文檔來源網(wǎng)絡(luò)侵權(quán)刪除第45講高次向低次的轉(zhuǎn)化與變換對于含參數(shù)的高次方程,而參數(shù)的次數(shù)比較低,可運(yùn)用“主元法”,視參數(shù)為主元,解參數(shù)為主元的方程,從而達(dá)到降次的目的,再解之,則簡單許多,對于高次的分式函數(shù),可根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征采用三角換元法向低次轉(zhuǎn)化才能求解,有些數(shù)學(xué)題,直接解答難以人手或十分煩瑣,特別是復(fù)雜的分式問題,利用倒置變換的方法求解,可化難為易.【例1】若關(guān)于的方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,則的取值范圍為（）A. B. C. D.【分析】本題實(shí)質(zhì)是高次方程又是分式方程,求解的方向必是降次,若能注意到對任意的必是原方程的一個(gè)根,則降次就很容易了,問題頓時(shí)得到了簡化.【解析】有4個(gè)實(shí)數(shù)解,顯然,是方程的一個(gè)解，下面只考慮情形,且有3個(gè)實(shí)數(shù)解即可.若,原方程等價(jià)于,顯然,則.要使該方程有解,必須,則,此時(shí),方程有且必有一解;則當(dāng)時(shí)必須有兩解,當(dāng)時(shí),原方程等價(jià)于,即,畫出函數(shù)圖像如圖所示(注意且),要使該方程有兩解,必須,解得,這也是上述幾種情況的公共部分,故為所求,選C.【例2】（1）解關(guān)于實(shí)數(shù)的方程,其中(2)的3個(gè)根分別為,并且是不全為零的有理數(shù),求的值.【分析】第問,直接解關(guān)于的4次方程是相當(dāng)困難的,但轉(zhuǎn)換與的位置形式,把原方程看作關(guān)于的二次方程,則直接可用十字相乘法再轉(zhuǎn)換為兩個(gè)關(guān)于的二次方程,用求根公式解,因?yàn)槭菍?shí)根,故判別式不能忘.第(2)問,找出三者的關(guān)系可以借鑒二次函數(shù)的零點(diǎn)法,當(dāng)然也可以直接利用一元三次方程的韋達(dá)定理來處理,此外,如果高次方程有有理根,那么該有理根應(yīng)是常數(shù)的約數(shù).【解析】(1)原方程可變?yōu)殛P(guān)于的二次方程,方程左邊利用十字相乘法分解得,從而轉(zhuǎn)化為兩個(gè)關(guān)于的二次方程.解上述兩個(gè)方程得,當(dāng)時(shí),原方程有4個(gè)實(shí)根, 當(dāng)時(shí),原方程有兩個(gè)實(shí)根,;當(dāng)時(shí),原方程無實(shí)根.（2）由題意可設(shè),則,從而有若,則有當(dāng)時(shí),,與條件不符,故,從而若,則有消去得.即,也就是.由于是有理數(shù),而方程無有理根,故,從而.綜上:或.【例3】設(shè),解關(guān)于的方程.【分析】由于原方程是關(guān)于的三次方程,難于直接求解,但是注意到參數(shù)的最高次冪是2,而且題中給定了的范圍,進(jìn)行參數(shù)與末知數(shù)的角色轉(zhuǎn)變,將原方程看成是關(guān)于的二次方程(即高次向低次轉(zhuǎn)化),就可得到與之間的數(shù)學(xué)關(guān)系,再利用給定的的范圍來求出即原方程的解.【解析】.將其看成關(guān)于的二次方程,則,或或.對于方程,其.【例4】函數(shù)的最大值與最小值的乘積等于（）【分析】由于所給函數(shù)是高次的分式函數(shù),形式又較復(fù)雜,只有向低次轉(zhuǎn)化才能求解,而三角換元法及三角降次公式有此功效,由于,可令,則解之不難.【解析】令,代人并化簡得 即,故.第46講新知識向舊知識的轉(zhuǎn)化與變換新的課程標(biāo)準(zhǔn)指出:“對新穎的信息、情境和設(shè)問,選擇有效的方法和手段收集信息、綜合與靈活地應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識、思想和方法,進(jìn)行獨(dú)立思考、探索和研究,提出解決問題的思路,創(chuàng)造性地解決問題.”這就要求學(xué)生面對陌生情境,迅速提取有用信息,挖掘創(chuàng)新試題的內(nèi)涵與本質(zhì),并合理遷移,運(yùn)用已學(xué)的知識加以解決.典型例題【例1】已知正數(shù)滿足,則的取值范圍是（）【分析】本題是多變量求范圍問題,此類題構(gòu)造較為復(fù)雜,是平時(shí)很少觸及的新題型,解題的關(guān)鍵是需要深入觀察兩個(gè)條件不等式的特點(diǎn),轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題來求解,當(dāng)然要實(shí)現(xiàn)這一新型題向常規(guī)題的轉(zhuǎn)化,構(gòu)造法發(fā)揮重要作用.【解析】已知條件可化為設(shè),則原問題轉(zhuǎn)化為:已知滿足求的取值范圍.作出點(diǎn)所在平面區(qū)域(如圖所示),求出的切線的斜率,設(shè)過切點(diǎn)的切線為,則,要使它最小,須.的最小值在點(diǎn)處,最小值為,此時(shí),點(diǎn)在圖像上兩點(diǎn)之間,點(diǎn)對應(yīng)點(diǎn)時(shí),解得,即,的最大值在點(diǎn)處,最大值為7.的取值范圍為,即的取值范圍是.【例2】（1）設(shè)是兩個(gè)非空集合,定義且,已知,求；（2）對任意實(shí)數(shù),定義運(yùn)算“*”如下:求:函數(shù)的值域?！痉治觥勘纠龑儆诙x了一種新的運(yùn)算的問題,新運(yùn)算的定義,使得問題處在一個(gè)新的背景之下.解決這類新知識題的關(guān)鍵是理解新運(yùn)算定義的內(nèi)涵,然后運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法,將新知識問題轉(zhuǎn)化為熟悉的舊知識問題加以解決.【解析】(1)由題意得.（2）由題意可知,.即當(dāng)時(shí),取與中的較小者,而當(dāng)時(shí),易得的值域?yàn)?【例3】對于定義域?yàn)榈暮瘮?shù),如果存在區(qū)間,同時(shí)滿足下列條件:(1)在內(nèi)是單調(diào)的;(2)當(dāng)定義域是時(shí),的值域也是,則稱是該函數(shù)的“和諧區(qū)間”.(1)判斷函數(shù)是否存在“和諧區(qū)間”,并說明理由;(2)如果是函數(shù)的一個(gè)“和諧區(qū)間”,求的最大值;(3)有些函數(shù)有無數(shù)個(gè)“和諧區(qū)間”,如,試再舉一例(無須證明).【分析】本題給出了一個(gè)新的數(shù)學(xué)概念:函數(shù)的“和諧區(qū)間”,實(shí)際上就是定義域與值域相同的區(qū)間,結(jié)合函數(shù)的性質(zhì),轉(zhuǎn)化為方程問題,運(yùn)用方程理論求解,所謂新概念是為問題創(chuàng)設(shè)一種新的情況,把新的情境熟悉化,就找到了解題的突破口,這就是“飲水思源”“化新為舊”的解題策略.【解析】(1)設(shè)是函數(shù)的“和諧區(qū)間”,則在上單調(diào)。所以或,因此,在上為增函數(shù)。則,即方程有兩個(gè)解。又因?yàn)榭苫癁?而無實(shí)數(shù)解，所以函數(shù)不存在“和諧區(qū)間”。(2)因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以或,則。所以是方程的兩個(gè)同號的實(shí)數(shù)根。即方程有兩個(gè)同號的實(shí)數(shù)根,注意到。只要,解得或.所以,其中或,所以當(dāng)時(shí),取最大值。(3)本小題答案不唯一,如可寫出下列形式函數(shù):為常數(shù)),為常數(shù)),等.【例4】求的最值.【分析】有些數(shù)學(xué)問題雖然并末涉及新知識,比如本題給出的函數(shù)解析式,是次數(shù)較高的分式函數(shù),初一看可能被嚇倒,實(shí)際上只要仔細(xì)分析其結(jié)構(gòu)特征,利用舊知識及常用的解題方法,其實(shí)是很容易解決的,讓我們觀察分母這個(gè)多項(xiàng)式,可化為,這一結(jié)構(gòu)可以聯(lián)想到萬能公式,則分子多項(xiàng)式就可以朝方向變形.如果能發(fā)