的系數進行分類討論．當a＝0時是一次不等式，解的時候還要對b，c進一步分類討論；當a≠0且Δ>0時，不等式可化為a(x－x1)(x－x2)>0，再求解集．易錯點5不等式恒成立問題處理不當【突破點】應注意恒成立與存在性問題的區(qū)別，如對任意x∈[a，b]都有f(x)≤g(x)成立，即f(x)－g(x)≤0的恒成立問題，但對存在x∈[a，b]，使f(x)≤g(x)成立，則為存在性問題，可化為f(x)min≤g(x)max，應特別注意兩函數中的最大值與最小值的關系．『易錯快攻』易錯快攻一忽視基本不等式的應用條件[典例1]函數y＝ax＋1－3(a>0，a≠1)過定點A，若點A在直線mx＋ny＝－2(m>0，n>0)上，則1m+A．3B.22C．3+222[聽課筆記]應用基本不等式求最值時必須遵循“一正、二定、三相等”的順序．本題中求出m2＋n＝1后，若采用兩次基本不等式，有如下錯解m2＋n＝1≥2mn2，所以mn又1m+1n≥所以1m+1n此錯解中，①式取等號的條件是m2＝n，②式取等號的條件是1m＝1n即m＝n，兩式的等號不可能同時取得，所以22【方法點津】基本不等式加以引申，可得到如下結論：當a≥b>0時，a≥a2+b22≥a+b2≥ab≥21a+1b≥b，當且僅當a＝b時等號成立．其中稱a2+b2易錯快攻二解含參數的不等式時分類不當致誤[典例2]已知函數f(x)＝ax2－x＋a.(1)若?x>0，f(x)≥0恒成立，求實數a的取值范圍；(2)已知實數a∈R，解關于x的不等式f(x)≥0.[聽課筆記]解含參數的不等式時應注意的問題：(1)二次項系數中含有參數時，參數的符號影響不等式的解集，不要忽略二次項系數為零的情況；(2)解含參數的一元二次不等式，可先考慮因式分解，再對根的大小進行分類討論，若不能因式分解，則可對判別式進行分類討論，分類時要做到不重不漏；(3)不同參數范圍的解集不能取并集，應分類表述．三函數、導數『必記知識』1．函數的定義域和值域(1)求函數定義域的類型和相應方法①若已知函數的解析式，則函數的定義域是使解析式有意義的自變量的取值范圍．②若已知f(x)的定義域為[a，b]，則f(g(x))的定義域為不等式a≤g(x)≤b的解集；反之，已知f(g(x))的定義域為[a，b]，則f(x)的定義域為函數y＝g(x)(x∈[a，b])的值域．(2)常見函數的值域①一次函數y＝kx＋b(k≠0)的值域為R.②二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)：當a>0時，值域為4ac?b24a，+∞，當③反比例函數y＝kx(k≠0)的值域為{y∈R|y≠[提醒](1)解決函數問題時要注意函數的定義域，要樹立定義域優(yōu)先原則．(2)解決分段函數問題時，要注意與解析式對應的自變量的取值范圍．2．函數的奇偶性、周期性(1)奇偶性是函數在其定義域上的整體性質，對于定義域內的任意x(定義域關于原點對稱)，都有f(－x)＝－f(x)成立，則f(x)為奇函數(都有f(－x)＝f(x)成立，則f(x)為偶函數)．(2)周期性是函數在其定義域上的整體性質，一般地，對于函數f(x)，如果對于定義域內的任意一個x的值，若f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，則f(x)是周期函數，T是它的一個周期．[提醒]判斷函數的奇偶性，要注意定義域必須關于原點對稱，有時還要對函數式化簡整理，但必須注意使定義域不受影響．3．函數的單調性函數的單調性是函數在其定義域上的局部性質．①單調性的定義的等價形式：設x1，x2∈[a，b]，那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0?fx1?fx2x1?x2(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0?fx1?fx2x1?x2②若函數f(x)和g(x)都是減函數，則在公共定義域內，f(x)＋g(x)是減函數；若函數f(x)和g(x)都是增函數，則在公共定義域內，f(x)＋g(x)是增函數；根據同增異減判斷復合函數y＝f(g(x))的單調性．[提醒]求函數單調區(qū)間時，多個單調區(qū)間之間不能用符號“∪”和“或”連接，可用“與”連接或用“，”隔開．單調區(qū)間必須是“區(qū)間”，而不能用集合或不等式代替．4．指數函數與對數函數的基本性質(1)定點：y＝ax(a>0，且a≠1)恒過(0，1)點；y＝logax(a>0，且a≠1)恒過(1，0)點．(2)單調性：當a>1時，y＝ax在R上單調遞增；y＝logax在(0，＋∞)上單調遞增；當0<a<1時，y＝ax在R上單調遞減；y＝logax在(0，＋∞)上單調遞減．5．導數的幾何意義(1)f′(x0)的幾何意義：曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線的斜率，該切線的方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．(2)切點的兩大特征：①在曲線y＝f(x)上；②在切線上．6．利用導數研究函數的單調性(1)求可導函數單調區(qū)間的一般步驟①求函數f(x)的定義域；②求導函數f′(x)；③由f′(x)>0的解集確定函數f(x)的單調增區(qū)間，由f′(x)<0的解集確定函數f(x)的單調減區(qū)間．(2)由函數的單調性求參數的取值范圍①若可導函數f(x)在區(qū)間M上單調遞增，則f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可導函數f(x)在區(qū)間M上單調遞減，則f′(x)≤0(x∈M)恒成立(注意：等號不恒成立)；②若可導函數在某區(qū)間上存在單調遞增(減)區(qū)間，f′(x)>0(或f′(x)<0)在該區(qū)間上存在解集；③若已知f(x)在區(qū)間I上的單調性，區(qū)間I中含有參數時，可先求出f(x)的單調區(qū)間，則I是其單調區(qū)間的子集．[提醒]已知可導函數f(x)在(a，b)上單調遞增(減)，則f′(x)≥0(≤0)對?x∈(a，b)恒成立，不能漏掉“＝”，且需驗證“＝”不能恒成立；已知可導函數f(x)的單調遞增(減)區(qū)間為(a，b)，則f′(x)>0(<0)的解集為(a，b)．7．利用導數研究函數的極值與最值(1)求函數的極值的一般步驟①確定函數的定義域；②解方程f′(x)＝0；③判斷f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0兩側的符號變化；若左正右負，則x0為極大值點；若左負右正，則x0為極小值點；若不變號，則x0不是極值點．(2)求函數f(x)在區(qū)間[a，b]上的最值的一般步驟①求函數y＝f(x)在[a，b]內的極值；②比較函數y＝f(x)的各極值與端點處的函數值f(a)，f(b)的大小，最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．[提醒]f′(x)＝0的解不一定是函數f(x)的極值點．一定要檢驗在x＝x0的兩側f′(x)的符號是否發(fā)生變化，若變化，則為極值點；若不變化，則不是極值點．『必會結論』1．函數周期性的常見結論(1)若f(x＋a)＝f(x－a)(a≠0)，則函數f(x)的周期為2|a|；若f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，則函數f(x)的周期為2|a|.(2)若f(x＋a)＝－1fx(a≠0，f(x)≠0)，則函數f(x)的周期為2|a|；若f(x＋a)＝1fx(a≠0，f(x)≠0)，則函數f((3)若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，則函數f(x)的周期為|a－b|.(4)若函數f(x)的圖象關于直線x＝a與x＝b(a≠b)對稱，則函數f(x)的周期為2|b－a|.(5)若函數f(x)是偶函數，其圖象關于直線x＝a(a≠0)對稱，則函數f(x)的周期為2|a|.(6)若函數f(x)是奇函數，其圖象關于直線x＝a(a≠0)對稱，則函數f(x)的周期為4|a|.2．函數圖象的對稱性(1)若函數y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，則f(x)的圖象關于直線x＝a對稱；(2)若函數y＝f(x)滿足f(a＋x)＝－f(a－x)，即f(x)＝－f(2a－x)，則f(x)的圖象關于點(a，0)對稱；(3)若函數y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(b－x)，則函數f(x)的圖象關于直線x＝a+b23．三次函數的相關結論給定三次函數f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，求導得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c(a≠0)，則(1)當4(b2－3ac)>0時，f′(x)＝0有兩個實數解，即f(x)有兩個極值點；當4(b2－3ac)≤0時，f(x)無極值點．(2)若函數f(x)的圖象存在水平切線，則f′(x)＝0有實數解，從而4(b2－3ac)≥0.(3)若函數f(x)在R上單調遞增，則a>0且4(b2－3ac)≤0.『易錯剖析』易錯點1函數的單調區(qū)間理解不準確【突破點】對于函數的幾個不同的單調遞增(減)區(qū)間，切忌使用并集，只要指明這幾個區(qū)間是該函數的單調遞增(減)區(qū)間即可．易錯點2判斷函數的奇偶性時忽略定義域【突破點】一個函數具備奇偶性的必要條件是這個函數的定義域關于原點對稱，如果不具備這個條件，函數一定是非奇非偶函數．易錯點3用判別式求函數值域，忽視判別式存在的前提【突破點】(1)確保二次項前的系數不等于零．(2)確認函數的定義域沒有其他限制．(3)注意檢驗答案區(qū)間端點是否符合要求．易錯點4函數零點定理使用不當【突破點】只有函數f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)曲線，且有f(a)f(b)<0時，函數y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內才有零點，但f(a)f(b)>0時，不能否定函數y＝f(x)在(a，b)內有零點．易錯點5不清楚導數與極值的關系【突破點】(1)f′(x0)＝0只是可導函數f(x)在x0處取得極值的必要條件，即必須有這個條件，但只有這個條件還不夠，還要考慮f′(x)在x0兩側是否異號．(2)已知極值點求參數要進行檢驗．易錯點6混淆“切點”致誤【突破點】注意區(qū)分“過點A的切線方程”與“在點A處的切線方程”的不同．“在”說明這點就是切點，“過”只說明切線過這個點，這個點不一定是切點．易錯點7導數與單調性的關系理解不準確【突破點】(1)f′(x)>0(<0)(x∈(a，b))是f(x)在(a，b)上單調遞增(遞減)的充分不必要條件．(2)對可導函數f(x)在(a，b)上為單調增(減)函數的充要條件為：對于任意x∈(a，b)，有f(x)≥0(≤0)且f′(x)在(a，b)內的任何子區(qū)間上都不恒為零．若求單調區(qū)間，可用充分條件．若由單調性求參數，可用充要條件．即f′(x)≥0(或f(x)≤0)，否則容易漏解．『易錯快攻』易錯快攻一函數零點定理使用不當[典例1]設函數f(x)＝3x+1x≤0，log4xx>0，若關于x的方程f2(xA．(－23－2，23－2)B．23?2，32C．32，+∞[聽課筆記](1)F(g(x))＝0的根的個數問題的解題關鍵是正確轉化所給條件，其轉化思路為：先進行整體換元，將F(g(x))＝0轉化為方程F(t)＝0(t＝g(x))的根的個數問題，然后轉化為t＝g(x)的根的個數問題，再轉化為y＝t與y＝g(x)的圖象的交點個數問題．(2)“以形助數”是研究函數問題時常采用的策略，本題在作函數f(x)的圖象時，要注意指數函數3x>0.(3)由關于t的一元二次方程的實根分布情況得到關于a的不等式組是求解本題的一個關鍵點，注意一元二次方程的實根分布問題一般需要從一元二次方程根的判別式，對應二次函數在區(qū)間端點所取值的正負，對應二次函數圖象的對稱軸與區(qū)間端點的位置關系三方面考慮．易錯快攻二混淆“函數的單調區(qū)間”“函數在區(qū)間上單調”“函數存在單調區(qū)間”[典例2]設函數f(x)＝3x2+axex(1)若f(x)在x＝0處取得極值，確定a的值，并求此時曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；(2)若f(x)在[3，＋∞)上為減函數，求a的取值范圍．[聽課筆記](1)已知函數的單調性求參數的取值范圍問題的常用解法有兩種：一種是子區(qū)間法，即利用集合思想求解；另一種是恒成立法，即若函數f(x)在區(qū)間D上單調遞減，則f′(x)≤0在區(qū)間D上恒成立(且不恒等于0)．若函數f(x)在區(qū)間D上單調遞增，則f′(x)≥0在區(qū)間D上恒成立(且不恒等于0)．(2)求函數f(x)的單調遞減區(qū)間的方法是解不等式f′(x)<0，求函數f(x)的單調遞增區(qū)間的方法是解不等式f′(x)＞0.解題時極易混淆“函數的單調區(qū)間”與“函數在區(qū)間上單調”，一定要弄清題意，勿因“＝”出錯．四三角函數與平面向量『必記知識』1．誘導公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－απ2－π2＋正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口訣函數名不變，符號看象限函數名改變，符號看象限[提醒]奇變偶不變，符號看象限“奇、偶”指的是π2的倍數是奇數，還是偶數，“變與不變”指的是三角函數名稱的變化，“變”是指正弦變余弦(或余弦變正弦)．“符號看象限”的含義是：把角α看作銳角，看n·π2±α(n∈2．三種三角函數的性質函數y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象單調性在?(k∈Z)上單調遞增；在π(k∈Z)上單調遞減在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上單調遞增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上單調遞減在?(k∈Z)上單調遞增對稱性對稱中心：(kπ，0)(k∈Z)；對稱軸；x＝π2＋kπ(k∈Z對稱中心：π2+kπ，0(k∈對稱軸：x＝kπ(k∈Z)對稱中心：kπ2，0(k∈[提醒]求函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)的單調區(qū)間時，要注意A與ω的符號，當ω<0時，需把ω的符號化為正值后求解．3．三角函數圖象的變換由函數y＝sinx的圖象變換得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象的兩種方法[提醒]圖象變換的實質是點的坐標的變換，所以三角函數圖象的伸縮、平移變換可以利用兩個函數圖象上的特征點之間的對應確定變換的方式，一般選取離y軸最近的最高點或最低點，當然也可以選取在原點左側或右側的第一個對稱中心點，根據這些點的坐標即可確定變換的方式、平移的單位與方向等．4．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβcos(α±β)＝cosαcosβ?sinαsinβ.tan(α±β)＝tanαsin(α＋β)sin(α－β)＝sin2α－sin2β(平方正弦公式)．cos(α＋β)cos(α－β)＝cos2α－sin2β.5．二倍角、輔助角及半角公式(1)二倍角公式sin2α＝2sinαcosα.cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.tan2α＝2tan①1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2.②1－sin2α＝(sinα－cosα)2.(2)輔助角公式y＝asinx＋bcosx＝a2+b2(sinxcosφ＋cosxsinφ)＝a2+b2sin(x＋φ)，其中角φ的終邊所在象限由a，b的符號確定，角φ6．正、余弦定理及其變形定理正弦定理余弦定理內容asinA＝bsinBa2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝a2＋c2－2accosB；c2＝a2＋b2－2abcosC變形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA；(5)a+b+csinA+sincosA＝b2cosB＝c2cosC＝a[提醒]在已知兩邊和其中一邊的對角時，要注意檢驗解是否滿足“大邊對大角”，避免增解．7．平面向量數量積的坐標表示已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角．結論幾何表示坐標表示模|a|＝a|a|＝x數量積a·b＝|a||b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2夾角cosθ＝acosθ＝xa⊥b的充要條件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|與|a||b|的關系|a·b|≤|a||b|(當且僅當a∥b時等號成立)x[提醒](1)要特別注意零向量帶來的問題：0的模是0，方向任意，并不是沒有方向；0與任意非零向量平行．(2)a·b>0是〈a，b〉為銳角的必要不充分條件；a·b<0是〈a，b〉為鈍角的必要不充分條件．『必會結論』1．降冪、升冪公式(1)降冪公式①sin2α＝1?cos2α2；②cos2α＝1+cos2α2；③sinαcosα＝(2)升冪公式①1＋cosα＝2cos2α2；②1－cosα＝2sin2α2；③1＋sinα＝sinα2+cosα22．常見的輔助角結論(1)sinx±cosx＝2sinx±π4(2)cosx±sinx＝2cos(3)sinx±3cosx＝2sinx±π3(4)cosx±3sinx＝2cos(5)3sinx±cosx＝2sinx±π6(6)3cosx±sinx＝2cos『易錯剖析』易錯點1忽視零向量【突破點】零向量是向量中最特殊的向量，規(guī)定零向量的長度為0，其方向是任意的，零向量與任意向量都共線．易錯點2向量投影理解錯誤【突破點】把向量投影錯以為只是正數．事實上，向量a在向量b上的投影|a|cosθ是一個實數，可以是正數，可以是負數，也可以是零．易錯點3不清楚向量夾角范圍【突破點】數學試題中往往隱含著一些容易被考生所忽視的因素，能不能在解題時把這些因素考慮到，是解題成功的關鍵，如當a·b<0時，a與b的夾角不一定為鈍角，要注意隱含的情況．易錯點4忽視正、余弦函數的有界性【突破點】許多三角函數問題可以通過換元的方法轉化為代數問題解決，在換元時注意正、余弦函數的有界性．易錯點5忽視三角函數值對角的范圍的限制【突破點】在解決三角函數中的求值問題時，不僅要看已知條件中角的范圍，更重要的是注意挖掘隱含條件，根據三角函數值縮小角的范圍．易錯點6忽視解三角形中的細節(jié)問題【突破點】(1)解三角形時，不要忽視角的取值范圍．(2)由兩個角的正弦值相等求兩角關系時，注意不要忽視兩角互補的情況．(3)利用正弦定理、余弦定理判斷三角形形狀時，切忌出現漏解情況．易錯點7三角函數性質理解不透徹【突破點】(1)研究奇偶性時，忽視定義域的要求．(2)研究對稱性時，忽視y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)的對稱軸有無窮條、對稱中心有無數個．(3)研究周期性時，錯將y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)的周期寫成2πω易錯點8圖象變換方向或變換量把握不準確【突破點】圖象變換若先作周期變換，再作相位變換，應左(右)平移φω個單位．另外注意根據φ『易錯快攻』易錯快攻一忽視向量的夾角范圍致誤[典例1]已知向量a，b均為非零向量，(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，則a，b的夾角為()A．π6B．2π3C．π求解此類問題的關鍵是：根據向量的數量積定義，得到cos〈a，b〉＝a·ba易錯快攻二函數圖象平移的方向把握不準[典例2]將函數y＝sin(2x＋φ)的圖象沿x軸向左平移π6個單位長度后，得到一個偶函數的圖象，則φ的一個可能取值為A．π3B．π6[聽課筆記](1)函數y＝sinωx，ω>0的圖象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移φω個單位長度(“左加右減”)，得到y＝sin(ωx＋φ(2)解此類題時需要特別注意的地方有：①三角函數圖象變換的口訣為“左加右減，上加下減”；②自變量的系數在非“1”狀態(tài)下的“提取”技巧．五數列『必記知識』1．等差數列設Sn為等差數列{an}的前n項和，則(1)an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d，若p＋q＝m＋n，則ap＋aq＝am＋an.(2)ap＝q，aq＝p(p≠q)?ap＋q＝0；Sm＋n＝Sm＋Sn＋mnd.(3)Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…構成的數列是等差數列．(4)Snn＝d2n＋a1?(5)Sn＝na1+an2＝(6)若等差數列{an}的項數為偶數2m(m∈N*)，公差為d，所有奇數項之和為S奇，所有偶數項之和為S偶，則所有項之和S2m＝m(am＋am＋1)(am，am＋1為中間兩項)，S偶－S奇＝md，S偶S奇(7)若等差數列{an}的項數為奇數2m－1(m∈N*)，所有奇數項之和為S奇，所有偶數項之和為S偶，則所有項之和S2m－1＝(2m－1)am(am為中間項)，S奇＝mam，S偶＝(m－1)am，S奇－S偶＝am，S奇S偶(8)若Sm＝n，Sn＝m(m≠n)，則Sm＋n＝－(m＋n)．2．等比數列(1)an＝am·qn－m，an＋m＝anqm＝amqn(m，n∈N*)．(2)若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq；反之，不一定成立(m，n，p，q∈N*)．(3)a1a2a3…am，am＋1am＋2…a2m，a2m＋1a2m＋2…a3m，…成等比數列(m∈N*)．(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，Skn－S(k－1)n，…成等比數列(n≥2，且n∈N*)．(5)若等比數列的項數為2n(n∈N*)，公比為q，奇數項之和為S奇，偶數項之和為S偶，則S偶S奇(6){an}，{bn}成等比數列，則{λan}，1an，{anbn}，anbn成等比數列(λ≠0，(7)通項公式an＝a1qn－1＝a1q·qn，從函數的角度來看，它可以看作是一個常數與一個關于(8)與等差中項不同，只有同號的兩個數才能有等比中項；兩個同號的數的等比中項有兩個，它們互為相反數．(9)三個數成等比數列，通常設這三個數分別為xq，x，xq；四個數成等比數列，通常設這四個數分別為xq3，xq[提醒](1)如果數列{an}成等差數列，那么數列{A^〖a_〖n〗〗}(A(2)如果數列{an}成等比數列，且an>0，那么數列{logaan}(a>1且a≠1)必成等差數列．(3)如果數列{an}既成等差數列又成等比數列，那么數列{an}是非零常數列；數列{an}是常數列僅是數列{an}既成等差數列又成等比數列的必要不充分條件．(4)如果兩個等差數列有公共項，那么由它們的公共項順次組成的新數列也是等差數列，且新等差數列的公差是原來兩個等差數列的公差的最小公倍數．(5)如果由一個等差數列與一個等比數列的公共項順次組成一個新數列，那么常選用“由特殊到一般”的方法進行討論，且以等比數列的項為主，探求等比數列中哪些項是它們的公共項，從而分析構成什么樣的新數列．『必會結論』1．判斷數列單調性的方法(1)作差比較法：an＋1－an>0?數列{an}是遞增數列；an＋1－an<0?數列{an}是遞減數列；an＋1－an＝0?數列{an}是常數列．(2)作商比較法：①當an>0時，則an+1an>1?數列{an}是遞增數列；0<an+1an<1?數列{an}是遞減數列；an+1an＝1?數列{an}是常數列．②當an<0時，則an+1an>1?數列{an}是遞減數列；0<an+1(3)結合相應函數的圖象直觀判斷．2．數列中項的最值的求法(1)借用構造法求解：根據數列與函數之間的對應關系，構造函數f(n)＝an(n∈N*)，利用求解函數最值的方法進行求解即可，但要注意自變量的取值必須是正整數．(2)利用數列的單調性求解：利用不等式an＋1≥an(或an＋1≤an)求出n的取值范圍，從而確定數列單調性的變化，進而求出數列中項的最值．(3)轉化為關于n的不等式組求解：若求數列{an}的最大項，則可轉化為求解an≥an?1，an≥a3．求數列通項公式的常用方法(1)公式法：①等差數列的通項公式；②等比數列的通項公式．(2)已知Sn(a1＋a2＋…＋an＝Sn)，求an，用作差法：an＝S(3)已知a1·a2·…·an＝f(n)，an≠0，求an，用作商法：an＝f(4)已知an＋1－an＝f(n)，求an，用累加法：an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝f(n－1)＋f(n－2)＋…＋f(1)＋a1(n≥2)．(5)已知an+1an＝f(n)，求an，用累乘法：an＝anan?1·an?1an?2·…·a2a1·a1＝f(n－1)·f((6)構造等比數列法：若已知數列{an}中，an＋1＝pan＋q(p≠0，p≠1，q≠0)，a1≠q1?p，設存在非零常數λ，使得an＋1＋λ＝p(an＋λ)，其中λ＝qp?1，則數列an+qp?1就是以a1＋qp?1為首項，p(7)倒數法：若an＝man?1kan?1+b(mkb≠0，n≥2)，對an＝man?1kan?1+b取倒數，得到1an＝km·1+ban?1，即1an＝kbm·1an?1+km4．數列求和的常用方法(1)公式法：①等差數列的求和公式；②等比數列的求和公式；③常用公式，即1＋2＋3＋…＋n＝12n(n＋1)，12＋22＋32＋…＋n2＝16n(n＋1)(2n＋1)，1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，n∈N(2)分組求和法：當直接運用公式法求和有困難時，常將“和式”中的“同類項”先合并在一起，再運用公式法求和．(3)倒序相加法：在數列求和中，若和式中到首尾距離相等的兩項的和有共性，則?？紤]選用倒序相加法進行求和．(4)錯位相減法：如果數列的通項是由一個等差數列的通項與一個等比數列的通項相乘構成的，那么常選用錯位相減法將其和轉化為“一個新的等比數列的和”，從而進行求解．(5)裂項相消法：如果數列的通項可分裂成“兩項差”的形式，且相鄰項分裂后相關聯，那么常選用裂項相消法求和．常用的裂項形式有①1nn+1＝1②1nn+k＝③1k2<1k2?1＝121k?1?1k+1，④1nn+1n+2『易錯剖析』易錯點1數列中的最值錯誤【突破點】在關于正整數n的二次函數中取最值的要點：根據正整數距離二次函數的對稱軸的遠近而定．易錯點2不清楚an與Sn的關系【突破點】已知數列{an}的前n項和Sn，求an時，利用an＝Sn—Sn－1，需注意分n＝1和n≥2兩種情況討論．易錯點3不清楚裂項和拆項的規(guī)律，導致多項或少項【突破點】“裂項法”的特點：①分式的每個分子相同，分母都是兩個(或三個)代數式相乘，若不具備就需要轉化；②剩余項一般是前后對稱．常見形式有：an易錯點4忽視對等比數列中公比的分類討論【突破點】在解決等比數列{an}的前n項和時，通常只想到Sn＝a11?qn1?q『易錯快攻』易錯快攻一忽視對n＝1的檢驗致錯[典例1]已知數列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，當n≥2時，2Sn＝(n＋1)an－2.(1)求a2，a3和通項an；(2)設數列{bn}滿足bn＝an·2n－1，求{bn}的前n項和Tn.[聽課筆記]數列{an}中，由Sn與an的等量關系式求an時，先利用a1＝S1求出首項a1，然后用n－1替換等量關系式中的n，得到一個新的等量關系式，再利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，便可求出當n≥2時an的表達式，最后對n＝1時的結果進行檢驗，看是否符合n≥2時an的表達式，若符合，則可以把數列{an}的通項合寫，若不符合，則應該分n＝1與n≥2兩段來寫．而an－an－1＝d(n≥2)與an＋1－an＝d(n∈N*)等價，anan?1＝q(n≥2)與an+1an＝q(n易錯快攻二忽視公比q的取值[典例2]已知數列{an}的前n項和Sn＝Aqn＋B(q≠0)，則“A＝－B”是“數列{an}是等比數列”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件[聽課筆記]

a(1)等比數列{an}的前n項和公式Sn＝n特別注意q＝1時，Sn＝na1這一特殊情況．(2)計算過程中，若出現方程qn＝t，要看qn中的n是奇數還是偶數，若n是奇數，則q＝nt；若n是偶數，則t>0時，q＝±nt，t六立體幾何『必記知識』1．空間幾何體的表面積和體積幾何體側面積表面積體積圓柱S側＝2πrlS表＝2πr(r＋l)V＝S底h＝πr2h圓錐S側＝πrlS表＝πr(r＋l)V＝13S底h＝13πr圓臺S側＝π(r＋r′)lS表＝π(r2＋r′2＋rl＋r′l)V＝13(S上＋S下＋S上S下)h＝13π(r2＋r′直棱柱S側＝Ch(C為底面周長)S表＝S側＋S上＋S下(棱錐的S上＝0)V＝S底h正棱錐S側＝12Ch′(C為底面周長，hV＝13S底正棱臺S側＝12(C＋C′)h′(C，C′分別為上、下底面周長，hV＝13(S上＋S下＋S上球S＝4πR2V＝43πR2.空間線面位置關系的證明方法(1)線線平行：a?βa∥αα∩β=b?a∥b，a⊥αα∥βα∩γ=aβ∩γ=b?a∥b，a∥(2)線面平行：a∥bb?αa?α?a∥α，α∥βa?β?a∥(3)面面平行：a?α，b?αa∩b=Oa∥β，b∥β?α∥β，a(4)線線垂直：a⊥αb?α?a(5)線面垂直：a?α，b?αa∩b=Olα∥βa⊥α?a⊥β，a∥ba(6)面面垂直：a?βa⊥α?α⊥β，a∥β[提醒]要注意空間線面平行與垂直關系中的判定定理和性質定理中的條件．如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易誤得出m⊥β的結論，就是因為忽視面面垂直的性質定理中m?α3．用空間向量證明平行垂直設直線l的方向向量為a＝(a1，b1，c1)，平面α、β的法向量分別為μ＝(a2，b2，c2)，υ＝(a3，b3，c3)．則有：(1)線面平行l(wèi)∥α?a⊥μ?a·μ＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.(2)線面垂直l⊥α?a∥μ?a＝kμ?a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.(3)面面平行α∥β?μ∥υ?μ＝λυ?a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3.(4)面面垂直α⊥β?μ⊥υ?μ·υ＝0?a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.4．用向量求空間角(1)直線l1，l2的夾角θ有cosθ＝|cos〈l1，l2〉|(其中l(wèi)1，l2分別是直線l1，l2的方向向量)．(2)直線l與平面α的夾角θ有sinθ＝|cos〈l，n〉|(其中l(wèi)是直線l的方向向量，n是平面α的法向量)．(3)平面α，β的夾角θ有cosθ＝|cos〈n1，n2〉|，則α－l－β二面角的平面角為θ或π－θ(其中n1，n2分別是平面α，β的法向量)．[提醒]在處理實際問題時，要注意異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的取值范圍，要根據具體圖形確定二面角的平面角是銳角還是鈍角．『必會結論』1．平行、垂直關系的轉化示意圖2．球的組合體(1)球與長方體的組合體：長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長．(2)球與正方體的組合體：正方體的內切球的直徑是正方體的棱長，正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線長，正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長．(3)球與正四面體的組合體：棱長為a的正四面體的內切球的半徑為612a(正四面體高63a的14)，外接球的半徑為64a(正四面體高6『易錯剖析』易錯點1隨意推廣平面幾何中的結論【突破點】平面幾何中有些概念和性質，推廣到空間中不一定成立．例如“過直線外一點只能作一條直線與已知直線垂直”“垂直于同一條直線的兩條直線平行”等性質在空間中就不成立．易錯點2不清楚空間點、線、面的位置關系【突破點】解決這類問題的基本思路有兩個：一是逐個尋找反例作出否定的判斷或逐個進行邏輯證明作出肯定的判斷；二是結合長方體模型或實際空間位置(如課桌、教室)作出判斷，要注意定理應用準確、考慮問題全面細致．易錯點3表面積的計算不準確【突破點】在求表面積時還要注意空間物體是不是中空的，表面積與側面積要認真區(qū)分．易錯點4對折疊與展開問題認識不清致誤【突破點】注意折疊或展開過程中平面圖形與空間圖形中的變量與不變量，不僅要注意哪些變了，哪些沒變，還要注意位置關系的變化．『易錯快攻』易錯快攻忽視平面圖形翻折前后的顯性關系[典例]如圖，四邊形ABCD為梯形，AD∥BC，BM⊥AD于M，CN⊥AD于N，∠A＝45°，AD＝4BC＝4，AB＝2，現沿CN將△CDN折起使△ADN為正三角形，且平面ADN⊥平面ABCN，過BM的平面與線段DN、DC分別交于E，F.(1)求證：EF⊥DA；(2)在棱DN上(不含端點)是否存在點E，使得直線DB與平面BMEF所成角的正弦值為34，若存在，請確定E[聽課筆記](1)注意建立空間直角坐標系時，要說明相交于一點的三線互相垂直，不要忽視對三線垂直的證明，同時要抓住翻折后圖形中不變的量與變化的量及其關系．(2)求解二面角時，要注意結合圖形對二面角的范圍進行判斷，即判斷是銳二面角還是鈍二面角，不要直接給出二面角的大小或余弦值．七解析幾何『必記知識』1．直線方程的五種形式(1)點斜式：y－y1＝k(x－x1)(直線過點P1(x1，y1)，且斜率為k，不包括y軸和平行于y軸的直線)．(2)斜截式：y＝kx＋b(b為直線l在y軸上的截距，且斜率為k，不包括y軸和平行于y軸的直線)．(3)兩點式：y?y1y2?y1＝x?x1x2?x1(直線過點P1(x1，y1)，P2(x2，y(4)截距式：xa+yb＝1(a，b分別為直線的橫、縱截距，且a≠0，b(5)一般式：Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同時為0)．2．直線的兩種位置關系當不重合的兩條直線l1和l2的斜率存在時：(1)兩直線平行l(wèi)1∥l2?k1＝k2.(2)兩直線垂直l1⊥l2?k1·k2＝－1.[提醒]當一條直線的斜率為0，另一條直線的斜率不存在時，兩直線也垂直，此種情形易忽略．3．三種距離公式(1)A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點間的距離|AB|＝x2(2)點到直線的距離d＝Ax0+By0+CA2+B2(其中點P(x0(3)兩平行線間的距離d＝C2?C1A2+B2(其中兩平行線方程分別為l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋[提醒]應用兩平行線間距離公式時，注意兩平行線方程中x，y的系數應對應相等．4．圓的方程的兩種形式(1)圓的標準方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)圓的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．5．直線與圓、圓與圓的位置關系(1)直線與圓的位置關系：相交、相切、相離，代數判斷法與幾何判斷法．(2)圓與圓的位置關系：相交、內切、外切、外離、內含，代數判斷法與幾何判斷法．6．橢圓的標準方程及幾何性質標準方程x2a2+yy2a2+x圖形幾何性質范圍－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a對稱性對稱軸：x軸，y軸；對稱中心：原點焦點F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)頂點A1(－a，0)，A2(a，0)；B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)；B1(－b，0)，B2(b，0)軸線段A1A2，B1B2分別是橢圓的長軸和短軸；長軸長為2a，短軸長為2b焦距|F1F2|＝2c離心率焦距與長軸長的比值：e∈(0，1)a，b，c的關系c2＝a2－b2[提醒]橢圓的離心率反映了焦點遠離中心的程度，e的大小決定了橢圓的形狀，反映了橢圓的圓扁程度．因為a2＝b2＋c2，所以ba＝1?e2，因此，當e越趨近于1時，ba越趨近于0，橢圓越扁；當e越趨近于0時，ba越趨近于1，橢圓越接近于圓．所以e越大橢圓越扁；e越小橢圓越圓，當且僅當a＝b，c＝0時，橢圓變?yōu)閳A，方程為x2＋y2＝7．雙曲線的標準方程及幾何性質標準方程x2a2?yy2a2?x圖形幾何性質范圍|x|≥a，y∈R|y|≥a，x∈R對稱性對稱軸：x軸，y軸；對稱中心：原點焦點F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)頂點A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)軸線段A1A2，B1B2分別是雙曲線的實軸和虛軸；實軸長為2a，虛軸長為2b焦距|F1F2|＝2c離心率焦距與實軸長的比值：e∈(1，＋∞)漸近線y＝±bay＝±aba，b，c的關系a2＝c2－b2[提醒](1)離心率e的取值范圍為(1，＋∞)．當e越接近于1時，雙曲線開口越??；當e越接近于＋∞時，雙曲線開口越大．(2)滿足||PF1|－|PF2||＝2a的點P的軌跡不一定是雙曲線，當2a＝0時，點P的軌跡是線段F1F2的中垂線；當0<2a<|F1F2|時，點P的軌跡是雙曲線；當2a＝|F1F2|時，點P的軌跡是兩條射線；當2a>|F1F2|時，點P的軌跡不存在．8．拋物線的標準方程及幾何性質標準方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)圖形幾何性質對稱軸x軸y軸頂點O(0，0)焦點FpF?F0，F0，?準線方程x＝－px＝py＝－py＝p范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R離心率e＝1『必會結論』1．與圓的切線有關的結論(1)過圓x2＋y2＝r2上一點P(x0，y0)的切線方程為x0x＋y0y＝r2；(2)過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點P(x0，y0)的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；(3)過圓x2＋y2＝r2外一點P(x0，y0)作圓的兩條切線，切點為A，B，則過A，B兩點的直線方程為x0x＋y0y＝r2；(4)過圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一點P(x0，y0)引圓的切線，切點為T，則|PT|＝x0(5)過圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)外一點P(x0，y0)作圓C的兩條切線，切點分別為A，B，則切點弦AB所在的直線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；(6)若圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，則過圓外一點P(x0，y0)的切線長d＝x02．橢圓中焦點三角形的相關結論由橢圓上一點與兩焦點所構成的三角形稱為焦點三角形．解決焦點三角形問題常利用橢圓的定義和正、余弦定理．在橢圓x2a2+y2b2＝1(a>b>0)上一點P(x0，y0)(y0≠0)和焦點F1(－c，0)，F2(c，0)為頂點的△PF1F2中，若(1)|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0(焦半徑公式)，|PF1|＋|PF2|＝2a.(e為橢圓的離心率)(2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cosθ.3S△PF1F2＝12|PF1||PF2|·sinθ＝b2tanθ2＝c|y0|，當|y0|＝(4)焦點三角形的周長為2(a＋c)．3．雙曲線的方程與漸近線方程的關系(1)若雙曲線的方程為x2a2?y2b2＝1(a>0，b(2)若漸近線的方程為y＝±bax(a>0，b>0)，即xa±yb＝0，則雙曲線的方程可設為x2a2(3)若所求雙曲線與雙曲線x2a2?y2b2＝1(a>0，b>0)有公共漸近線，其方程可設為x2a24．雙曲線常用的結論(1)雙曲線的焦點到其漸近線的距離為b.(2)若P是雙曲線右支上一點，F1，F2分別為雙曲線的左、右焦點，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.(3)同支的焦點弦中最短的為通徑(過焦點且垂直于長軸的弦)，其長為2b2a(4)P是雙曲線上不同于實軸兩端點A、B的任意一點，F1，F2分別為雙曲線的左、右焦點，則kPA·kPB＝b2a2，S△PF1F2＝(5)P是雙曲線x2a2?y2b2＝1(a>0，b>0)右支上不同于實軸端點的任意一點，F1，F2分別為雙曲線的左、右焦點，I為△PF5．拋物線焦點弦的相關結論設AB是過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α為直線AB的傾斜角，則(1)焦半徑|AF|＝x1＋p2＝p1?cosα，|BF|＝x2＋(2)x1x2＝p24，y1y2＝－p(3)弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin(4)1FA+1(5)以弦AB為直徑的圓與準線相切．(6)S△OAB＝p22sinα(『易錯剖析』易錯點1遺漏方程表示圓的充要條件【突破點】二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是D2＋E2－4F>0，在此條件下，再根據其他條件求解．易錯點2解決截距問題忽略“0”的情形【突破點】解決直線在兩坐標軸上的截距或截距具有某種倍數關系的問題時，需注意兩點：(1)截距不是距離，直線在坐標軸上的截距可正、可負、也可為0.(2)明確直線方程的截距式不能表示過原點或與坐標軸垂直的直線．因此解題時應該從截距是否為0進行分類討論．易錯點3不清楚直線的傾斜角與斜率關系【突破點】在解決由直線的斜率求其傾斜角的范圍問題時，先求出直線的斜率k的取值范圍，再利用三角函數y＝tanx的單調性，借助函數的圖象，確定傾斜角的范圍．易錯點4忽視斜率不存在的情況【突破點】(1)在解決兩直線平行的相關問題時，若利用l1∥l2?k1＝k2求解，忽略k1，k2不存在的情況，就會導致漏解．(2)對于解決兩直線垂直的相關問題時，若利用l1⊥l2?k1·k2＝－1求解，要注意其前提條件是k1與k2必須同時存在．易錯點5忽略直線與圓錐曲線相交問題中的判別式【突破點】凡是涉及直線與圓錐曲線位置關系的問題，一定不能忘記對判別式的討論．易錯點6忽視雙曲線定義中的條件【突破點】雙曲線的定義中，有兩點是缺一不可的：其一，絕對值；其二，2a<|F1F2|.如果不滿足第一個條件，動點到兩定點的距離之差為常數，而不是差的絕對值為常數，那么其軌跡只能是雙曲線的一支．易錯點7忽視圓錐曲線定義中的焦點位置【突破點】橢圓的焦點位置由分母的大小確定，雙曲線則是根據二次項系數的符號來確定的．解決此類問題時，一定要將方程化為曲線的標準形式．易錯點8忽視特殊性誤判直線與圓錐曲線位置關系【突破點】在直線與圓錐曲線的位置關系中，拋物線和雙曲線都有特殊情況，在解題時要注意，不要忘記其特殊性．『易錯快攻』易錯快攻一遺漏直線的斜率不存在的情況[典例1]已知橢圓M：x2a2+y23＝1(a>0)的一個焦點為F(－1，0)，左、右頂點分別為A，B，經過點F的直線l(1)求橢圓M的方程；(2)記△ABD與△ABC的面積分別為S1和S2，求|S1－S2|的最大值．[聽課筆記](1)當直線l的斜率不存在時，可設直線方程為x＝－1；當直線l的斜率存在(顯然k≠0)時，可設直線方程為y＝k(x＋1)(k≠0)．求解時一定要分直線l的斜率不存在與直線l的斜率存在兩種情況作答，缺少任何一種情況，步驟都是不完整的．(2)本題可將直線方程巧設為x＝my－1，用含m的式子表示出|S1－S2|，并求出其最大值．顯然，此法無需考慮直線的斜率是否存在，是解決此類問題的最佳選擇．易錯快攻二忽視雙曲線定義中的限制條件[典例2]點P到曲線E上所有點的距離的最小值稱為點P到曲線E的距離，那么平面內到定圓C的距離與到圓C外的定點A的距離相等的點P的軌跡是()A．射線B．橢圓C．雙曲線的一支D．雙曲線[聽課筆記]認為到兩定點距離之差等于常數的點的軌跡一律是雙曲線往往是錯誤的，一定要注意雙曲線的定義中的限制條件，尤其是定義中“差的絕對值”這一條件．【技巧點撥】雙曲線的定義的數學表達式為||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)，注意當|PF1|－|PF2|＝2a或|PF2|－|PF1|＝2a時，動點軌跡為以F1，F2為焦點的雙曲線的一支；當2a＝|F1F2|時，動點軌跡為分別以F1，F2為端點的兩條射線(包括端點)；當2a>|F1F2|時，動點軌跡不存在．八概率與統計『必記知識』1．分類加法計數原理完成一件事，可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種方法，在第二類辦法中有m2種方法，…，在第n類辦法中有mn種方法，那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種方法(也稱加法原理)．2．分步乘法計數原理完成一件事需要經過n個步驟，缺一不可，做第一步有m1種方法，做第二步有m2種方法，…，做第n步有mn種方法，那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種方法(也稱乘法原理)．3．排列數、組合數公式及其相關性質(1)排列數公式Anm＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！n?m！m≤n，m，n∈N?，Ann＝n！＝n([提醒](1)在這個公式中m，n∈N*，且m≤n，并且規(guī)定0?。?，當m＝n時，Anm2Anm＝n！n?m！(2)組合數公式Cnm＝AnmAmm＝nn?1n?2…[提醒](1)公式Cnm＝n！m！n?m！(2)組合數的性質Cnm＝Cnn?mm≤n，n，m∈N?(3)排列數與組合數的聯系An4．二項式定理(a＋b)n＝Cn0an+Cn1an?1b1+…+Cnkan?kbk+…+Cnnbn(n∈N*).這個公式叫做二項式定理，右邊的多項式叫做(a＋b)n的二項展開式，其中各項的系數Cnk(k＝0，1，2，…，n)叫做二項式系數．式中的Cnkan－kbk叫做二項展開式的通項，用T5．二項展開式形式上的特點(1)項數為n＋1.(2)各項的次數都等于二項式的冪指數n，即a與b的指數的和為n.(3)字母a按降冪排列，從第一項開始，次數由n逐項減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項起，次數由零逐項增1直到n.(4)二項式的系數從Cn[提醒]對于二項式定理應用時要注意(1)區(qū)別“項的系數”與“二項式系數”，審題時要仔細．項的系數與a，b有關，可正可負，二項式系數只與n有關，恒為正．(2)運用通項求展開的一些特殊項，通常都是由題意列方程求出k，再求所需的某項；有時需先求n，計算時要注意n和k的取值范圍及它們之間的大小關系．(3)賦值法求展開式中的系數和或部分系數和，常賦的值為0，±1.(4)在化簡求值時，注意二項式定理的逆用，要用整體思想看待a，b.6．概率的計算公式(1)古典概型的概率公式P(A)＝事件A包含的基本事件數m基本事件總數n(2)互斥事件的概率計算公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；(3)對立事件的概率計算公式P(A)＝1－P(A)；7．統計中四個數據特征(1)眾數：在樣本數據中，出現次數最多的那個數據；(2)中位數：在樣本數據中，將數據按大小排列，位于最中間的數據．如果數據的個數為偶數，就取中間兩個數據的平均數作為中位數；(3)平均數：樣本數據的算術平均數，即x＝1n(x1＋x2＋…＋xn(4)方差與標準差方差：s2＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2標準差：s＝1n8．二項分布(1)相互獨立事件的概率運算①事件A，B相互獨立?P(AB)＝P(A)P(B)．②若事件A1，A2，…，An相互獨立，則這些事件同時發(fā)生的概率等于每個事件發(fā)生的概率的積，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．③事件A，B相互獨立，則A和B，A與B，A與(2)條件概率P(B|A)＝PAB①0≤P(B|A)≤1.②若B和C是兩個互斥事件，則P(B∪CA＝P(B|A)＋P(C|A③若A，B相互獨立，則P(B|A)＝P(B)．(3)二項分布(伯努利分布）ξ～B(n，p)如果在每次試驗中某事件發(fā)生的概率是p，那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率是P(ξ＝k)＝Cnkpkqn－k，其中k＝0，1，…，n，q＝1－p，于是得到隨機變量ξ01…k…nPCn0p0qCn1p1q…Cnkpkqn…Cnnpn我們稱這樣的隨機變量ξ服從二項分布，記作ξ～B(n，p)，其中n，p為參數，并稱p為成功概率．（4）超幾何分布在含有M件次品的N件產品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件{X＝k}發(fā)生的概率為P(X＝k)＝CMkCN?Mn?kCNn，k＝m，m+1，m+2，…，r，其中r＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N9．正態(tài)分布X～N(μ，σ2)(1)正態(tài)分布的定義及表示如果對于任何實數a，b(a＜b)，隨機變量X滿足P(a＜X≤b)＝abφμ，σ(x)dx(即直線x＝a，直線x＝b，正態(tài)曲線及x軸圍成的曲邊梯形的面積)，則稱隨機變量X服從正態(tài)分布，記作X～N(μ，σ2(2)正態(tài)曲線的特點①曲線位于x軸上方，與x軸不相交．②曲線是單峰的，它關于直線x＝μ對稱．③曲線在x＝μ處達到峰值1σ2π.④曲⑤當σ一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移．⑥當μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．[提醒]P(X≤a)＝1－P(X＞a)；P(X≤μ－a)＝P(X≥μ＋a)；P(a＜X＜b)＝P(X＜b)－P(X≤a)．『必會結論』1．求解排列問題常用的方法直接法把符合條件的排列數直接列式計算優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置捆綁法相鄰問題捆綁處理，即可以把相鄰元素看作一個整體與其他元素進行排列，同時注意捆綁元素的內部排列插空法不相鄰問題插空處理，即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素的排列產生的空中先整體，后局部“小集團”排列問題中，先整體，后局部除法對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列間接法正難則反，等價轉化的方法2.二項式系數的性質(1)對稱性：在二項展開式中與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等，即Cnm＝(2)增減性與最大值：二項式系數Cnk，當k＜n+12時，二項式系數逐漸增大；當k＞n+1(3)各二項式系數的和：(a＋b)n的展開式的各個二項式系數的和等于2n，即Cn0+Cn1+…＋(4)奇數項的二項式系數之和等于偶數項的二項式系數之和，即Cn0+Cn2＋…＝Cn1+3．均值與方差的性質結論(1)均值的性質結論①E(k)＝k(k為常數)②E(aX＋b)＝aE(X)＋b③E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．(2)方差的相關性質結論①D(k)＝0(k為常數)②D(aX＋b)＝a2D(X)③D(X)＝E(X2)－[E(X)]2.(3)兩點分布與二項分布的均值與方差①若隨機變量X服從兩點分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．②若隨機變量X服從二項分布，即X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．③若隨機變量X服從超幾何分布，即X～H(N，n，M)，設則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)『易錯剖析』易錯點1對統計圖表中的概念理解不清，識圖不準確【突破點】求解統計圖表問題，重要的是認真觀察圖表，發(fā)現有用信息和數據．對于頻率分布直方圖，應注意圖中的每一個小矩形的面積是落在該區(qū)間上的頻率，所有小矩形的面積和為1，當小矩形等高時，說明頻率相等，計算時不要漏掉其中一個．易錯點2對等可能事件認識不清致誤【突破點】解與等可能事件相關的題目時，由于對等可能性事件的基本事件構成理解不清，往往計算基本事件或多或少或所劃分事件根本不等可能性，從而導致失誤．易錯點3對抽樣概念把握不準【突破點】解決隨機抽樣問題時，造成失分原因是分層中不明確有幾層，計算比例時找不準比例關系．在學習時應熟練掌握各種抽樣方法的步驟，注意系統抽樣中各段入樣的個體編號成等差數列，公差即每段的個體數．『易錯快攻』易錯快攻用頻率分布直方圖解題時誤把縱軸當作頻率[典例]沃爾瑪超市為了了解某分店的銷售情況，在該分店的電腦小票中隨機抽取200張進行統計，將小票上的消費金額(單位：元)分成6組，分別是[0，100)，[100，200)，[200，300)，[300，400)，[400，500)，[500，600]，制成如圖所示的頻率分布直方圖(假設抽到的消費金額均在[0，600]內)．(1)求消費金額在[300，600]內的小票張數；(2)為做好2020“雙十二”促銷活動，該分店設計了兩種不同的促銷方案．方案一：全場商品打八五折．方案二：全場購物滿100元減20元，滿300元減80元，滿500元減120元，以上減免只取最高優(yōu)惠，不重復減免．利用頻率分布直方圖中的信息，分析哪種方案優(yōu)惠力度更大，并說明理由．此類以頻率分布直方圖為背景的方案決策型問題的易錯點有兩處：一是觀圖算頻率出錯，需注意頻率分布直方圖的縱軸表示的是“頻率組距”；二是求平均數出錯，即利用頻率分布直方圖估計重溫基礎，高考“七分靠實力，三分靠心態(tài)”（參考答案）一集合與常用邏輯用語[典例1]答案：[1，＋∞)解析：①當B≠?時，則有2m≤m+3，2m≥2，②當B＝?時，2m>m＋3，解得m>3.綜合①②，得m≥1，故實數m的取值范圍是[1，＋∞).[典例2答案：B]解析：因為存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，所以應先將存在量詞改成全稱量詞，然后否定結論即可，所以命題p：?x<0，x2≥1的否定是?x<0，x2<1，故選B.二不等式[典例1]答案：C解析：易知函數y＝ax＋1－3過定點A(－1，－2)．因為點A在直線mx＋ny＝－2(m>0，n>0)上，所以－m－2n＝－2，即m2＋n所以1m+1n＝1m+1nm2+n＝32+m[典例2]解析：(1)若?x>0，ax2－x＋a≥0即a≥xx2+1恒成立，則只需滿足a≥x令h(x)＝xx2+1(x>0)，則h(x)＝xx2故實數a的取值范圍是12(2)不等式f(x)≥0即ax2－x＋a≥0，①當a＝0時，f(x)≥0即－x≥0，此時f(x)≥0的解集為(－∞，0].②當a≠0時，函數f(x)＝ax2－x＋a的圖象的對稱軸為直線x＝12a，令ax2－x＋a＝0，則Δ＝1?4(ⅰ)當a<－12時，Δ<0，此時f(x)≥0的解集為?(ⅱ)當a＝－12時，Δ＝0，此時f(x)≥0的解集為1(ⅲ)當－12<a<0時，Δ>0，函數f(x)的零點為x0＝1±1?4a22a，此時f(x(ⅳ)當0<a<12時，Δ>0，函數f(x)的零點為x0＝1±1?4a22a，此時f(x)≥(ⅴ)當a≥12時，Δ≤0，此時f(x)≥0的解集為R綜上，當a<－12時，f(x)≥0的解集為?；當a＝－12時，f(x)≥0的解集為{－1}；當－12<a<0時，f(x)≥0的解集為1+1?4a22a，1?1?4a22a；當a＝0時，f(x)≥0的解集為(－∞，0]；當0<a<12時，f(x)≥0的解集為?∞，三函數、導數[典例1]解析：由題意可知，當x≤0時，1<f(x)≤2，f(x)單調遞增；當x>0時，f(x)≥0，f(x)在(0，1]上單調遞減，在[1，＋∞)上單調遞增．作出函數f(x)的圖象，如圖所示．設t＝f(x)，則關于t的方程t2－(a＋2)t＋3＝0有兩個不同的實數根，且t∈(1，