-1-第2講函數(shù)的單調(diào)性及最值理解函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義，會(huì)判斷一些簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性；理解函數(shù)最大(小)值的概念及其幾何意義

-1-基礎(chǔ)自查1．函數(shù)單調(diào)性的概念一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)锳，區(qū)間I?A，如果對(duì)于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個(gè)值x1，x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有

，那么就說(shuō)y＝f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增函數(shù)，I稱為y＝f(x)的．如果對(duì)于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個(gè)值x1，x2，當(dāng)

x1<x2時(shí)，都有

，那么就說(shuō)y＝f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)減函數(shù)，I稱為y

＝f(x)的．f(x1)<f(x2)單調(diào)增區(qū)間f(x1)>f(x2)單調(diào)減區(qū)間-1-2．單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù)，那么就說(shuō)函數(shù)y＝

f(x)在區(qū)間I上具有

，單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間統(tǒng)稱為．3．函數(shù)的最值一般地，設(shè)y＝f(x)的定義域?yàn)锳，如果存在x0∈A，使得對(duì)任意的x∈A，都有

，那么稱f(x0)為y＝f(x)的最大值，記為ymax＝f(x0)；如果存在x0∈A，使得對(duì)于任意的x∈A，都有

，那么稱f(x0)為y＝f(x)的最小值，記為ymin＝f(x0)．單調(diào)性單調(diào)區(qū)間f(x)≤f(x0)f(x)≥f(x0)-1-聯(lián)動(dòng)思考想一想：若函數(shù)f(x)的最小值為a，最大值為b，函數(shù)的值域是[a，b]嗎？答案：不一定．如f(x)＝x2(x∈{0,1,2,3})的最小值為0，最大值為9，它的值域?yàn)閧0,1,4,9}不是[0,9]．議一議：函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增與函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[a，b]含義相同嗎？答案：含義不同．f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增并不能排除f(x)在其他區(qū)間單調(diào)遞增，而f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[a，b]意味著f(x)在其他區(qū)間不可能單調(diào)遞增．-1-聯(lián)動(dòng)體驗(yàn)1．(2010·江蘇鹽城)函數(shù)f(x)＝lg(x2－3x)的單調(diào)遞增區(qū)間是________．解析：由x2－3x>0得x<0或x>3.而x2－3x在(3，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)

的單調(diào)遞增區(qū)間為(3，＋∞)．答案：(3，＋∞)2．下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,2)上為增函數(shù)的是________．①y＝－x＋1；②y＝；③y＝x2－4x＋5；④y＝.

解析：y＝－x＋1在R上遞減；y＝在R＋上遞增；y＝x2－4x＋5在(－∞，2]

上遞減，在[2，＋∞)上遞增，y＝在R＋上遞減．答案：②-1-3．(2010·徐州一中高三月考)已知f(x)為R上的減函數(shù)，則滿足f<f(1)的實(shí)數(shù)

x的取值范圍是________．解析：由已知條件：>1，不等式等價(jià)于，解得－1<x<1，且x≠0.

答案：(－1,0)∪(0,1)4．(2010·鎮(zhèn)江調(diào)研)若函數(shù)f(x)＝x2＋(a2－4a＋1)x＋2在區(qū)間(－∞，1]上是減函數(shù)，則a的取值范圍是________．解析：∵f(x)是二次函數(shù)且開(kāi)口向上，∴要使f(x)在(－∞，1]上是單調(diào)遞減函數(shù)，則必有－≥1，即a2－4a＋3≤0，解得1≤a≤3.

答案：[1,3]5．函數(shù)y＝1－的增區(qū)間為_(kāi)___________．解析：函數(shù)圖象如圖所示，由圖知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，1)和

(1，＋∞)．答案：(－∞，1)和(1，＋∞)-1-考向一函數(shù)單調(diào)性的判定-1--1-反思感悟：善于總結(jié)，養(yǎng)成習(xí)慣用定義證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟

(1)取值：即設(shè)x1，x2是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值，且x1<x2.(2)作差：即f(x2)－f(x1)(或f(x1)－f(x2))，并通過(guò)通分、配方、因式分解等方法，向有利于判斷差的符號(hào)的方向變形．

(3)定號(hào)：根據(jù)給定的區(qū)間和x2－x1的符號(hào)，確定差f(x2)－f(x1)(或f(x1)－

f(x2))的符號(hào)．當(dāng)符號(hào)不確定時(shí)，可以進(jìn)行分類討論．

(4)判斷：根據(jù)定義得出結(jié)論．遷移發(fā)散1．判斷函數(shù)f(x)＝lg(x2－2x)的單調(diào)性．解：由x2－2x>0得x>2或x<0，所以函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(2，＋∞)．∵x2－2x在(－∞，0)上為單調(diào)減函數(shù)，∴f(x)＝lg(x2－2x)在(－∞，0)上為單調(diào)減函數(shù)；∵x2－2x在(2，＋∞)上為單調(diào)增函數(shù)，∴f(x)＝lg(x2－2x)在(2，＋∞)上為單調(diào)增函數(shù)．-1-考向二函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【例2】求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并指出其增減性．(1)y＝

(a>0且a≠1)；(2)y＝(4x－x2)．解：(1)令t＝1－x2，則t＝1－x2的遞減區(qū)間是[0，＋∞)，遞增區(qū)間是(－∞，0]．又當(dāng)a>1時(shí)，y＝at在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)；當(dāng)0<a<1時(shí)，y＝at在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)．∴當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是[0，＋∞)，單調(diào)增區(qū)間是(－∞，0]；當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間(－∞，0]，單調(diào)增區(qū)間是[0，＋∞)．(2)由4x－x2>0，得函數(shù)的定義域是(0,4)．令t＝4x－x2，∵t＝4x－x2＝－(x－2)2＋4，∴t＝4x－x2的遞減區(qū)間是[2,4)，遞增區(qū)間是(0,2]．又y＝logt在(0，＋∞)上是減函數(shù)，∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是(0,2]，單調(diào)增區(qū)間是[2,4)．-1-反思感悟：善于總結(jié)，養(yǎng)成習(xí)慣求函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間的方法：(1)利用已知函數(shù)的單調(diào)性．(2)定義法：先求定義域，再利用單調(diào)性定義．(3)圖象法：如果f(x)是以圖象形式給出的，或者f(x)的圖象易作出，可由圖象的直觀性寫出它的單調(diào)區(qū)間．(4)導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)數(shù)取值的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．遷移發(fā)散2．已知函數(shù)f(x)＝ax＋(a>1)．證明：函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)．證明：方法一：任取x1，x2∈(－1，＋∞)，不妨設(shè)x1<x2，則x2－x1>0，ax2－x1>1且ax1>0，∴ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)>0，又∵x1＋1>0，x2＋1>0，∴

于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋－>0，故函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)．`-1-方法二：f(x)＝ax＋1－(a>1)，求導(dǎo)數(shù)得f′(x)＝ax1na＋，∵a>1，∴當(dāng)x>－1時(shí)，ax1na>0，>0，∴f′(x)>0在(－1，＋∞)上恒成立，則f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)．方法三：∵a>1，∴y＝ax為增函數(shù)，又y＝＝1＋，在(－1，＋∞)上也是增函數(shù)．∴y＝ax＋在(－1，＋∞)上為增函數(shù)．-1-考向三利用單調(diào)性求最值-1-反思感悟：善于總結(jié)，養(yǎng)成習(xí)慣如函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，就可以判明它的值域?yàn)閇f(a)，f(b)]，且f(a)為其最小值，f(b)為其最大值．如在(a，b)內(nèi)單調(diào)遞增，其值域即為(f(a)，f(b))，且不存在最值．可見(jiàn)函數(shù)單調(diào)性在確定函數(shù)的值域和最值時(shí)，是有很大作用的．-1-課堂總結(jié)感悟提升1．單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子集，研究單調(diào)性，先求定義域再確是