5濾波是信號處理的一種根本而重要的技術3章中利用FFT轉換方法，最終介紹MATLAB中的模擬濾波器并通過應用實例進展說明。濾波器的根本概念濾波原理5-1所示的線性時不變系統(tǒng)，其時域輸入和輸出關系為：y(n)=x(n)h(n) 〔5-1〕h(n)x(n) y(n)h(n)

5-1線性時不變系統(tǒng)示意圖 換在，為Xej 和Ye，則輸入和輸出的關系為：〔5-2〕

x(n)Fourier變換的振幅X

5-2的上圖表示，系統(tǒng)幅頻響應Hej可用圖5-2的中圖表示，則濾波器的輸出y(n的頻譜Rej可表示為圖5-2的以下圖。圖5-2 濾波器濾波示意圖這樣，x(n)通過系統(tǒng)h(n)的結果是使輸出y(n)的頻率成分，而使cc

的成分“不失真”地給以通過。因此設計出不同外形的H

可以得到不同的濾波結果。假設濾波器的輸入、輸出都是離散時間信號，那么該濾波器的脈沖響應h(n)也必定是離散的。我們稱這樣的濾波器為數(shù)字濾波器digitalfilte器時，所需的元件是延遲器、乘法器和加法器。當在計算機上用軟件實現(xiàn)時，它就是一段線放大器等。濾波器的分類濾波器的種類很多，分類方法也不同，如可以從功能上分，也可以從實現(xiàn)方法上分，或典濾波器是假定輸入信號x(n)中的有用成分和期望去除的成分各自占有不同的頻帶，如圖5-2x(n)通過一個線性系統(tǒng)〔即濾波器〕〔又稱時間序列計出，那么估量出的信號將比原信號有更高的信噪比。本課程側重于經(jīng)典濾波器。經(jīng)典濾波器從功能上總的可分為四種，即低通lowpas、高通highpas、帶通bandpas、帶阻bandsto〕濾波器，固然每一種又有模擬濾波器和數(shù)字濾波器兩種5-35-4是在某些準則下對抱負濾波器的近似，這保證了濾波器在物理上是可實現(xiàn)的，且是穩(wěn)定的。圖5-3 抱負模擬濾波器幅頻響應圖5-4 抱負數(shù)字濾波器的幅頻響應圖5-35-4的抱負濾波器在物理上是不行實現(xiàn)的。不行實現(xiàn)的根本緣由是從一個15.2我們要介紹這種容限。模擬濾波器的設計原理信號無失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件所謂信號無失真?zhèn)鬏斒侵篙斎胄盘柾ㄟ^系統(tǒng)后輸出信號的幅值和輸入信號的幅值成正比。允許有肯定的延時，但沒有波形上的畸變。因此，系統(tǒng)的頻率響應H(j )滿足下面的特性：

Hjkd

(5-3)式中，k,t均為常數(shù)。d系統(tǒng)的幅頻響應|H

j

|應為常數(shù)，相頻響應H

j應與頻率成比例?；蛘哒f，濾波器應具有無限寬的定值幅頻與線性相頻。通常定義群延遲(Groupdelay)為信號系統(tǒng)的延遲時間，即：

t dd

(5-4)群延遲為相頻特性曲線的斜率。對于信號無失真?zhèn)鬏敚瑃d

為常數(shù)，即群延遲為常數(shù)；否則它是頻率的非線性函數(shù)。抱負濾波器的特性濾波器是一個選頻裝置抱負濾波器應能無失真地傳輸有用信號而又能完全抑制無用信號。有用信號和無用信號往往占有不同的頻帶。 信號能通過濾波器的頻帶稱為通帶(Passband)。信號被抑制的頻帶稱為阻帶Stopban。抱負濾波器頻率特性可寫為：HjKejtd, 在通帶內

(5-5)0， 在阻帶內但通過后面的講解我們會知道抱負濾波器是物理不行實現(xiàn)系統(tǒng)5-55-5低通濾波器的幅頻特性示意圖波浪變化；在阻帶內，幅頻特性也不為零，而是衰減至某個值；在通帶和阻帶之間存在一個過渡帶，而不是突然下降。通常，Rp(Passbandripple)(dB)、阻帶衰減attenuation)(dB)、通帶邊界頻率p、阻帶邊界頻率s、過渡帶寬 。s p濾波器的通帶波浪Rp為相對于頻率響應最大點〔一般為1〕的下降，因此下降越少說明通帶越平直，濾波器的濾波效果越好〔5d。濾波器的阻帶衰減Rs也是相對于頻率響應最大點〔一般為1〕的下降，因此下降越多說明信號在阻帶內越不簡潔通過，因此濾波效果越好(通常要大于15dB)。過渡帶寬越窄，濾波器的頻率特性越接近于直角矩形特5-5帶阻具有一樣的參數(shù)。模擬濾波器傳遞函數(shù)設計原理 模擬濾波器的設計理論通常在Laplace域內進展爭論本節(jié)只爭論其應用模擬濾波器的技術指標可由平方幅值響應函數(shù)A2 Hj2的形式給出，而Hj2 H(s)存在下面關系：即

A2 H

j2

|

(5-6)A(2)|2s2

H(s)H(s) (5-7)當給定模擬濾波器的技術指標后，由A(2)H(j)2求出A(-s2)，再適當?shù)匕才帕銟O點可求出H(s)。為了使濾波器穩(wěn)定，H(s)s平面左半平面，這是由于對1于一個濾波器的極點

sp

Laplace〔對應于時間域為ept，假設p>0，則隨著時間增大至無窮，該濾波器的輸出將消滅不穩(wěn)定。濾波器的零點選擇可任取A(-s2)的一半零點，這是由于濾波器對LaplaceH(s)具有最小相位，零點也必需選擇在s模擬原型濾波器本節(jié)介紹常用的模擬原型濾波器的主要特點及其MATLAB實現(xiàn)，包括Butterworth、ChebyshevI,ChebyshevII,Elliptical、Bessel原型低通濾波器的設計。模擬原型濾波器指的是截止頻率為1原型濾波器變換得到。ButterworthButterworth 2 1H j

A2

c

2

(5-8)

為低通濾波器的截止頻率Cutofffrequenc，N為濾波器的階數(shù)。cButterworth．．該角為鈍角，假設該角為直角，則為抱負濾波器。達式前的常數(shù)。假設系統(tǒng)的傳遞函數(shù)示為 HsZ(s)Ksz(1) sz(2)sz(nz)

(5-9)P(s) sp(1)sp(2)sp(np)z(1),z(2),z(nzp(1),p(2),p(np這里所說的零點和極點分布在一個圓上為Laplace學中的LaplaceMATLABButterworth模擬低通濾波器原型設計函數(shù)buttap,函數(shù)調用形式為：[z,p,k]=buttap(n)式中，n為butterworthz,p,kButterworthHsZ(s)

K

(5-10)P(s)

sp(2) sp(n)p(1),p(2),p(n。在有關模擬濾波器設計的MATLAB[b,a]=zp2tf(z,p,k)為將模擬原型濾波器函數(shù)〔如buttap〕設計出的零點zp和增益k數(shù)〔Transferfunction〕形式；其中，ba遞函數(shù)分母多項式系數(shù),見〔4-4〕式。[H,w]=freqs(b,a,w)求出傳遞函數(shù)形式〔分子和分母多項式的系數(shù)為b,表示的濾波器的對應于頻率點w的復數(shù)頻率響應包括實部和虛部w幅頻響應和相頻響應圖。【例5-1】繪制Butterworth低通模擬原型濾波器的幅頻平方響應曲線，階數(shù)分別為2，5，10，20。%Samp5_1n=0:0.01:2; %頻率點forii=1:4 4switchiicase1,N=2;case2,N=5;case3,N=10;case4,N=20;end[z,p,k]=buttap(N); %設計Butterworth濾波器[b,a]=zp2tf(z,p,k); %將零點極點增益形式轉換為傳遞函數(shù)形式[H,w]=freqs(b,a,n); %按n指定的頻率點給出頻率響應magH2=(abs(H)).^2; %給出傳遞函數(shù)幅度平方holdon;plot(w,magH2); %繪制傳遞函數(shù)幅度平方endxlabel(”w/wc”);ylabel(”|H(jw)|^2”);title(”Butterworth模擬原型濾波器”);text(1.5,0.18,”n=2”) %作必要的標記text(1.3,0.08,”n=5”)text(1.16,0.08,”n=10”)text(0.93,0.98,”n=20”)gridon;Butterworth模擬原型濾波器n=20n=2n=20n=2n=10n=51.212|w|

0.80.60.40.200 0.2 0.4 0.6 0.8 1w/wc

1.2

1.6 1.8 25-6Butterworth濾波器原型平方幅頻圖程序的運行結果見圖5-6?？梢钥吹?，濾波器的幅頻平方特性隨著頻率單調下降。隨著Butterworth。ChebyshevI 2Hj

A2 12C2 Nc

(5-11)為小于1的正數(shù)，表示通帶內的幅值波浪狀況；

為截止頻率，N為ChebyshevcC

ChebyshevNccos

Ncos1

x1C (x)N cosh

Ncosh1

x

(5-12)ChebyshevI．．MATLAB信號處理工具箱函數(shù)cheb1apNChebyshevI由于ChebyshevI所能下降的最低限度Rp〔dB〕的參數(shù)。由于Rp1小濾波器在通帶內越接近~dB格式為：[z，p,k]=cheb1ap(N,Rp)式中，NRpdB。z,p,k增益。濾波器傳遞函數(shù)具有與〔5-9〕式一樣的形式。5-2】繪制ChebyshevI2，4，6，8。%Samp5_2n=0:0.01:2; %設置頻率點forii=1:4switchiicase1,N=2;case2,N=4;case3,N=6;case4,N=8;endRp=1; %設置通帶波浪為1dB[z,p,k]=cheb1ap(N,Rp); %設計ChebyshevI型濾波器[b,a]=zp2tf(z,p,k); %轉換為傳遞函數(shù)形式[H,w]=freqs(b,a,n); %求得傳遞函數(shù)的頻率特性magH2=(abs(H)).^2; %求得傳遞函數(shù)的幅頻響應posplot=[”2,2,”num2str(ii)];%將數(shù)字ii2,2,’合并并賦給posplot。subplot(posplot);plot(w,magH2);title([”N=”num2str(N)]);NN=’合并作為標題。xlabel(”w/wc”);ylabel(”ChebyshevI|H(jw)|^2”);gridonendw|hyeC

10.80.60.40.2

N=2

w|hyeC

10.80.60.40.2

N=4w|hyeC

00 0.5 1w/wcN=610.80.60.40.21.521.52w/wcw/wc0 0.5 1

1.5 1.5

w|hyeC

00 0.5 1w/wcN=810.80.60.40.200 0.5 1

1.5 25-7ChebyshevI型模擬原型濾波器平方幅頻圖程序的運行結果見圖5-Butterworth濾波器相比〔圖5-6階數(shù)下，ChebyshevI型模擬原型濾波器具有更窄〔更陡〕的過渡帶。但這種特性是以犧牲〔而成為波浪狀性有無方法設計階數(shù)較小而過渡帶較窄的濾波器呢？這就涉及ChebyshevIIChebyshevII 2Hj A2

(5-13) 1c12C2 c式中各項參數(shù)的意義同上。

N ChebyshevII．．ChebyshevII型模擬濾波器傳遞函數(shù)具有〔5-9〕式的形式。濾波器零點為[z(1),z(2),z(nzp(1),p(2),p(np]，濾波器的增益為。MATLABcheb2apNChebyshevIIChebyshevIIRs。前面已經(jīng)講過，通帶波浪和阻帶衰減都是相對于增益1RpRs1RsRs16dB。該函數(shù)通常調用格式為：[z,p,k]=cheb2ap(N,Rs)式中，NRs為阻帶波浪，單位dB;z,p,k5-3】繪制ChebyshevII2,4,6,8。%Samp5_3n=0:0.01:2;%設置頻率點forii=1:4switchiicase1,N=2;case2,N=4;case3,N=6;case4,N=8;endRs=16; 16dB[z,p,k]=cheb2ap(N,Rs); %設計ChebyshevII型模擬原型濾波器[b,a]=zp2tf(z,p,k); %轉化為傳遞函數(shù)[H,w]=freqs(b,a,n); %求出濾波器的頻率響應magH2=(abs(H)).^2; %頻率響應的幅度平方posplot=[”2,2,”num2str(ii)];subplot(posplot);plot(w,magH2); %繪出幅頻平方響應函數(shù)title([”N=”num2str(N)]);xlabel(”w/wc”);ylabel(”ChebyshevII|H(jw)|^2”);gridon;endN=21

N=4w|IhyeCw|IhyeC

0.80.60.40.200 0.5 1w/wcN=610.80.60.40.21.521.52w/wcw/wc0 0.5 1

1.5 1.5

w|IhyeCw|IhyeC

0.80.60.40.200 0.5 1w/wcN=810.80.60.40.200 0.5 1

1.5 25-8ChebyshevII型模擬原型濾波器平方幅頻圖5-8ChebyshevII內卻消滅了波浪。隨著濾波器階數(shù)的增高，其幅頻特性越接近矩形。由前面的講解可知，Butterworth〔。而ChebyshevI和II型濾波器在通帶或阻帶內有波浪消滅，但在過渡帶寬一樣的條件下，所需的濾波器階數(shù)較低〔即設計的濾波器濾波速度較快，本錢較低。假設我們對通帶和阻帶內的平滑特講的橢圓濾波器。橢圓濾波器 2Hj

A2 12E2 Nc

(5-14)為小于1

〔Cutofffrequenc，cNE

為橢圓函數(shù)，其定義已超出本課程的范圍，我們直接利用。Elliptic．．MATLAB信號處理工具箱供給Elliptic模擬低通濾波器原型設計函數(shù)ellipap。由于橢調用形式為：[z,p,k]=ellipap(n,Rp,Rs)式中，n為橢圓濾波器階數(shù)；Rp,RsdB,通常濾波器的通帶波浪的范圍為1~5dB，阻帶衰減的范圍大于15dB。z,p,k分別為濾波器的零點、極點和增益。濾波器傳遞函數(shù)具有與〔5-9〕式一樣的形式。5-4】繪制Elliptic2，3，4，5。%Samp5_4n=0:0.01:2; %設置頻率點forii=1:4switchiicase1,N=2;case2,N=3;case3,N=4;case4,N=5;endRp=1;Rs=15; %設置通帶波浪為1dB，阻帶衰減為15dB[z,p,k]=ellipap(N,Rp,Rs); %設計橢圓濾波器[b,a]=zp2tf(z,p,k); %將零點極點增益形式轉化為傳遞函數(shù)形式[H,w]=freqs(b,a,n); %求得傳遞函數(shù)的復數(shù)頻率響應magH2=(abs(H)).^2; %給出幅度平方函數(shù)posplot=[”2,2,”num2str(ii)];%給出繪圖區(qū)域subplot(posplot);plot(w,magH2);ylim([01]) %繪出幅度平方函數(shù)title([”N=”num2str(N)]);xlabel(”w/wc”);ylabel(”橢圓|H(jw)|^2”);gridon;endN=21

N=31HH|圓橢HH|圓橢

0.80.60.40.200 0.5 1w/wcN=410.80.60.40.21.521.52w/wcw/wc0 0.5 1

1.5 1.5

HH|圓橢HH|圓橢

0.80.60.40.200 0.5 1w/wcN=510.80.60.40.200 0.5 1

1.5 25-9橢圓模擬原型濾波器平方幅頻圖程序運行結果見圖5?？梢婋A數(shù)為4的橢圓濾波器的過渡帶已相當窄〔陡，但這種特性的獲得是以犧牲通帶和阻帶的單調平滑特性為代價的幅頻響應越接近于矩形。Bessel前面講過的各類原型濾波器均沒有繪出其相位隨頻率的變化特性〔相頻特性。在后面的數(shù)字信號處理學習中將會看到它們的相位特性是非線性的。本節(jié)所介紹的Bessel濾波器就能最大限度地削減相頻特性的非線性，使得通帶內通過的信號外形不變(拷貝不走樣)。Bessel模擬低通濾波器的特點是在零頻時具有最平坦的群延遲，并在整個通帶內群延NN遲幾乎不變。在零頻時的群延遲為 。由于這一特點，Bessel模擬濾波器通帶內2NN!BesselMATLABBesselbesselap用于設計Bessel[z,p,k]=besselap(N)式中，N25。z,p,k濾波器的傳遞函數(shù)無零點，具有與〔5-10〕Bessel濾波器的幅頻和相頻特性。5-5510Bessel%Samp5_5clfn=0:0.01:2; %設置頻率點forii=1:2switchiicase1,pos=1;N=5;case2,pos=3;N=10;end[z,p,k]=besselap(N); %設計Bessel模擬濾波器[b,a]=zp2tf(z,p,k); %將零點極點增益形式轉化為傳遞函數(shù)形式[H,w]=freqs(b,a,n); %求得傳遞函數(shù)的復數(shù)頻率響應magH2=(abs(H)).^2;phaH=unwrap(angle(H)); %求得函數(shù)的相位角并進展解纏繞運算phaH=phaH*180/pi; %將相位角由弧度轉化為度posplot=[”2,2,”num2str(pos)]; %設置繪圖位置字符串subplot(posplot);plot(w,magH2);gridon %繪出平方幅頻響應title([”N=”num2str(N)]);xlabel(”w/wc”); ylabel(”Bessel|H(jw)|^2”);gridonsubplot([”2,2,”num2str(pos+1)]);plot(w,phaH);xlabel(”w/wc”);ylabel(”Bessel相位/^o”);title([”N=”num2str(N)]);gridonendwseB

10.80.60.40.2

N=5

0-100o位相-200eB

N=5w

00 0.5 1w/wcN=1010.80.6

-4001.5 2 0 0.5 1w/wcN=100-200o位

1.5 2seB

0.40.2

相-400eB -6001.521.52w/wcw/wc0 0.5

-8001.5 2 0 0.5 15-10Bessel模擬原型濾波器相頻圖可見，Bessel濾波器具有最優(yōu)線性相頻的特點，但這個特點的獲得是以犧牲窄過渡帶為代價的,即濾波器的幅頻平方特性與矩形特性相差甚遠。對全部的模擬原型濾波器做一總結可知：ButterworthChebyshevI和II型濾波器在通帶或阻帶內具有波浪，但在一樣過渡帶寬的條件下，該濾波器所需的階數(shù)比Butterworth濾波器要少。橢圓濾波器在通帶和阻帶內均有波浪消滅，但在一樣過渡帶寬的條件下，該濾波器所需的階數(shù)最少。Bessel濾波器具有最寬的過渡帶，但具有最優(yōu)的線性每一種濾波器的設計方法我們都要嫻熟把握。前面所講的模擬原型濾波器均是截止頻率為1的濾波器，在實際設計中是很難遇到的，．通過頻率變換，我們可以從模擬低通濾波器原型獲得模擬的低通濾波器再借助于s域至z波器設計的重要方法之一。MATLAB信號處理工具箱有l(wèi)p2lp,lp2hp,lp2bp,lp2bs其使用方法及各參量的意義。函數(shù)lp2lp用于實現(xiàn)由低通模擬原型濾波器至低通濾波器的頻率變換，調用格式為[bt,at]=lp2lp(b,a,)0其中，a,b為模擬原型濾波器的分母和分子多項式的系數(shù)，0

為低通濾波器所期望的截止頻率rad/，假設給定的單位為Hz，應乘以2bt,at分子多項式的系數(shù)。該函數(shù)將模擬原型濾波器傳遞函數(shù)執(zhí)行下面變換：H(s)H(p)

(5-15)式中，H(p)為低通原型濾波器傳遞函數(shù)，H(s)1到指定截止頻率0

15-6】將4階橢圓模擬原型濾波器變換為截止頻率為0.5通帶波浪Rp=2dB,阻帶衰減Rs=30dB。%Samp5_6Rp=2;Rs=30; %模擬原型濾波器的通帶波浪為2dB,阻帶衰減為30dB。[z,p,k]=ellipap(4,Rp,Rs); %設計橢圓濾波器[b,a]=zp2tf(z,p,k); %由零點極點增益形式轉換為傳遞函數(shù)形式[H,w]=freqs(b,a,0:0.01:2); %給出復數(shù)頻率響應subplot(2,1,1),plot(w,abs(H).^2); %繪出平方幅頻函數(shù)xlabel(”w/wc”);ylabel(”橢圓|H(jw)|^2”);title(”原型低通橢圓濾波器(wc=1)”)[bt,at]=lp2lp(b,a,0.5);%將模擬原型低通濾波器的截止頻率變換為0.5[Ht,wt]=freqs(bt,at,0:0.01:2);%給出復數(shù)頻率響應subplot(2,1,2),plot(wt,abs(Ht).^2);%繪出平方幅頻函數(shù)xlabel(”w/wc”);ylabel(”橢圓|H(jw)|^2”);title(”低通橢圓濾波器(wc=0.5)”)原型低通橢圓濾波器(wc=1)1HH|圓橢

0.80.60.40.200 0.2 0.4 0.6 0.8 1w/wc

1.2 1.4 1.6 1.8 2低通橢圓濾波器(wc=0.5)1HH|圓橢

0.80.60.40.200 0.2 0.4 0.6 0.8 1w/wc

1.2 1.4 1.6 1.8 25-1140.5的橢圓模擬低通濾波器的結果5-1110.5。函數(shù)lp2hp用于實現(xiàn)由低通模擬濾波器至高通濾波器的頻率變換。調用格式：[bt,at]=lp2hp(b,a,)0式中，0

為高通模擬濾波器所期望的截止頻率rad/，假設給定的頻率單位為H，應乘以2。該函數(shù)將模擬原型濾波器傳遞函數(shù)執(zhí)行下面變換：H(s)H(p)

s

(5-16)5-76ChebyshevI0.8中通帶波浪Rp=0.5dB。%Samp5_7Rp=0.5; %設置濾波器的通帶波浪為0.5dB[z,p,k]=cheb1ap(6,0.5); %設計ChebyshevI型模擬原型濾波器[b,a]=zp2tf(z,p,k); %由零點極點增益形式轉化為傳遞函數(shù)形式[H,w]=freqs(b,a,0:0.01:2); %計算傳遞函數(shù)的復數(shù)頻率響應subplot(2,1,1),plot(w,abs(H).^2);%繪制傳遞函數(shù)的平方幅頻響應xlabel(”w/wc”);ylabel(”ChebyshevI|H(jw)|^2”);title(”ChebyshevI低通原型濾波器(wc=1)”)[bt,at]=lp2hp(b,a,0.8); %由低通原型濾波器轉換為截止頻率為0.8[Ht,wt]=freqs(bt,at,0:0.01:2); %計算濾波器的復數(shù)頻率響應subplot(2,1,2),plot(wt,abs(Ht).^2);%繪制傳遞函數(shù)的平方幅頻響應xlabel(”w/wc”);ylabel(”ChebyshevI|H(jw)|^2”);title(”ChebyshevI(wc=0.8)”)w|hyeC

10.80.60.40.2

ChebyshevI低通原型濾波器(wc=1)00 0.2 0.4 0.6 0.8 1w/wc

1.2 1.4 1.6 1.8 2w|hyeC

10.80.60.40.2

ChebyshevI高通濾波器(wc=0.8)00 0.2 0.4 0.6 0.8 1w/wc

1.2 1.4 1.6 1.8 25-126ChebyshevI0.8的模擬高通濾波器的結果圖程序運行結果見圖5-12?？梢妼崿F(xiàn)了從低通濾波器到高通濾波器的轉換，并且截止頻率也符合例題要求。函數(shù)lp2bp用于實現(xiàn)由低通模擬原型濾波器至帶通濾波器的頻率變換。調用格式：[bt,at]=lp2bp(b,a,0

,Bw)1 2

為帶通濾波器的中心頻率(rad/s)，Bw為帶通濾波器帶寬(rad/s)。而 , B0

2 1

(5-17)式中,1

為帶通濾波器的下邊界頻率，2

Hz2。該函數(shù)將模擬原型濾波器傳遞函數(shù)執(zhí)行下面變換運算：s2H(s)H(p)

1

(5-18)p00B sw 025-86ChebyshevII0.8rad/s1.4rad/s,阻帶衰減Rs=20dB。%Samp5_8Rs=20; 20dB[z,p,k]=cheb2ap(6,Rs); %設計6階阻帶衰減為20dB的ChebyshevII型原型濾波器[b,a]=zp2tf(z,p,k); %將零點極點增益形式轉換為傳遞函數(shù)形式[H,w]=freqs(b,a,0:0.01:2); %計算模擬原型濾波器的復數(shù)頻率響應subplot(2,1,1),plot(w,abs(H).^2);%繪制平方幅頻響應xlabel(”w/wc”);ylabel(”ChebyshevII|H(jw)|^2”);title(”ChebyshevII型低通原型濾波器(wc=1)”)w1=0.8;w2=1.4; %給定欲設計濾波器通帶的下限和上限頻率w0=sqrt(w1*w2);bw=w2-w1;%計算中心點頻率和頻帶寬度[bt,at]=lp2bp(b,a,w0,bw);%頻率轉換[Ht,wt]=freqs(bt,at,0:0.01:2);%計算濾波器的復數(shù)頻率響應subplot(2,1,2),plot(wt,abs(Ht).^2);%繪制平方幅頻響應xlabel(”w/wc”);ylabel(”ChebyshevII|H(jw)|^2”);title(”ChebyshevII(wc=0.8~1.4)”)ChebyshevII型低通原型濾波器(wc=1)1.5w|IhyeC

10.500 0.2 0.4 0.6 0.8 1w/wc

1.2 1.4 1.6 1.8 2w|IhyeC

10.80.60.40.2

ChebyshevII型帶通濾波器(wc=0.8~1.4)00 0.2 0.4 0.6 0.8 1w/wc

1.2 1.4 1.6 1.8 25-136ChebyshevII型原型濾波器變換為模擬帶通濾波器的結果圖程序運行結果為圖5-13?？梢娫摮绦驅崿F(xiàn)了由低通原型濾波器到帶通濾波器的轉換。函數(shù)lp2bs用于實現(xiàn)由低通模擬原型濾波器至帶阻濾波器的頻率變換。調用格式[bt,at]=lp2bs(b,a,0

,Bw)0

為帶阻濾波器的中心頻率(rad/s)，Bw為帶阻濾波器帶寬(rad/s)。而 , B

(5-19)0 1 2 w 2 1式中,1

為帶阻濾波器的下邊界頻率，2

Hz2。該函數(shù)將模擬原型濾波器傳遞函數(shù)執(zhí)行下面變換運算： H(s)H(p

(5-20)p0 0wBs2w 10留意：輸出的帶阻濾波器和帶通濾波器是濾波器原型階數(shù)的2倍。5-96Butterworth0.7rad/s1.5rad/s。%Samp5_9[z,p,k]=buttap(6); 6Butterworth[b,a]=zp2tf(z,p,k);%將零點極點增益形式轉換為傳遞函數(shù)形式[H,w]=freqs(b,a,0:0.01:2);%計算指定頻率點的復數(shù)頻率響應subplot(2,1,1),plot(w,abs(H).^2);%繪制平方幅頻響應xlabel(”w/wc”);ylabel(”Butterworth|H(jw)|^2”);title(”Btterworth低通原型濾波器(wc=1)”)w1=0.7;w2=1.5; %帶阻濾波器的下限及上限頻率w0=sqrt(w1*w2);bw=w2-w1; %計算中心點頻率和阻帶寬度[bt,at]=lp2bs(b,a,w0,bw); %頻率轉換[Ht,wt]=freqs(bt,at,0:0.01:2);%計算帶阻濾波器指定點的復數(shù)頻率響應subplot(2,1,2),plot(wt,abs(Ht).^2);%繪制平方幅頻響應xlabel(”w/wc”);ylabel(”Butterworth|H(jw)|^2”);title(”Butterworth(wc=0.7~1.5)”)wwuB

10.80.60.40.2

Btterworth低通原型濾波器(wc=1)00 0.2 0.4 0.6 0.8 1w/wc

1.2 1.4 1.6 1.8 2wwuB

10.80.60.40.2

Butterworth帶阻濾波器(wc=0.7~1.5)00 0.2 0.4 0.6 0.8 1w/wc

1.2 1.4 1.6 1.8 25-146Butterworth原型濾波器變換為模擬帶阻濾波器的結果圖程序運行結果為圖5-10?？梢?，該程序實現(xiàn)了由低通原型濾波器到帶阻濾波器之間的轉換，并且頻帶參數(shù)與所要求的完全全都。濾波器最小階數(shù)選擇們通過這一函數(shù)關系可以求出滿足濾波性能指標的最低階數(shù)階數(shù)確實定原理及MATLABMATLAB止頻率的工具函數(shù)。濾波器最小階數(shù)選擇原理：以Butterworth低通模擬濾波器為例阻帶衰減Rs(dB)。

p

Rp(dB)、s當時pHj

Rp1020 Rp

10lgH

j2

(5-21)以截止頻率c

〔3dB〕1，化為相對c

的相對頻率 ，則上式可寫成：c 1 R 20lgp

2N

(5-22) 1 20c 20c同理，當s

Hj10Rs

R 10lgH2s R 20lg

12N

(5-23)1 s s綜合上面兩式可得：

lg10Rp10110RN

101

(5-24) 2lgps式中，N應向上取整，則N表示為：c p (5-25)c 2N10Rp101或 s

(5-26)c 2N10Rs101下面用MATLABN。c【例5-10】設計一個模擬Butterworth濾波器。設計指標為通帶邊界頻率p

200，阻帶邊界頻率s

3001dB16dB,試確定最小階數(shù)N%Samp5_10wp=200*pi;ws=300*pi;Rp=1;Rs=16;N=ceil(log10((10^(Rp/10)-1)/(10^(Rs/10)-1))/(2*log10(wp/ws)))%〔5-22〕式，這里ceil函數(shù)表示向上取整Wcp=wp/((10^(Rp/10)-1)^(1/(2*N))) %〔5-23〕式Wcs=ws/((10^(Rs/10)-1)^(1/(2*N))) %〔5-24〕式給程序的輸出為：N= 7Wcp=691.9839Wcs=725.7292程序輸出的兩個截止頻率分別為運用通帶波浪和阻帶衰減得到的有用信息，對于低通濾波器可選用較大的截止頻率，即725.7292。其他幾種濾波器的最小階數(shù)選擇思路與此一樣，由于篇幅所限，我們略去。濾波器最小階數(shù)選擇函數(shù)上面給出了Butterworth濾波器的最小階數(shù)和截止頻率的選擇公式及程序MATLAB工具箱中運用濾波器的最小階數(shù)選擇公式給出了濾波器最小階數(shù)選擇函數(shù)階數(shù)的選擇函數(shù)如下：[n,wc]=buttord(wp,ws,Rp,Rs,”s”); Butterworth濾波器[n,wc]=cheb1ord(wp,ws,Rp,Rs,”s”); ChebyshevI濾波器[n,wc]=cheb2ord(wp,ws,Rp,Rs,”s”); ChebyshevII濾波器[n,wc]=ellipord(wp,ws,Rp,Rs,”s”); Elliptic濾波器式中，wpwsrad/s。Rp,Rs和阻帶衰減，單位為dB。二者分別表示通帶內的最大允許幅值損失和阻帶下降的分貝數(shù)?！眘〔n為模擬濾波器的最小階數(shù)；wcrad/s帶阻濾波器。假設wp<ws，對應于低通模擬濾波器，當wp>ws阻濾波器存在兩個過渡帶，wp和ws邊界頻率。即：wp=[通帶下界頻率,通帶上界頻率]，ws=[阻帶下界頻率,阻帶上界頻率]。對于帶通濾波器，這四個頻帶界限的大小排列為:阻帶下界頻率<通帶下界頻率<通帶上界頻率<阻帶上界頻率；對于帶阻濾波器，這四個頻帶界限的大小排列為:通帶下界頻率<阻帶下界頻率<阻帶上界頻率<通帶上界頻率。這時返回值wc包括兩個元素〔第一個元素小于其次個元素5-11】設計一個模擬低通Butterworth濾波器和ChebyshevII界頻率p

200，阻帶邊界頻率s

300，通帶波浪Rp=1dB，阻帶衰減Rs=16dB,試確定最小階數(shù)N3dB%Samp5_11Wp=200*pi;Ws=300*pi;Rp=1;Rs=16;disp(”Butterworth[N,Wc]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,”s”)%計算Butterworthdisp(”ChebyshevII[N,Wc]=cheb2ord(Wp,Ws,Rp,Rs,”s”)%計算ChebyshevII濾波器的最小階數(shù)和截止頻率程序的輸出為：Butterworth濾波器:N=7Wc=725.7292ChebyshevII型濾波器:N=4Wc=839.8376程序輸出的Butterworth5-10的程序輸出一樣。證II型濾波器所需的濾波器的最小階數(shù)遠小于Butterworth濾波器，說明運用ChebyshevII型濾波器比Butterworth用本節(jié)給出的求取濾波器最小階數(shù)的函數(shù)求解濾波器最小階數(shù)和截止頻率。模擬濾波器的性能測試freqs來求模擬濾波器的頻率響應，這里我們具體介紹該函數(shù)，假設其調用格式為：[h[,w]]=freqs(b,a[,n])式中，b,ah[,w]和[,n數(shù),由用戶依據(jù)需要確定。w,nn=128，則用128給出此模擬濾波器的頻率特性〔給定頻率點的傳遞函數(shù)值，缺省時為200。假設該函數(shù)不寫形式為：H(s)

B(s)b(1)snbb(2)snb1b(nb1)

(5-27)A(s) a(1)snaa(2)sna1a(na1)MATLAB工具箱還供給了兩個函數(shù)abs和anglHej求幅頻響應Hej 和相頻響應Hej。其中angle的輸出單位為ra?？沙惺躵ad2deg函數(shù)轉化為度。另外留意函數(shù)的幅頻響應常常用分貝(dB)來表示。求出的幅頻響應Hej 后，通過下式轉換

(dB)。

0.2s20.3s1【例5-12】模擬濾波器的傳遞函數(shù)為：H(s) ，繪制濾波器的幅頻s20.4s1響應和相頻響應。%Samp5_12b=[0.20.31]; %濾波器傳遞函數(shù)分子多項式系數(shù)a=[10.41];%濾波器傳遞函數(shù)分母多項式系數(shù)figure(1),freqs(b,a);%第一種輸出方法[h,w]=freqs(b,a);%計算濾波器的復數(shù)頻率響應mag=abs(h);pha=angle(h);%得到濾波器的幅頻和相頻響應figure(2),subplot(2,1,1),loglog(w,mag);%運用雙對數(shù)坐標繪制幅頻響應gridon;xlabel(”角頻率/rad\cdots^-^1”);ylabel(”振幅”);subplot(2,1,2),semilogx(w,pha*180/pi)%運用半對數(shù)坐標繪相頻響應gridon;xlabel(”角頻率/rad\cdots^-^1”);ylabel(”相位/^o”);10100幅振10-1100角頻率/rads-11010o-50/位-100-15010-1100角頻率/rads-11015-155-12中濾波器的幅頻響應和相頻響應程序運行結果的兩幅圖完全全都〔圖5-1，說明freqs全全都。我們知道，除了用傳遞函數(shù)描述濾波器特性外，還可用脈沖(沖激)響應來描述濾波器，Laplace〔輸入一個階躍時系統(tǒng)的輸出〕來描述濾波器特性。下面我們介紹在MATLAB中如何得到模擬濾波器的脈沖響應和階躍響應。將濾波器的傳遞函數(shù)表示成分子和分母多項式系數(shù)的形式為[b,a]，則在MATLAB中用H=[tf(b,a)]來表示此模擬濾波器，承受[[y,t]=]impulse(H)給出該系統(tǒng)的模擬脈沖響應。承受[[y,t]=]step(H)來得到該系統(tǒng)的階躍響應。這兩個函數(shù)與freqs一樣，假設沒有輸出則程序自動繪圖模擬該濾波器的脈沖響應或階躍響應。輸出值y,t分別為該濾波器的脈沖響應或階躍響應及其對應的時間序列。u,ty=lsim(H,u,t)來模擬,yt假設該函數(shù)沒有輸出變量則程序自動繪圖顯示。5-135階的ChebyshevI3dB100Hz，上邊界頻率500Hz，繪制幅頻響應圖。給出該濾波器的脈沖響應、階躍響應。假定輸入sin(2*pi*30*t)+0.5*cos(2*pi*300*t)+2*sin(2*pi*800*t)Fourier%Samp5_13N=5;Rp=3;f1=100;f2=500;%濾波器階數(shù)、邊界頻率〔Hz〕w1=2*pi*f1;w2=2*pi*f2; %邊界頻率〔rad/s〕[z,p,k]=cheb1ap(N,Rp); %設計ChebyshevI型原型低通濾波器[b,a]=zp2tf(z,p,k);%轉換為傳遞函數(shù)形式Wo=sqrt(w1*w2); %中心頻率Bw=w2-w1; %頻帶寬度[bt,at]=lp2bp(b,a,Wo,Bw); %頻率轉換[h,w]=freqs(bt,at); %計算復數(shù)頻率響應figure(1)subplot(2,2,1),semilogy(w/2/pi,abs(h)); %繪制幅頻響應xlabel(”頻率/Hz”);gridon;title(”幅頻圖”);subplot(2,2,2),plot(w/2/pi,angle(h)*180/pi);%繪制相頻響應xlabel(”頻率/Hz”);ylabel(”相位/^o”);gridon;title(”相頻圖”)H=[tf(bt,at)];%在MATLAB[h1,t1]=impulse(H);%輸出系統(tǒng)的脈沖響應subplot(2,2,3),plot(t1,h1);xlabel(”時間/s”);title(”脈沖響應”)[h2,t2]=step(H); %輸出系統(tǒng)的階躍響應subplot(2,2,4),plot(t2,h2);xlabel(”時間/s”);title(”階躍響應”)figure(2)dt=1/2023;t=0:dt:0.1; %給出模擬濾波器輸出的時間范圍u=sin(2*pi*30*t)+0.5*cos(2*pi*300*t)+2*sin(2*pi*800*t);%模擬輸入信號subplot(2,2,1),plot(t,u)%繪制模擬輸入信號xlabel(”時間/s”);title(”輸入信號”)[ys,ts]=lsim(H,u,t); %模擬系統(tǒng)的輸入u時的輸出subplot(2,2,2),plot(ts,ys)%繪制模擬輸出信號xlabel(”時間/s”),title(”輸出信號”);subplot(2,2,3),plot((0:length(u)-1)/(length(u)*dt),abs(fft(u))*2/length(u));%繪輸入信號振幅譜title(”輸入信號振幅譜”),xlabel(”頻率/Hz”)Subplot(2,2,4),Y=fft(ys);plot((0:length(Y)-1)/(length(Y)*dt),abs(Y)*2/length(Y));%繪制輸出信號振幅譜title(”輸出信號振幅譜”)xlabel(”頻率/Hz”)100

幅頻圖

200

相頻圖10-5 100o位10-10 / 0位相10-15 -10010-200 500 1000 1500頻率/Hz

-2002023 0 500 1000 1500頻率/Hz

2023脈沖響應1000

階躍響應5000-5000

0.20-0.20.050.10.050.10.050.10.150.2時間/s時間/s05-165-13ChebyshevI型濾波器的幅頻響應、相頻響應、脈沖響應和階躍響應輸入信號4 0.42 0.20 0-2 -0.2

輸出信號-40 0.05時間/s

-0.40.1 0 0.05時間/s

0.1輸入信號振幅譜1.5 0.350.3

輸出信號振幅譜10.5

0.250.20.150.100 500 1000 1500頻率/Hz

0.0502023 0 500 1000 1500頻率/Hz

20235-175-13所設計濾波器模擬輸入和輸出信號的時間域圖形和振幅譜5-165-175-16沖響應和階躍響應。幅頻圖清楚地給出了通帶范圍和阻帶范圍。圖5-17給出了模擬輸入、輸出信號的時間域波形及振幅譜。輸入信號中含有30Hz,300Hz500Hz頻特性〔圖5-16〕可知，30Hz500Hz300Hz濾波器的相頻特性〔5-16〕可知，該濾波器并不是線性相位。5.7模擬濾波器的設計模擬濾波器設計步驟用戶對模擬濾波器提出的要求有〔0

(對于低通和高通)或上下邊界頻率1 2

Butterwort、ChebyshevI、ChebyshevII、EllipticBessel按以下步驟設計濾波器。0

(對于低通和高通)或上下邊界頻率1、；通帶波浪、阻帶衰減以及濾波器類型等〔用戶給定。2確定濾波器階數(shù)〔5節(jié)介紹的方法和函數(shù)。設計模擬低通原型濾波器。MATLAB信號處理工具箱的濾波器原型設計函數(shù)有butterap、cheb1ap、cheb2ap、ellipap、besselap〔本章第5.3節(jié)介紹的方法和函數(shù)〕按頻率變換設計模擬濾波器〔低通、高通、帶通、帶阻。MATLAB信號處理工具箱的頻率變換函數(shù)有l(wèi)p2lp、lp2hp、lp2bp、lp2bs〔本章第5.4節(jié)介紹的方法和函數(shù)。下面我們用例子說明如何依據(jù)用戶的要求設計濾波器?！纠?-1ChebyshevI型模擬濾波器Ws1=0.2*prad/;Ws2=0.8*p〔rad/;Rs=60dB;Wp1=0.35*pi〔rad/s〕;Wp2=0.65*pi〔rad/s〕;Rp=1dB。%Samp5_14wp=[0.350.65]*pi; %給出濾波器的通帶邊界頻率，用弧度表示ws=[0.20.8]*pi; %給出濾波器的阻帶邊界頻率，用弧度表示Rp=1;Rs=60; %給出濾波器的通帶波浪和阻帶衰減[n,wn]=cheb1ord(wp,ws,Rp,Rs,”s”);%依據(jù)濾波器的要求求濾波器的最小階數(shù)[z,p,k]=cheb1ap(n,Rp);ChebyshevI[b,a]=zp2tf(z,p,k);%將零點極點增益形式轉換為傳遞函數(shù)形式Wo=sqrt(wn(1)*wn(2));%計算中心點頻率Bw=wn(2)-wn(1);%計算頻帶寬度[bt,at]=lp2bp(b,a,Wo,Bw);%模擬原型低通濾波器轉換為帶通濾波器[h,w]=freqs(bt,at,128);%計算濾波器的復數(shù)頻率響應plot(w/pi,20*log10(abs(h))); %繪制濾波器的振幅響應xlabel(”角頻率/pi”);ylabel(”|H(jw)|/dB”)gridon;holdon;plot([0.20.2],ylim,”r”);plot([0.80.8],ylim,”r”)的阻帶衰減

出阻帶界限以顯示到達%plot([0.350.35],ylim);plot([0.650.65],ylim);%可繪出通帶界限以顯示到達的通帶衰減0-50-100-150B -20))|

-250-300-350-400-4500 0.5 1 1.5 2角頻率/pi

2.5 3 3.5圖5-18 例5-14設計的ChebyshevI型帶通濾波器的幅頻響應程序的運行結果見圖5-18?？梢钥吹?，設計的濾波器的通帶范圍確實為0.35*pi~0.65*pi,并且在阻帶邊界處下降分貝數(shù)大于60dB，滿足了用戶的設計要求。程序ylimy模擬濾波器設計函數(shù)上面濾波器的設計步驟比較麻煩需要設計模擬原型濾波器并進展頻率轉換。其實MATLAB將這一系列的過程組合成了更為便利的設計函數(shù)：butter,cheby1,cheby2,ellip,besself于數(shù)字濾波器。本節(jié)只爭論這些函數(shù)在模擬濾波器設計中的應用。但要留意，MATLAB是將上述一系列的步驟復合而已，并不是一種的設計模擬濾波器的方法。[b,a]=butter(n,wn[,”ftype”],”s”)[z,p,k]=butter(n,wn[,”ftype”],”s”)[b,a]=cheby1(n,Rp,wn[,”ftype”],”s”)[z,p,k]=cheby1(n,Rp,wn[,”ftype”],”s”)[b,a]=cheby2(n,Rs,wn[,”ftype”],”s”)[z,p,k]=cheby2(n,Rs,wn[,”ftype”],”s”)[b,a]=ellip(n,Rp,Rs,wn[,”ftype”],”s”)[z,p,k]=cheby2(n,Rp,Rs,wn[,”ftype”],”s”)[b,a]=besself(n,wn[,”ftype”],”s”)[z,p,k]=besself(n,wn[,”ftype”],”s”)nwns’為模擬濾波器，缺省時為數(shù)字濾波?！甪type’濾波器的類型可取為：‘high’高通濾波器，截止頻率為wn?！畇top’帶阻濾波器，截止頻率為wn=[w1,w2](w<w2)?！甪type’缺省時為低通或帶通濾波器。當設計帶通濾波器時，截止頻率也為wn=[w1,w2](w1<w2)。a,b分別為濾波器的傳遞函數(shù)分子和分母多項式系數(shù)向量；z,p,k分別為濾波器的零點、極點和增益。Rp,Rs分別為所設計濾波器的通帶波浪和阻帶衰減,單位為dB。濾波器的傳遞函數(shù)具有下面的形式：H(s)

B(s)b(1)snb(2)sn1b(nb1)

(5-26)A(s)

a(2)sn1

a(na1)2n，否則階數(shù)為n濾波器的設計。5-15Butterworth1000~2023Hz，500Hz1dB100dBx(t)sin2f

t0.5cos2f1

t0.5sin2f2

t，其中f1=100Hz,f2=1500Hz,f3=2900Hz。信3號的采樣頻率為10000Hz。試將原信號與通過該濾波器的模擬信號進展比較。%Samp5_15wp=[10002023]*2*pi;ws=[5002500]*2*pi;Rp=1;Rs=100;%濾波器設計參數(shù)，對于給Hz2[N,Wn]=buttord(wp,ws,Rp,Rs,”s”);%求得濾波器的最小階數(shù)和截止頻率w=linspace(1,3000,1000)*2*pi; %設置繪制頻率響應的頻率點[b,a]=butter(N,Wn,”s”); %設計模擬Butterworth濾波器H=freqs(b,a,w); %計算給定頻率點的復數(shù)頻率響應magH=abs(H);phaH=unwrap(angle(H));%計算幅頻響應和相頻響應plot(w/(2*pi),20*log10(magH));%以頻率為橫坐標繪制幅頻響應xlabel(”頻率/Hz”);ylabel(”振幅/dB”);title(”Butterworthholdon;plot([10001000],ylim,”r”);plot([20232023],ylim,”r”);%繪通帶邊界gridonfigure(2)dt=1/10000;%模擬信號采樣間隔f1=100;f2=1500;f3=2900;%輸入信號的三個頻率成分t=0:dt:0.04;%給定模擬時間段x=sin(2*pi*f1*t)+0.5*cos(2*pi*f2*t)+0.5*sin(2*pi*f3*t);%輸入信號H=[tf(b,a)]; %濾波器在MATLAB系統(tǒng)中的表示[y,t1]=lsim(H,x,t); %模擬輸出subplot(2,1,1),plot(t,x),title(”輸入信號”)%繪出輸入信號subplot(2,1,2),plot(t1,y) %繪制輸出信號title(”輸出信號”),xlabel(”時間/s”)2000-200-400B -600d/幅

Butterworth模擬帶通濾波器振-800-1000-1200-1400-16000 500 1000 1500頻率/Hz

2023 2500 3000圖5-19 例5-15設計的模擬濾波器幅頻響應，兩條豎線表示阻帶邊界輸入信號210-1-20 0.005 0.01 0.015 0.02

0.025 0.03 0.035 0.040.50-0.5

輸出信號-10 0.005 0.01 0.015 0.02時間/s

0.025 0.03 0.035 0.04圖5-20 例5-15中濾波器的輸入信號和輸出信號5-195-20?？梢姡瑸V波器的幅頻響應完全符合要求。在阻帶100dB1dB5-192900Hz100Hz1000Hz2900Hz100Hz1500Hz【例5-16】設計一個ChebyshevI型模擬帶阻濾波器，設計指標為：阻帶頻率：1000～2023Hz，兩側過渡帶寬500Hz，通帶波浪1dB，阻帶衰減大于50dB。假設一個信號

t0.5cos2f1

2

t，其中f1=100Hz,f2=1500Hz,f3=2900Hz。信3號的采樣頻率為20230Hz。試將原信號與通過該濾波器的模擬信號進展比較。%Samp5_16closeall;figure(1)ws=[10002023]*2*pi;wp=[5002500]*2*pi;Rp=1;Rs=50;2轉換為弧度/s[N,Wn]=cheb1ord(wp,ws,Rp,Rs,”s”); %求模擬濾波器的最小階數(shù)和截止頻率w=linspace(1,3000,1000)*2*pi; %設置計算復數(shù)頻率響應的頻率點[b,a]=cheby1(N,Rp,Wn,”stop”,”s”);%設計帶阻濾波器H=freqs(b,a,w); %計算給定頻率點的復數(shù)頻率響應magH=abs(H);phaH=unwrap(angle(H));%求濾波器的幅頻響應和相頻響應plot(w/(2*pi),20*log10(magH));%以頻率為橫軸繪制幅頻響應xlabel(”頻率/Hz”);ylabel(”振幅/dB”);title(”Butterworthholdon;plot([10001000],ylim,”r”);plot([20232023],ylim,”r”);%繪阻帶邊界gridonfigure(2)dt=1/20230;f1=100;f2=1500;f3=2900; %輸入信號含有的頻率t=0:dt:0.04;%時間序列x=sin(2*pi*f1*t)+0.5*cos(2*pi*f2*t)+0.5*sin(2*pi*f3*t);%輸入信號H=[tf(b,a)]; %濾波器在MATLAB系統(tǒng)中的表示[y,t1]=lsim(H,x,t); %模擬輸出信號subplot(2,1,1),plot(t,x),title(”輸入信號”)%繪輸入信號subplot(2,1,2),plot(t1,y) %繪制輸出信號title(”輸出信號”),xlabel(”時間/s”)0-50-100B -150d/幅

Butterworth模擬帶阻濾波器振-200-250-300-3500 500 1000 1500頻率/Hz

2023 2500 30005-215-16設計的帶阻濾波器的幅頻響應圖中，兩條豎線表示阻帶邊界輸入信號210-1-20 0.005 0.01 0.015 0.02

0.025 0.03 0.035 0.04輸出信號210-1-20 0.005 0.01 0.015 0.02時間/s

0.025 0.03 0.035 0.045-225-16檢測濾波器的輸入輸出信號5-215-2250dB1500Hz100Hz2900Hz5-17】設計一個ChebyshevII%Samp5_17ws=[10002023]*2*pi;wp=[5002500]*2*pi;Rp=1;Rs=50;%濾波器設計參數(shù)[N,Wn]=cheb2ord(wp,ws,Rp,Rs,”s”); %求濾波器的最小階數(shù)和截止頻率w=linspace(1,3000,1000)*2*pi; %設置計算復數(shù)頻率響應的頻率點[b,a]=cheby2(N,Rs,Wn,”stop”,”s”);%設計帶阻濾波器H=freqs(b,a,w); %計算給定頻率點的復數(shù)頻率響應magH=abs(H);phaH=unwrap(angle(H));%計算幅頻響應和相頻響應plot(w/(2*pi),20*log10(magH));%以頻率為橫軸繪制幅頻響應xlabel(”頻率/Hz”);ylabel(”振幅/dB”);title(”ChebyshevII模擬帶阻濾波器”)holdon;plot([10001000],ylim,”r”);plot([20232023],ylim,”r”);%阻帶邊界gridon0-20-40B幅d -60幅振-80-100

ChebyshevII模擬帶阻濾波器-1200 500 1000 1500頻率/Hz

2023 2500 3000圖5-23 例5-17設計濾波器的幅頻響應圖5-23?？梢钥闯鰹V波器在阻帶邊界處到達了下降50dB的要求，此濾波器在阻帶內有振蕩，這正是ChebyshevII【例5-18】設計一個高通橢圓濾波器，設計性能指標為：通帶邊界頻率wp=1500Hz,阻帶邊界頻率ws=1000Hz,通帶波紋Rp=1dB,阻帶衰減Rs=30dB

2f1

t，其中f1=400Hz,f2=1600Hz10000Hz。2試將原信號與通過該濾波器的模擬信號進展比較。%Samp5_18wp=1500*2*pi;ws=1000*2*pi;Rp=1;Rs=30; %濾波器設計參數(shù)[N,Wn]=ellipord(wp,ws,Rp,Rs,”s”); %求濾波器的最小階數(shù)和截止頻率w=linspace(1,3000,1000)*2*pi; %給出計算復數(shù)頻率響應的頻率點[b,a]=ellip(N,Rp,Rs,Wn,”high”,”s”);%設計高通橢圓濾波器H=freqs(b,a,w); %計算給定頻率的復數(shù)頻率響應magH=abs(H);phaH=unwrap(angle(H));%求幅頻響應和相頻響應figure(1)plot(w/(2*pi),20*log10(magH));%以頻率為橫軸繪幅頻響應xlabel(”頻率/Hz”);ylabel(”振幅/dB”);title(”橢圓模擬高通濾波器”);holdon;plot([10001000],ylim,”r”);%阻帶邊界gridonfigure(2) %給出另一個圖形窗口dt=1/10000; %采樣間隔f1=400;f2=1600;%信號中所含頻率成分t=0:dt:0.04;%時間序列x=sin(2*pi*f1*t)+0.5*cos(2*pi*f2*t);%輸入信號H=[tf(b,a)]; %濾波器在MATLAB系統(tǒng)中的表示[y,t1]=lsim(H,x,t);%模擬輸出subplot(2,1,1),plot(t,x),title(”輸入信號”)%繪輸入信號subplot(2,1,2),plot(t1,y)%繪制輸出信號title(”輸出信號”),xlabel(”時間/s”)0-10-20-30B/d /幅振-50-60-70

橢圓模擬高通濾波器-800 500 1000 1500頻率/Hz

2023 2500 3000圖5-24 例5-18設計濾波器的幅頻響應圖輸入信號210-1-20 0.005 0.01 0.015 0.02

0.025 0.03 0.035 0.04輸出信號0.50-0.50 0.005 0.01 0.015 0.02時間/s

0.025 0.03 0.035 0.045-255-18濾波器的輸入和輸出信號5-245-25?？梢娝O計的高通濾波器完全符合要求，在阻帶邊界下降的分貝數(shù)達30dB。并且通帶和阻帶均有波浪，這正是橢圓濾波器的特點。將該濾波400Hz1600Hz400Hz1600Hz的信號。5-19Bessel200Hz,繪制濾波器的頻率特x(t)sin2f

2f1

t，其中f1=100Hz,f2=1000Hz。信號的采2樣頻率為10000Hz。試將原信號與通過該濾波器的模擬信號進展比較。%Samp5_19N=5;%濾波器階數(shù)Wn=200*2*pi;%邊界頻率[b,a]=besself(N,Wn);Besselfigure(1)[H,w]=freqs(b,a,512); %繪出濾波器的復數(shù)頻率特性magH=abs(H);phaH=unwrap(angle(H));%求幅頻響應和相頻響應subplot(2,1,1),plot(w/(2*pi),20*log10(magH));%以頻率為橫軸繪幅頻響應gridon;xlabel(”頻率/Hz”);ylabel(”振幅/dB”);subplot(2,1,2),plot(w/2/pi,angle(H)*180/pi);%繪制相頻響應gridon;xlabel(”頻率/Hz”);ylabel(”相位/^o”)figure(2) %的