控制工程課件控制系統(tǒng)的頻域響應(yīng)第一頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期六采用正弦信號作為輸入信號，當系統(tǒng)穩(wěn)定后，其輸出稱頻率響應(yīng)。系統(tǒng)輸入r(t)=Sint輸出（穩(wěn)定后）c(t)=ASin（t+）

系統(tǒng)對不同頻率的正弦輸入的響應(yīng)特性稱為頻率特性。引言對于一般的線性定常系統(tǒng)，其輸出為：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

第二頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期六數(shù)學基礎(chǔ)：

付立葉（富里哀）級數(shù)、復(fù)變函數(shù)等頻率響應(yīng)法特點： 是一種圖解分析法，可以根據(jù)開環(huán)的頻率特性去判斷閉環(huán)性能；還可以指出改善性能的途徑，并對系統(tǒng)進行校正；系統(tǒng)的頻率特性很容易通過實驗獲得，用S代替j就成了傳遞函數(shù)。頻率特性是一種廣泛使用的工程方法。在控制理論中占有很重要的地位。

頻率特性用于系統(tǒng)的分析與設(shè)計， 根據(jù)：一般周期性的輸入信號可以分解為付立葉富里哀）級數(shù)，它由一些不同頻率、幅值的正弦分量組成，知道了各正弦分量的響應(yīng)便知道全部的響應(yīng)（迭加）第三頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期六一、基本概念系統(tǒng)輸入r(t)=RSin(t+0)通常令0=0穩(wěn)定后輸出C(t)=CmSin（t+）三要素：頻率：

不變

幅值：

RCm關(guān)系為：

幅角：

0

關(guān)系為：

G(s)§4-1頻率特性的基本概念第四頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期六幅頻特性相頻特性輸入r(t)=RSin（t+0）頻率特性控制系統(tǒng)的頻率特性--基本概念第五頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期六二、頻率特性的求法控制系統(tǒng)的頻率特性--基本概念1．從輸出響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)項求?。豪纾?/p>

輸入信號為

輸出：

經(jīng)過反變換后，便可得：

前一項為穩(wěn)態(tài)項，則：

第六頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期六控制系統(tǒng)的頻率特性--基本概念2．從傳遞函數(shù)求取當我們用指數(shù)表達輸入輸出時，有：

則:而對于一般的線性定常系統(tǒng)，其微分方程為：

第七頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期六由此可知，將傳遞函數(shù)的S換后，用傳遞函數(shù)就表示了系統(tǒng)的頻率特性（幅頻、相頻均反應(yīng)），這樣是一個復(fù)變量，可表示為：控制系統(tǒng)的頻率特性--基本概念

等式右邊相當于把傳遞函數(shù)中的S換為則：

系統(tǒng)響應(yīng)為：

第八頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期六控制系統(tǒng)的頻率特性--基本概念

例如，對于

則：第九頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期六3、頻率特性的實驗確定方法系統(tǒng)測試儀:

正弦波發(fā)生器：幅值頻率可調(diào) 相關(guān)器：輸入輸出幅值相角比較計算 顯示：倍數(shù)、增益、相位差穩(wěn)定后輸出C(t)=CmSin(t+)輸入r(t)=MSint測試儀輸出1、選定幅值，測量各種頻率輸入下的增益和相位差；

2、描點畫出Bode圖；3、畫出近似特性曲線，由交點得轉(zhuǎn)折頻率控制系統(tǒng)的頻率特性--基本概念第十頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期六一、頻率特性的幾種表示方法例：直角坐標表示方法：極坐標表示方法：實頻特性虛頻特性§4-2頻率特性的極坐標圖第十一頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期六極坐標表示方法：§4-2頻率特性的極坐標圖當取不同值時，復(fù)數(shù)向量端點的軌跡就反映了頻率特性，由于它是在極坐標下的圖，因此，把它稱作頻率特性的極坐標圖(Nyquist圖

)第十二頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期六控制系統(tǒng)的頻率特性--極坐標圖二、典型環(huán)節(jié)的奈氏圖第十三頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期六典型環(huán)節(jié)的極坐標圖：∞=0↑=1/2小0∞∞0

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二階振蕩環(huán)節(jié)控制系統(tǒng)的頻率特性--極坐標圖第十四頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期六典型環(huán)節(jié)頻率特性極坐標圖的大致走向按照各個典型環(huán)節(jié)頻率特性在各個頻率下的大小迭加而成。它是一條大致的曲線，需要準確的地方，如：和負實軸相交的地方，才需要準確計算三、系統(tǒng)頻率特性極坐標圖（奈奎斯特曲線）的繪制第十五頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期六每增加一個慣性環(huán)節(jié),起始點不變,終點仍在原點，只是相角切入角-90°;此時,頻率特性曲線與負實軸會有交點,應(yīng)準確求出:令虛部為零,得到代入實部便得第十六頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期六與例1區(qū)別僅多了一個積分環(huán)節(jié)由于=0+時，慣性環(huán)節(jié)的相角有很小的負值，所以，曲線在=0+處應(yīng)在第三象限隨的增加，幅值減小，相角滯后越大，變化趨勢如圖。（從使用角度，不必準確）=∞幅值為零，相角為3*（-90°）。最關(guān)心的是相角＝-180°時的幅值。第十七頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期六“0”型系統(tǒng)：奈氏曲線從實軸（幅值=K處）開始奈氏曲線在=0到0+的變化隨系統(tǒng)的不同而差別很大：“1”型系統(tǒng)：奈氏曲線從實軸（幅值=∞處）開始，=0+就轉(zhuǎn)過-90°到負虛軸附近；是在第三或第四象限，應(yīng)比較=0+時各零點的相角之和與各極點相角之和哪個大，前者大則在第四象限，否則第三象限“2”型系統(tǒng)：奈氏曲線也是從實軸（幅值=∞處）開始，=0+就轉(zhuǎn)過-180°到負實軸；是在第二或第三象限，也是比較=0+時各零點的相角之和與各極點相角之和，前者大則第三象限，否則第二象限系統(tǒng)奈奎斯特曲線（開環(huán)頻率特性極坐標圖）的繪制要點：第十八頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期六n>m:奈氏曲線終止在原點（=∞），切入方向根據(jù)零、極點確定,即：N(-90°)+M(90°)求奈氏曲線與實軸的交點：令虛部為零，得到代入實部而得第十九頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期六一、半對數(shù)坐標表示方法(Bode圖)兩張圖：相頻特性對數(shù)幅頻特性半對數(shù)坐標：

頻率橫坐標刻度按對數(shù)值等分標注仍用實際頻率值描述增益與頻率的關(guān)系描述相角與頻率的關(guān)系Lg0.6=-0.2218Lg0.8=-0.0969Lg2=0.301Lg3=0.4771Lg4=0.602Lg20=1.301§4-3頻率特性的伯德圖第二十頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期六二、典型環(huán)節(jié)的頻率特性比例環(huán)節(jié)控制系統(tǒng)的頻率特性—典型環(huán)節(jié)伯德圖第二十一頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期六-20dB/dec20dB-20dB/dec積分環(huán)節(jié)L1(w)20lgK110控制系統(tǒng)的頻率特性—典型環(huán)節(jié)伯德圖第二十二頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期六慣性環(huán)節(jié)≈控制系統(tǒng)的頻率特性—典型環(huán)節(jié)伯德圖第二十三頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期六

wt>>1的近似線斜率-20dB/dec,與零分貝線交于處慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性通常用折線近似:

繪制慣性環(huán)節(jié)的Bode圖方法控制系統(tǒng)的頻率特性—典型環(huán)節(jié)伯德圖第二十四頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期六1/τ-20dB/decL(ω)wφ(ω)-90°wL(ω)1-84.3°-45°-5.7°繪制慣性環(huán)節(jié)的Bode圖的方法2、wt<<1部分畫0dB/dec線3、延長至1/t處斜率轉(zhuǎn)折為-20dB/dec線1、找出w＝1/t稱w=1/t轉(zhuǎn)折頻率相頻特性不能用近似特性需要時，對近似特性進行校正，通過轉(zhuǎn)折頻率w=1/t處-3dB點畫光滑曲線控制系統(tǒng)的頻率特性—典型環(huán)節(jié)伯德圖第二十五頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期六w慣性環(huán)節(jié)極坐標圖G(jw)幅值隨w增加而變小，幅角從0→-90°，矢量末端軌跡是個半圓對照BODE圖w=0處實部＝1控制系統(tǒng)的頻率特性—典型環(huán)節(jié)伯德圖第二十六頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期六120dB/dec1/τwφ(ω)-90°wL(ω)1-45°-20dB/decL(ω)+45°G(jw)=1+jwt微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)與積分環(huán)節(jié)互為倒數(shù)，它們的Bode圖以實軸相互對稱；而一階微分環(huán)節(jié)則與慣性環(huán)節(jié)對稱?？刂葡到y(tǒng)的頻率特性—典型環(huán)節(jié)伯德圖第二十七頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期六幅頻特性：相頻特性：對數(shù)幅頻特性：振蕩環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性低頻段0dB/dec線，過轉(zhuǎn)折頻率1=1/后斜率變?yōu)?40dB/dec直線控制系統(tǒng)的頻率特性—典型環(huán)節(jié)伯德圖第二十八頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期六振蕩環(huán)節(jié)Bode圖幅頻特性精確曲線與大小有關(guān),因此，近似曲線應(yīng)根據(jù)值進行修正；誤差最大發(fā)生在=1/處。0.10.20.30.40.50.70.80.91L()14.07.964.441.940-2.92-4.08-5.1-6相頻特性曲線也與大小有關(guān)L()|=1/=-20lg(2)控制系統(tǒng)的頻率特性—典型環(huán)節(jié)伯德圖第二十九頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期六遲后環(huán)節(jié)遲后環(huán)節(jié)的Bode圖=0極坐標圖：控制系統(tǒng)的頻率特性—典型環(huán)節(jié)伯德圖第三十頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期六前式兩邊取對數(shù)再乘20，得系統(tǒng)開環(huán)頻率特性大都是典型環(huán)節(jié)串聯(lián)起來的這樣，系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性、相頻特性分別是串聯(lián) 典型環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻 特性、相頻特性相加二、系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制控制系統(tǒng)的頻率特性—典型環(huán)節(jié)伯德圖第三十一頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期六系統(tǒng)可看成三個環(huán)節(jié)串聯(lián)：一個比例環(huán)節(jié)、兩個慣性環(huán)節(jié)低頻為0dB/dec直線，在i=1/Ti處轉(zhuǎn)折為-20dB/dec的直線控制系統(tǒng)的頻率特性—典型環(huán)節(jié)伯德圖第三十二頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期六L1()20lgKw1=1/T1L2()-20dB/decL3()w2=1/T20dB/dec-20dB/dec-40dB/decL()系統(tǒng)相頻特性通過表達式計算描點分析：系統(tǒng)開環(huán)傳函由三個典型環(huán)節(jié)組成，其對數(shù)幅頻特性的近似特性由三段組成；轉(zhuǎn)折處頻率就是兩個慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率（=1/T）；經(jīng)過一個慣性環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)折頻率后，對數(shù)幅頻特性的近似特性的斜率增加-20dB/dec;控制系統(tǒng)的頻率特性—典型環(huán)節(jié)伯德圖第三十三頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期六

根據(jù)上述分析，繪制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性的近似特性步驟如下：①求出各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率。②畫高度為20lgK的直線，從01（最小的轉(zhuǎn)折頻率）作為系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性近似特性的低頻段。③在1后，斜率變?yōu)?20dB/dec,因為該轉(zhuǎn)折處頻率是慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率（振蕩環(huán)節(jié)則-40dB/dec)，隨的增加，每經(jīng)過一個轉(zhuǎn)折頻率，幅頻特性的斜率改變一次。④系統(tǒng)相頻特性通過表達式計算描點控制系統(tǒng)的頻率特性—典型環(huán)節(jié)伯德圖第三十四頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期六解：該系統(tǒng)由5個典型環(huán)節(jié)組成：1、比例環(huán)節(jié)

K=4

20lgK=12dB3、慣性環(huán)節(jié)

轉(zhuǎn)折頻率

1=1/2=0.5(1/sec)

幅頻特性經(jīng)過1斜率增加-20dB/dec；

相頻特性為0°→-45°→-90°4、一階微分環(huán)節(jié)

轉(zhuǎn)折頻率

2=1/0.5=2（1/sec）

幅頻特性經(jīng)過2斜率增加+20dB/dec

； 相頻特性為0°+45°+90°2、積分環(huán)節(jié)

幅頻特性-20lg是一條過=1，斜率-20dB/dec

的直線 相頻特性-90°

5、振蕩環(huán)節(jié)

轉(zhuǎn)折頻率

3=1/0.125=8（1/sec）

幅頻特性經(jīng)過3斜率增加-40dB/dec

相頻特性為0°-90°

-180°

2T=0.05=0.2幅頻特性應(yīng)修正20lg2=8dB

第三十五頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期六-60dB/decL()2=

21=0.512dB-20dB/dec-20dB/dec-40dB/dec()

=0.23附近幅值應(yīng)修正,增加8dB3=8準備坐標：頻率范圍：最小1=0.5，最大3=8；橫坐標范圍大約從0.05到80w-f(w)0.5-1221.6-1292-1278-19110-237第三十六頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期六()-60dB/decL()2=

21=0.5-20dB/dec-20dB/dec-40dB/dec3=8Bode定理二線性最小相位系統(tǒng)，L()與()關(guān)系唯一Bode定理一線性最小相位系統(tǒng)，L()的斜率與()有對應(yīng)關(guān)系：斜率為N*(±20dB/dec)對應(yīng)相角N*(±90°)；系統(tǒng)的相角當然由整個頻率范圍內(nèi)的各斜率決定，但某頻率下的相角主要由該頻率下的斜率決定，其余斜率的影響越遠越小。第三十七頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期六系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制小結(jié)：繪制系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線（Bode圖）：有兩張圖，都是按典型環(huán)節(jié)相加，開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線通常可以使用近似特性，繪制時根據(jù)傳遞系數(shù)、環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率和斜率一步就可以畫出繪制系統(tǒng)頻率特性極坐標圖（奈奎斯特曲線）：抓住曲線頭尾的特征，曲線與實軸的交點計算而得繪制系統(tǒng)頻率幅相圖（尼柯爾斯圖線）：先畫Bode圖，再對應(yīng)描點繪制控制系統(tǒng)的頻率特性—典型環(huán)節(jié)伯德圖第三十八頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期六§4-5由頻率特性曲線求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)對于一般的線性定常系統(tǒng)，其頻率特性總可以寫成：

當=0

稱該系統(tǒng)為0型系統(tǒng)；當=1

稱該系統(tǒng)為I型系統(tǒng)；當=2

稱該系統(tǒng)為II型系統(tǒng)。以此類推。第三十九頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期六對0型系統(tǒng)（相當于比例、積分和慣性環(huán)節(jié)迭加）低頻段：ω很小，轉(zhuǎn)角頻率為：ω1=1/T1,ω2=1/T2,ω3=1/τ1。（設(shè)ω1<ω2<ω3）分別畫出各環(huán)節(jié)的漸近線，迭加后得：第四十頁，共四十九頁，編輯于2023年，星期六對I型系統(tǒng)（相當于比例、積分和慣性環(huán)節(jié)迭加）低頻段：ω很小，ωτ1、ωT1、ωt2<<1轉(zhuǎn)角頻率為：ω1=1/T1,ω2=1/T2,ω3=1/τ1。（設(shè)ω1<ω2<ω3）分別畫出各環(huán)節(jié)的漸近線，迭加后得：則ω=1時

低頻段近