全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承諾書2012高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承諾書我們仔細閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的,如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們授權(quán)全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽組委會，可將我們的論文以任何形式進行公開展示（包括進行網(wǎng)上公示，在書籍、期刊和其他媒體進行正式或非正式發(fā)表等）。我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項填寫）：D 我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設(shè)置報名號的話）：20122118所屬學(xué)校（請?zhí)顚懲暾娜撼Ｖ菁徔椃b職業(yè)技術(shù)學(xué)院參賽隊員(打印并簽名)：1.王銘2.趙一名3.陳清指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負責(zé)人(打印并簽名)：日期：2012年9月9賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：2012高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽編號專用頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）：PAGE36機器人行走避障優(yōu)化模型一：摘要隨著科技不斷的進步，人類能造出的機器人也越來越智能，未來機器人會在建筑、勘探、醫(yī)學(xué)、生產(chǎn)等多個領(lǐng)域中發(fā)揮重要作用，因此如何解決機器人在行走中的避障問題顯得尤為重要。本文主要研究了機器人行走避障最短路徑和最短時間路徑的問題。問題中給定區(qū)域中存在十二個不同形狀、不同尺寸的障礙物，且最終路線不能碰到障礙物周圍10個單位的界定區(qū)域，在對各種行走路徑分析中，我們發(fā)現(xiàn)雖然路線有無數(shù)條，但是我們用窮舉法給出若干種可能存在最短路徑的方案并進行比對。在對O→A最短路徑的求解中，我們利用了機械繪圖solidworks軟件仿真模擬結(jié)合手工計算得到可能存在的最短路徑，在對O→A最短路徑的分析中，我們有了一個猜想并進行證明，即通過證明具有圓形限定區(qū)域的最短路徑是由兩部分組成：一部分是平面上的自然最短路徑（即直線段），另一部分是限定區(qū)域的部分邊界，這兩部分是相切的，互相連接的。依據(jù)這個結(jié)果，我們可以認為最短路徑一定是由線和圓弧所組成的，因此我們建立了線圓結(jié)構(gòu)，這樣無論路徑多么復(fù)雜，我們都可以將路徑劃分為若干個這種線圓結(jié)構(gòu)來求解。同理，我們對于O→B，O→C都采用了先利用solidworks軟件進行仿真模擬得出最短路徑方案的方法，特別是由O出發(fā)經(jīng)過A、B、C的再到達O點的狀況，我們采用分段方式求解，即使用OA最短路徑、AB最短路徑、BC最短路徑、CO最短路徑所組成的，然后建立了最優(yōu)化模型對總體求解。最后，為了更好地驗證solidworks軟件仿真模擬所得出的結(jié)論，我們采用了Lingo12軟件對路徑的方程進行了最值的求解，最終Lingo12軟件的操作結(jié)果很好地驗證了之前所得到各種結(jié)論。在第一問結(jié)論的基礎(chǔ)上，我們先針對第二問列出目標(biāo)函數(shù)，再次利用solidworks軟件對目標(biāo)函數(shù)的所有自變量給出了合理的范圍，最后用Ling12計算出目標(biāo)函數(shù)的最值，即得到了最短時間路徑的模型。最終得到的結(jié)論總結(jié)如下：問題一，我們使用窮舉法把所有可能路徑的最短路徑用機械繪圖軟件solidworks2010表示出來，讀出這若干個線圓組合的具體長度并制出表格，并使用lingo9進行編程驗證，最后得出：O→A最短路徑長度為：471.0375O→B最短路徑長度為：853.6995O→C最短路徑長度為：1088.1969O→A→B→C→O最短路徑長度為：2730.0075問題二，我們方案都進行優(yōu)化，求得最終結(jié)果：O→A最短時間為：94.20804s關(guān)鍵字：避障最短，時間最短，線圓組合，solidworks2010，lingo9二：問題重述圖1是一個800×800的平面場景圖，在原點O(0,0)點處有一個機器人，它只能在該平面場景范圍內(nèi)活動。圖中有12個不同形狀的區(qū)域是機器人不能與之發(fā)生碰撞的障礙物，障礙物的數(shù)學(xué)描述如下表：編號障礙物名稱左下頂點坐標(biāo)其它特性描述1正方形(300,400)邊長2002圓形圓心坐標(biāo)(550,450)，半徑703平行四邊形(360,240)底邊長140，左上頂點坐標(biāo)(400,330)4三角形(280,100)上頂點坐標(biāo)(345,210)，右下頂點坐標(biāo)(410,100)5正方形(80,60)邊長1506三角形(60,300)上頂點坐標(biāo)(150,435)，右下頂點坐標(biāo)(235,300)7長方形(0,470)長220，寬608平行四邊形(150,600)底邊長90，左上頂點坐標(biāo)(180,680)9長方形(370,680)長60，寬12010正方形(540,600)邊長13011正方形(640,520)邊長8012長方形(500,140)長300，寬60在圖1的平面場景中，障礙物外指定一點為機器人要到達的目標(biāo)點（要求目標(biāo)點與障礙物的距離至少超過10個單位）。規(guī)定機器人的行走路徑由直線段和圓弧組成，其中圓弧是機器人轉(zhuǎn)彎路徑。機器人不能折線轉(zhuǎn)彎，轉(zhuǎn)彎路徑由與直線路徑相切的一段圓弧組成，也可以由兩個或多個相切的圓弧路徑組成，但每個圓弧的半徑最小為10個單位。為了不與障礙物發(fā)生碰撞，同時要求機器人行走線路與障礙物間的最近距離為10個單位，否則將發(fā)生碰撞，若碰撞發(fā)生，則機器人無法完成行走。機器人直線行走的最大速度為個單位/秒。機器人轉(zhuǎn)彎時，最大轉(zhuǎn)彎速度為，其中是轉(zhuǎn)彎半徑。如果超過該速度，機器人將發(fā)生側(cè)翻，無法完成行走。請建立機器人從區(qū)域中一點到達另一點的避障最短路徑和最短時間路徑的數(shù)學(xué)模型。對場景圖中4個點O(0,0)，A(300,300)，B(100,700)，C(700,640)，具體計算：(1)機器人從O(0,0)出發(fā)，O→A、O→B、O→C和O→A→B→C→O的最短路徑。(2)機器人從O(0,0)出發(fā)，到達A的最短時間路徑。注：要給出路徑中每段直線段或圓弧的起點和終點坐標(biāo)、圓弧的圓心坐標(biāo)以及機器人行走的總距離和總時間。圖1800×800平面場景圖三：問題分析問題要求我們建立數(shù)學(xué)模型，找出從區(qū)域中一點到另一點的避障最短路徑和最短時間路徑?？紤]最短路徑時規(guī)劃出了O→A的四種極限位置(圓弧最長和圓弧最短)的路徑，但由于題目中12個障礙物周圍10個單位是危險區(qū)域，不能靠近，這些因素將對我們接下來考慮更為復(fù)雜的O→B、O→C的路徑造成很大困難，所以我們畫出平行于障礙物邊的線段和半徑為10的圓?。▓A心各為障礙物的頂角），使用線段和圓弧限制出這些區(qū)域，這樣問題就得以簡化。對于最短避障路徑問題，我們都知道兩點之間直線最短，由于有障礙物的存在，我們只能找出最貼近兩點連線的路徑，在路徑的選取時我們采用了窮舉法。具體方法為使用solidworks2010軟件模擬拉繩法尋找可能的最短路徑（假設(shè)平面上有A、B兩點，我們將A、B兩點以橡皮筋連接，我們從旁邊推入一棱為圓弧狀的立方體，則橡皮筋必被撐拉，那么此橡皮筋的路徑為一條可能的最短路徑），為了驗證結(jié)果的準(zhǔn)確性，我們用Lingo12軟件對列出的目標(biāo)函數(shù)進行最值求解，最終發(fā)現(xiàn)Lingo12的計算結(jié)果很好的驗證了之前所得到的結(jié)論。對最短時間路徑問題，由于機器人在圓弧上的速度隨著圓弧的半徑變化而變化，則我們猜想最短時間路徑可能不是最短避障路徑。我們也找到一個不為10的半徑，其總耗時比最短避障路徑用時短驗證了我們的猜想。所以我們采用lingo12軟件并給出相關(guān)約束條件，建立最優(yōu)化數(shù)學(xué)模型。四：模型假設(shè)假設(shè)障礙物為規(guī)則圖形。假設(shè)機器人為質(zhì)點。假設(shè)機器人速度為瞬間變化，不考慮加速度。五：模型的建立問題一：5.1：方法我們采用solidworks人工模擬拉繩找出第一問中O→A的所有存在可能的一些路徑，并對數(shù)據(jù)進行篩選分析，找出最有可能的最短路徑，然后通過對O→A最短路徑的求解規(guī)律分析后建立猜想并證明猜想，最終驗證我們的路徑，然后推廣到O→B，O→C，O→A→B→C→O。5.1.1：O→A我們通過solidworks2010軟件模擬出O點到A點可能的路徑，然后從中選取了四種極限的方案，如下圖所示：A方案B方案C方案D方案（注：圖中藍色路徑即為仿真模擬得到的機器人行走路徑）數(shù)據(jù)見如下表所示：O點到A點的四種方案方案名線段長弧度線段長直線總長度總弧長總長A方案41.891681.15°（246.86）92.2161134.1077349.6367483.7444B方案224.499451.86°237.4868461.98629.0513471.0375C方案138.336779.57°（153.09）158.5467296.8834212.6049509.4883D方案237.486863.82°249.7999487.286711.1387498.4254（注：線段長和弧度數(shù)據(jù)由solidworks2010軟件直接讀出，弧長由matlab軟件計算得出。）四種方案分別走正方形的上方和下方，每路均為圓弧最長和圓弧最短兩種方案，通過數(shù)據(jù)比對，不難發(fā)現(xiàn)在同一路徑中，圓弧最長路線的總路程要比圓弧最短的總路程要長，即A方案比B方案長，C方案比D方案長。所以我們猜想O到A最短路線必須滿足圓弧最短，即當(dāng)半徑R=10的時候，為我們所要找的最短路徑方案。通過上述分析，我們做出一個猜想：對于任意給定兩點AB，在AB間存在一不可逾越的圓形障礙物，有如下結(jié)論：A到B最短路徑為AM+NB+EQ\o\ac(\s\up12(⌒),MN)證明如下：由切線定理與三角形全等知識易證P點位EQ\o\ac(\s\up12(⌒),MN)中點設(shè)半圓半徑為r，設(shè)則CN=，則弧長EQ\o\ac(\s\up12(⌒),PN)=，令CN=EQ\o\ac(\s\up12(⌒),PN)=Y==對Y進行求導(dǎo)，得EQ\o\ac(\s\up12(⌒),PN)CNEQ\o\ac(\s\up12(⌒),MN)+NB即證：最短避障路徑必由線段和最小半徑構(gòu)成的圓弧組成。5.1.2：O→B對于O→B，我們的中心思想與O→A相同，可以選擇從障礙物5上方和下方分兩條路徑，其中路徑均由solidworks2010軟件得到。因為O→B之間障礙物不是太多，我們并不需要選取公共點來篩選掉相關(guān)方案，直接使用窮舉法我們共得6種可能存在最短路徑的方案，并通過solidworks2010軟件繪制出了所有路徑圖形（見附錄2）。O→B的C方案（最短路徑）路徑圖（注：圖中藍色路徑即為仿真模擬得到的機器人行走路徑）方案名總線段長總弧長總長方案C812.000141.6994853.6995最短路徑由以下各數(shù)據(jù)構(gòu)成：（注：其他方案相關(guān)詳細數(shù)據(jù)見附錄3。）5.1.3：O→C對于Ｏ到Ｃ，我們我們也找出了多種可能路徑，但由于O到C中間障礙物過多，所以我們采用選取節(jié)點的方法分段分析：P點P點P點P點P點P點P點P點P點P點（注：P點即為障礙物11右邊界定線與右下角界定圓弧的交點，圖中藍色路徑即為機器人行走路徑）O到P點由若干個線圓組合，但P點是一個公共的中間點，所以我們只需比較各種方案中O到P點的路徑長度即可篩選出最優(yōu)方案，其他方案其他公共點篩選方法同理，最終我們找出一條最短路徑，如下圖所示：（注：圖中藍色路徑即為仿真模擬得到的機器人行走路徑）其他相關(guān)路徑方案見附錄2。最短路徑由以下各數(shù)據(jù)構(gòu)成：方案名總線段長總弧長總長方案A1066.322421.87251088.1949（注：其他方案相關(guān)詳細數(shù)據(jù)見附錄3。）5.1.4：O→A→B→C→對于O→A→B→C→O，這種路徑很特殊，因為我們必須途徑A、B、C三個中間點才能到達目標(biāo)點，我們采用了分段的方式一一求解，分別求出O→A，A→B，B→C，C→O最短路徑的方案，結(jié)合起來即為O→A→B→C→O的最短路徑方案。在尋找O→A最短路徑時，我們直接引用了前面的結(jié)論，但在尋找Ａ→Ｂ的最短路徑時發(fā)現(xiàn)了問題。因為題目規(guī)定機器人在A點不能直接拐彎，也需要走圓弧，所以我們假設(shè)在A、B、C三個中間點附近各有一可以旋轉(zhuǎn)的半徑為10的圓環(huán)，且ABC三點均在圓環(huán)上。為了更好地解決特殊路徑中的最短路徑問題，我們猜想可固定該圓環(huán)。下面我們來證實此猜想。猜想：如果一個圓環(huán)可以繞著環(huán)上一個定點轉(zhuǎn)動，那么過圓環(huán)外兩定點連接一根繩子，并以該圓環(huán)為支撐拉緊繩子，達到平衡狀態(tài)時，圓心與該頂點以及兩條切線的延長線的交點共線。證明：如圖4.31所示，E點就是圓環(huán)上的一個頂點，ACDB就是拉緊的繩子，就是切線AC和BD的延長線的交點，證明、E、三點共線。我們可以用力學(xué)的知識進行證明，因為是拉緊的繩子，所以兩邊的繩子拉力相等，設(shè)為，它們的合力設(shè)為，定點對圓環(huán)的作用力設(shè)為。那么由幾何學(xué)的知識我們可以知道一定與共線，而又由力的平衡條件可知：=-即與共線。所以我們可以說：O→A→B→C→O最短路徑方案必然滿足這樣一條件：即A、B、C均為轉(zhuǎn)彎圓弧的中間點。據(jù)此，我們結(jié)合之前O→A、A→B、B→C、C→O中各最短路徑方案，最終給出最短路徑，如下圖所示：（其中A→B、B→C中各種路徑方案見附件2，各種方案的具體數(shù)據(jù)見附件3）。（注：圖中藍色路徑即為仿真模擬得到的機器人行走路徑）5.2驗證5.2.1O→A為了說明我們數(shù)據(jù)的嚴(yán)謹性，我們采用Lingo12軟件驗證我們的模型。設(shè)變量如下：圓心坐標(biāo)（x，290-x），圓弧的角度為y，O點到A點的總距離為S：有S=需求O到A的最短路徑，即為求解S的最小值。通過分析路徑的極限形式，可得到約束條件：，51.86通過lingo軟件編程（程序見附錄4）求解得：x=80y=51.86即圓心坐標(biāo)（80，,210）圓弧角度為51.86°lingo軟件與solidworks的出的數(shù)據(jù)對比如下表所示：方法圓心坐標(biāo)圓弧角度弧長solidworks(80,210)51.86°9.05lingo(80,210)51.86°9.051278誤差幾乎為0，可見Lingo軟件很好地驗證了之前的最短路徑方案。由solidworks2010軟件結(jié)合手工計算所得的模型為最優(yōu)模型，總體很好。5.2.2O→B由于O→B、O→C、O→A→B→C→O的最短路徑都比較復(fù)雜，我們不在一一對其驗證過程進行敘述，僅對O→B的最短路徑驗證過程進行詳細描述。我們給出如下假設(shè)：第一個圓心坐標(biāo)和其對應(yīng)的圓心角，第二個圓心坐標(biāo)和其對應(yīng)的圓心角，第三個圓心坐標(biāo)和其對應(yīng)的圓心角，第四個圓心坐標(biāo)和其對應(yīng)的圓心角，第五個圓心坐標(biāo)和其對應(yīng)的圓心角，故O→B的總距離L=求L的最小值，即為O到B路徑最小值。通過分析路徑的極限形式可得到約束條件如下：，，，，，，，，，，，，通過Lingo12軟件編程（程序見附錄4）求解得：第一個圓心坐標(biāo)和其對應(yīng)的圓心角24.25°第二個圓心坐標(biāo)和其對應(yīng)的圓心角44.55°第三個圓心坐標(biāo)和其對應(yīng)的圓心角78.24°第四個圓心坐標(biāo)和其對應(yīng)的圓心角56.66°第五個圓心坐標(biāo)和其對應(yīng)的圓心角35.22°lingo軟件與solidworks的出的數(shù)據(jù)對比如下表所示：solidworks第一圓第二圓第三圓第四圓第五圓圓心坐標(biāo)圓弧角度24.25°44.55°78.24°56.66°35.22°lingo第一圓第二圓第三圓第四圓第五圓圓心坐標(biāo)圓弧角度24.25°44.55°78.24°56.66°35.22°誤差幾乎為0。由此可知我們的方法一的模型為最優(yōu)化模型，總體較好。由于Lingo12軟件是我們用來驗證最短路徑的工具，且上述O→A、O→B方程的解（由Lingo12得出）與方法一的數(shù)據(jù)吻合度極高，O→A、O→B兩種方程復(fù)雜程度完全不同，具有很高的代表性，則我們完全可以認為我們方法一得到的O→C、O→A→B→C→O的數(shù)據(jù)完全正確。問題二在對問題：尋找O→A、O→B、O→C、O→A→B→C→O最短避障路徑我們發(fā)現(xiàn)Lingo12軟件和Solidworks2010軟件在上述問題中有著很好地求解作用，我們對問題二考慮將兩軟件Lingo12和Solidworks2010相結(jié)合，具體方法為使用Solidworks2010軟件模擬仿真并給出約束條件，在使用Lingo12軟件對方程進行求解。最后得出最優(yōu)化模型。由公式易知機器人轉(zhuǎn)彎時的速度與機器人轉(zhuǎn)彎圓弧的半徑有關(guān)，且半徑越大，速度越快，因為O→A最短時間路徑仍由線圓組合構(gòu)成，所以需要考慮機器人在行走過程中盡可能保證避障路徑長度盡可能短。因此，機器人轉(zhuǎn)彎的圓弧與障礙物危險區(qū)域的圓弧相內(nèi)切。故我們設(shè)參數(shù)：圓弧所對圓心坐標(biāo)為任意一點（x，y），圓弧半徑為z。圓弧所對圓心角度為w，O→A的機器人行走時間為T，且T滿足方程T=根據(jù)Solidworks2010軟件拉出極限形式O→A的區(qū)間。我們在后面的計算中發(fā)現(xiàn)用Lingo12軟件找出的約束條件優(yōu)越性遠大于用手工計算，給出如下約束條件：，，，，由Lingo12軟件編程可求得：x=80.08210y=209.9198z=10.11474w=51.8°此時可以得出。將上述x、y數(shù)據(jù)帶入solidworks可驗證出：由此可以說明我們計算的結(jié)論正確，再次使用Solidworks2010軟件進行仿真模擬，路徑如下圖所示：（注：圖中藍色路徑即為仿真模擬得到的機器人行走路徑）由圖可看出該路徑符合題中各項要求。綜上，我們以找出問題的所有模型，其中所有最短路徑的各個坐標(biāo)見附錄1。六：模型的評價與推廣本模型最大特色和優(yōu)點就是以Solidworks2010軟件仿真模擬與驗證結(jié)合，求解過程簡單明了，尤其是兩軟件結(jié)合使用非常好的保證了模型中各數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性和精確度。易于操作，且便于給出各個點具體坐標(biāo)，成功的解決了問題一和問題二。模型的缺點在于使用Solidworks2010軟件仿真過程中對數(shù)據(jù)的處理要求比較高，為了能夠得到最佳模型，在使用Solidworks2010軟件過程中對數(shù)據(jù)的處理非常細致，萬一模擬過程發(fā)生失誤則必須從頭再來，容錯率較低。在現(xiàn)實生活中，本模型的應(yīng)用性較強，在各個領(lǐng)域都有涉及，比如機器人在地震災(zāi)區(qū)、核輻射地區(qū)等某些危險區(qū)域內(nèi)躲避障礙物并幫助人類完成救援工作；中國對周邊島嶼的巡查等七：參考文獻[1]趙靜但琦，數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗，高等教育出版社，2009[2]楊啟帆等，數(shù)學(xué)建模競賽，浙江：浙江大學(xué)出版社，2005[3]朱道遠，數(shù)學(xué)建模案例精選，北京：科學(xué)出版社，2003[4]汪曉銀，數(shù)學(xué)軟件與數(shù)學(xué)實驗，科學(xué)出版社，2008[5]黃海英，Solidworks入門與提高，清華大學(xué)出版社，2005附錄四：1、O到A最短路徑程序：model:min=a+b+c;a=@sqrt(x^2+(290-x)^2-10^2);b=@sqrt((300-x)^2+(10+x)^2-10^2);c=3.14159265358979323846*10*y/180;@bnd(0,x,80); @bnd(51.86,y,90);End程序Localoptimalsolutionfound.Objectivevalue:471.0376Infeasibilities:0.000000Extendedsolversteps:5Totalsolveriterations:104ModelClass:NLPTotalvariables:5Nonlinearvariables:1Integervariables:0Totalconstraints:4Nonlinearconstraints:2Totalnonzeros:9Nonlinearnonzeros:2VariableValueReducedCostA224.49940.000000B237.48680.000000C9.0512780.000000X80.00000-1.126465Y51.860000.1745329RowSlackorSurplusDualPrice1471.0376-1.00000020.000000-1.00000030.000000-1.00000040.000000-1.0000002、O到B的最短路徑的程序：model:min=a+b+c+d+e+f+g;a=@sqrt(x1^2+y1^2-100);b=@sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2);c=@sqrt((x3-x2)^2+(y3-y2)^2-400);d=@sqrt((x4-x3)^2+(y4-y3)^2);e=@sqrt((x5-x4)^2+(y5-y4)^2-400);f=@sqrt((100-x5)^2+(700-y5)^2-100);g=3.14159265358979323846*(z1+z2+z3+z4+z5)/18;y4=x4+310;y5=2/3*x5+500;y3=-x3+690;@bnd(24.25,z1,90);@bnd(44.55,z2,90);@bnd(78.24,z3,90);@bnd(56.66,z4,90);@bnd(35.22,z5,90);@bnd(0,x1,60);@bnd(0,x2,150);@bnd(220,x3,280);@bnd(220,x4,280);@bnd(0,x5,150);@bnd(300,y1,310);@bnd(435,y2,450);@bnd(470,y3,490);@bnd(530,y4,550);@bnd(600,y5,620);endObjectivevalue:853.6995Infeasibilities:0.000000Totalsolveriterations:23ModelClass:NLPTotalvariables:22Nonlinearvariables:10Integervariables:0Totalconstraints:11Nonlinearconstraints:6Totalnonzeros:45Nonlinearnonzeros:20VariableValueReducedCostA305.77770.000000B162.24980.000000C75.663730.000000D60.000000.000000E96.953600.000000F111.35530.000000G41.699410.000000X160.00000-0.3584792Y1300.00000.1490546X2150.0000-0.3704458Y2435.00000.3694773X3220.00001.462573Y3470.00000.000000X4220.00001.000000Y4530.00000.000000X5150.0000-0.3903360Y5600.00000.000000Z124.250000.1745329Z244.550000.1745329Z378.240000.1745329Z456.660000.1745329Z535.220000.1745329RowSlackorSurplusDualPrice1853.6995-1.00000020.000000-1.00000030.000000-1.00000040.000000-1.00000050.000000-1.00000060.000000-1.00000070.000000-1.00000080.000000-1.00000090.000000-0.2780051100.0000000.1760316110.0000000.53742703、O到A的最短時間程序：model:min=a+b+c;a=@sqrt(x^2+(290-x)^2-y^2)/5;b=@sqrt((300-x)^2+(x+10)^2-y^2)/5;c=3.1415926*y*z*(1+e^(10-0.1*y^2))/900;x=(y-10)/@sqrt(2)+80;@bnd(80,x,247);@bnd(10,y,247);@bnd(51.86,z,81.15);End運算結(jié)果Localoptimalsolutionfound.Objectivevalue: