#/13《不等式選講》歷年高考真題專項(xiàng)突破整理人：毛錦濤命題角度1.含有絕對(duì)值不等式的解法.已知函數(shù)f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(I)當(dāng)a=-2時(shí)，求不等式f(x)<g(x)的解集；(II)設(shè)a>-1,且當(dāng)太毛［―g,白)時(shí)，f(x)Wg(x),求a的取值范圍..已知函數(shù)f(x)=|x+a|+|x-2|(1)當(dāng)a=-3時(shí)，求不等式f(x)三3的解集；(2)若f(x)W|x-4|的解集包含［1,2］,求a的取值范圍..設(shè)函數(shù)f(x)=|x-a|+3x,其中a>0.(I)當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f(x)三3x+2的解集(II)若不等式f(x)W0的解集為{x|xW-1},求a的值..已知函數(shù)f(x)=|2x-a|+a.(1)當(dāng)a=2時(shí)，求不等式f(x)W6的解集；(2)設(shè)函數(shù)g(x)=|2x-1|,當(dāng)x￡R時(shí)，f(x)+g(x)三3,求a的取值范圍..已知函數(shù)f(x)=|x-2|-|x-5|.(1)證明：-3Wf(x)W3；(2)求不等式f(x)三x2-8x+15的解集.命題角度2.含有絕對(duì)值的函數(shù)的圖像與應(yīng)用.已知函數(shù)f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.(I)當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f(x)>1的解集；(II)若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6,求a的取值范圍..設(shè)函數(shù)f(x)=|2x-4|+1.(I)畫出函數(shù)y=f(x)的圖象：(II)若不等式f(x)Wax的解集非空，求a的取值范圍..已知函數(shù)f(x)=|x+11-|2x-3|.(I)在圖中畫出y=f(x)的圖象；(口)求不等式|f(x)|>1的解集.11o1命題角度3.不等式的證明與最值.設(shè)函數(shù)f(x)=|x+—|+|x-a|(a>0).a(I)證明：f(x)三2；(II)若f(3)<5,求a的取值范圍..若a>0,b>0,且LU』,ab(I)求a3+b3的最小值；(II)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并說明理由..設(shè)a,b,c,d均為正數(shù)，且a+b=c+d,證明：(1)若ab>cd,則V^+V^>VZ+Ji;(2)一口+.b>-c+.d是|a-b|<|c-d|的充要條件..設(shè)a,b,c均為正數(shù)，且a+b+c=1,證明：(I)如4|>小白&《方2,2 2(II)夫+“一邑"?bca.已知函數(shù)f(x)=|x--k|+|x+l|,M為不等式f(x)<2的解集.2 2(I)求M；(II)證明：當(dāng)a,b￡M時(shí)，|a+b|<|1+ab|..設(shè)a>0,|x-1|<3,|y-2|<3，求證：|2x+y-4|<a..若函數(shù)f(x)=|x+1|+2k—?的最小值為5,則實(shí)數(shù)a=..已知a>0,b>0,c>0,函數(shù)f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值為4.(1)求a+b+c的值；(2)求-La2+-Lb2+c2的最小值.(柯西不等式)4 9.已知關(guān)于x的不等式X+a\<b的解集為{x\2<x<4}.(I)求實(shí)數(shù)a,b的值；(ii)求、;aF+而的最大值.(柯西不等式)2017年03月30日小毛的高中數(shù)學(xué)組卷

參考答案與試題解析一.解答題(共13小題)(2013?新課標(biāo)I)(選修4-5：不等式選講)已知函數(shù)f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(I)當(dāng)a=-2時(shí)，求不等式f(x)<g(x)的解集；(II)設(shè)a>-1,且當(dāng)上)時(shí)，f(x)Wg(x),求a的取值范圍.【解答】解：(I)當(dāng)a=-2時(shí)，求不等式f(x)<g(x)化為|2x-1|+|2x-2|-x-3<0.一5耳JK<-.—設(shè)廠|2x-l|+|2x-2|-x-3,則y=r-z,工<耳<「它的圖象如圖所示:結(jié)合圖象可得，y<0的解集為(0,2),故原不等式的解集為(0,2).(II)設(shè)a>-1,且當(dāng)工正[-4,時(shí)，f(x)=1+a,不等式化為1+aWx+3,故x*-2對(duì)比r-1,差)都成立.故一白泊-2,解得故a的取值范圍為(-1,-1].2 3 3(2012?新課標(biāo))已知函數(shù)f(x)=|x+a|+|x-2|(1)當(dāng)a=-3時(shí)，求不等式f(x)三3的解集；(2)若f(x)W|x-4|的解集包含［1,2］,求a的取值范圍.【解答】解：(1)當(dāng)a=-3時(shí)，f(x)三3即|x-3|+|x-2|三3,即①卜《2 ，［3-肝2r>3或②2a<3［3-算+工-2?3或③［正-3+工-2》3解①可得xW1,解②可得x￡。，解③可得xN4.把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集為{x|xW1或xN4}.(2)原命題即f(x)W|x-4|在［1,2］上恒成立，等價(jià)于|x+a|+2-xW4-x在［1,2］上恒成立，等價(jià)于|x+a|W2,等價(jià)于-2Wx+aW2,-2-xWaW2-x在［1,2］上恒成立.故當(dāng)1WxW2時(shí)，-2-x的最大值為-2-1=-3,2-x的最小值為0,故a的取值范圍為［-3,0］.(2011?新課標(biāo))設(shè)函數(shù)f(x)=|x-a|+3x,其中a>0.(I)當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f(x)三3x+2的解集(II)若不等式f(x)W0的解集為{x|xW-1},求a的值.【解答】解：(I)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)三3x+2可化為|x-1|三2.由此可得xN3或xW-1.故不等式f(x)三3x+2的解集為{x|x三3或xW-1}.(II)由f(x)W0得|x-a|+3xW0此不等式化為不等式組s>a餐或'E4a-鼠-同+3工&0［a-y+0即,已或上m產(chǎn)了產(chǎn)下因?yàn)閍>0,所以不等式組的解集為{x|x=<」L}2由題設(shè)可得-0=-1,故a=22(2016?新課標(biāo)HI)已知函數(shù)f(x)=|2x-a|+a.(1)當(dāng)a=2時(shí)，求不等式f(x)W6的解集；(2)設(shè)函數(shù)g(x)=|2x-1|,當(dāng)x￡R時(shí)，f(x)+g(x)三3,求a的取值范圍.【解答】解：(1)當(dāng)a=2時(shí)，f(x)=|2x-2|+2,Vf(x)W6,，|2x-2|+2W6,|2x-2|W4,|x-1|W2,??-2Wx-1W2,解得-1WxW3,??不等式f(x)W6的解集為{x|-1WxW3}.(2)Vg(x)=|2x-1|,'?f(x)+g(x)=|2x-1|+|2x-a|+a三3,2|x-—|+2|x-亙|+a三3,TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2 2Ix-L+ix-m三芝m2 2 2當(dāng)aN3時(shí)，成立，當(dāng)a<3時(shí)，|x-l|+|x-l|^lza->0,2 2 2 2?.(a-1)2三(3-a)2,解得2Wa<3,,a的取值范圍是［2,+8).(2011?遼寧)選修4-5：不等式選講已知函數(shù)f(x)=|x-2|-|x-5|.(1)證明：-3Wf(x)W3；(2)求不等式f(x)三x2-8x+15的解集.'-3j耳02【解答】解：(1)f(x)=|x-2|-|x-5|=ZlT,2<y<5.當(dāng)2Vx<5時(shí)，-3<2x-7<3.所以-3Wf(x)W3.(2)由(1)可知，當(dāng)xW2時(shí)，f(x)三x2-8x+15的解集為空集；當(dāng)2cx<5時(shí)，f(x)三X2-8x+15的解集為｛x|5-近Wx<5｝；當(dāng)xN5時(shí)，f(x)三x2-8x+15的解集為｛x|5WxW6｝.綜上，不等式f(x)三X2-8x+15的解集為｛x|5-如WxW6｝.(2015?新課標(biāo)I)已知函數(shù)f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.(I)當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f(x)>1的解集；(II)若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6,求a的取值范圍.【解答】解：(I)當(dāng)a=1時(shí)，不等式f(x)>1,即|x+1|-2|x-1|>1,即上<_L①，或②，-2(1-y)^>1 ［冥+1-2(1-篁)》1或K>1-4③.解①求得x￡。，解②求得2Vx<1,解③求得1Wx<2.3綜上可得，原不等式的解集為(2,2).3〃耳T-2社，(II)函數(shù)f(x)=|x+11-2|x-a|=3x+l-2a, &一冗+1+2社，富〉己由此求得f(x)的圖象與X軸的交點(diǎn)A(在工，0),3B(2a+1,0),故f(x)的圖象與x軸圍成的三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)C(a,a+1),由4ABC的面積大于6,可得L［2a+1-電工］?(a+1)>6,求得a>2.2 3故要求的a的范圍為(2,+8).

(2010?新課標(biāo))設(shè)函數(shù)f(x)=|2x-4|+1.(I)畫出函數(shù)y=f(x)的圖象：(II)若不等式f(x)Wax的解集非空，求a的取值范圍.f-Qy.-LU：又<7【解答】解：(I)由于f(X)=7上口-3,函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示.(II)由函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=ax的圖象可知，極小值在點(diǎn)(2,1)當(dāng)且僅當(dāng)a<-2或a^L時(shí)，函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=ax的圖象有交點(diǎn).2故不等式f(x)Wax的解集非空時(shí)，a的取值范圍為(-8,-2)U[1,+8).2(2014?新課標(biāo)H)設(shè)函數(shù)f(x)=|x+l|+|x-a|(a>0).a

(I)證明：f(X)三2；(II)若f(3)<5,求a的取值范圍.【解答】解：(I)證明：f(x)=|x+X|+|x-a|^|(x+l)-(x-a)|=|a+-L|=a+-1^2%,J_=2故不等式f(x)三2成立.(IDVf(3)=|3+±|+|3-a|<5???當(dāng)a>3時(shí)，不等式即a+L<5,即a2-5a+l<0,解得3<a(2返La 2當(dāng)0<aW3時(shí)，不等式即6-a+l<5,即a?-a-l>0,求得±5區(qū)<aW3.a 2綜上可得，a的取值范圍(+55+2).(2014?新課標(biāo)I)若a>0,b>0,且L+J_=也正.(I)求a3+b3的最小值;(II)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并說明理由.【解答】解:【解答】解:Va>0,b>0,且J-+U..五.^=1+1^2JL,???abN2abVab當(dāng)且僅當(dāng)a=b=舊時(shí)取等號(hào).Va3+b3三2.虱及三2審二4不，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=.可時(shí)取等號(hào)，???a3+b3的最小值為4?巧.(II)???2a+3bN2;云加=2］而，當(dāng)且僅當(dāng)2a=3b時(shí)，取等號(hào).而由(1)可知，2；而三2；!豆=4.印>6,故不存在a,b,使得2a+3b=6成立.(2015?新課標(biāo)I)設(shè)a,b,c,d均為正數(shù)，且a+b=c+d,證明:(1)若ab>cd,則.才.b>.c+,：：d；一己+.b>_c+.d是|a-b|<|c-d|的充要條件.證明：(1)由于(.>.D2=a+b+2］五，(一匚+.d)2=c+d+2.cd，由a,b,c,d均為正數(shù)，且a+b=c+d,ab>cd,則一ab>,；’,即有(一己+.b)2>(c+'Jd)2，則-3+.b>.c+.d；(2)①若4則2>(Vc+Vd)2,即為a+b+2jxb>c+d+2Mcd，由a+b=c+d,則ab>cd,于是(a-b)2=(a+b)2-4ab,(c-d)2=(c+d)2-4cd,即有(a-b)2<(c-d)2,即為|a-b|<|c-d|；②若|a-b|<|c-d|,則(a-b)2<(c-d)2,即有(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd,由a+b=c+d,則ab>cd,則有(一0+.b)2>(.c+-d)2.綜上可得，.看大〉工+.1是|a-b|<|c-d|的充要條件.（2013?新課標(biāo)H）【選修4--5；不等式選講】設(shè)a,b,c均為正數(shù)，且a+b+c=1,證明:(II)(II)【解答】證明：（I）由a2+b2三2ab,b2+c2三2bc,c2+a2三2ca得:a2+b2+c2三ab+bc+ca,由題設(shè)得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1,所以3(ab+bc+ca)W1,即ab+bc+caW2.3TOC\o"1-5"\h\z2 ,2 2(II)因?yàn)榍摇?bN2a,-"+cN2b,"+aN2c,b c a2.2 2 2.2 2+——+——+(a+b+c)三2(a+b+c),1P-^—+——+——三a+b+c.bca bcaTOC\o"1-5"\h\z2,2 2所以葭+L+JN1.bca(2016?新課標(biāo)H)已知函數(shù)f(x)=|x-l|+|x+l|,M為不等式f(x)<22 2的解集.(I)求M；(II)證明：當(dāng)a,b￡M時(shí)，|a+b|<|1+ab|.【解答】解：(I)當(dāng)x<二時(shí)，不等式f(x)<2可化為：l-x-x-±<2,2 2 2解得：x>-1,???-l<x<9，當(dāng)上WxWL時(shí)，不等式f(x)<2可化為：l-x+x+l=1<2,2 2 2 2此時(shí)不等式恒成立，」WxwL,2 2當(dāng)x>工時(shí)，不等式f(x)<2可化為：-_L+x+x+L<2,2 2 2解得：x<1,.\!_<x<1,綜上可得：M=(-1,1)；證明：(II)當(dāng)a,b￡M時(shí)，(a2-1)(b2-1)>0,即a2b2+1>a2+b2,即a2b2+1+2ab>a2+b2+2ab,1P(ab+1)2〉(a+b)2,即|a+b|<|1+ab|.(2015?福建)已知a>0,b>0,c>0,函數(shù)f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值為4.(1)求a+b+c的值；(2)求_La2+_Lb2+c2的最小值.4 9【解答】解：(1)因?yàn)閒(x)=|x+a|+|x-b|+c三|(