數(shù)值分析方法第一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六5.2.1.Euler方法設(shè)節(jié)點(diǎn)為xk=x0+kh

(h=(b-a)/n

k=0,1,…n)

方法一泰勒展開法（將y(xk+1)在xk泰勒展開得）則可得：第二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六

方法二數(shù)值微分法（用向前差商近似導(dǎo)數(shù)）第三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六方法三

數(shù)值積分法

第四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六依上述公式逐次計(jì)算可得：也稱Euler為單步法，又稱為顯格式的單步法。第五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六

2歐拉法的幾何意義：也稱歐拉折線法.從上述幾何意義上得知，由Euler法所得的折線明顯偏離了積分曲線，可見此方法非常粗糙。第六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六3.歐拉法的局部截?cái)嗾`差：定義

在假設(shè)yi=y(xi)，即第

i

步計(jì)算是精確的前提下，考慮的截?cái)嗾`差Ri=y(xi+1)

yi+1

稱為局部截?cái)嗾`差定義

若某算法的局部截?cái)嗾`差為O(hp+1)，則稱該算法有p

階精度。第七頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六

歐拉法的局部截?cái)嗾`差：歐拉法具有1階精度。第八頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六5.2.2后退的歐拉公式（隱式歐拉公式）向后差商近似導(dǎo)數(shù)由于未知數(shù)yn+1

同時出現(xiàn)在等式的兩邊，故稱為隱式歐拉公式，而前者稱為顯式歐拉公式。隱式公式不能直接求解，一般需要用Euler顯式公式得到初值，然后用Euler隱式公式迭代求解。因此隱式公式較顯式公式計(jì)算復(fù)雜，但穩(wěn)定性好。第九頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六第十頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六幾何意義：向后差商近似導(dǎo)數(shù)x0x1))(,()(1101xyxfhyxy+第十一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六

見上圖，顯然，這種近似也有一定誤差，如何估計(jì)這種誤差y(xn+1)

yn+1

？方法同上，基于Taylor展開估計(jì)局部截?cái)嗾`差。但是注意，隱式公式中右邊含有f(xn+1

,yn+1),由于yn+1不準(zhǔn)確，所以不能直接用y'(xn+1)代替f(xn+1

,yn+1)設(shè)已知曲線上一點(diǎn)Pn(xn,yn),過該點(diǎn)作弦線，斜率為(xn+1

,yn+1)點(diǎn)的方向場f(x,y)方向,若步長h充分小，可用弦線和垂線x=xn+1的交點(diǎn)近似曲線與垂線的交點(diǎn)。幾何意義xnxn+1PnPn+1xyy(x)第十二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六隱式歐拉法的局部截?cái)嗾`差：第十三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六§1Euler’sMethod第十四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六隱式歐拉法的局部截?cái)嗾`差：即隱式歐拉公式具有1階精度?！?Euler’sMethod第十五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六比較歐拉顯式公式和隱式公式及其局部截?cái)嗾`差顯式公式隱式公式第十六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六

若將這兩種方法進(jìn)行算術(shù)平均，即可消除誤差的主要部分而獲得更高的精度,稱為梯形法5.2.3梯形公式第十七頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六

在用數(shù)值積分的方法推導(dǎo)歐拉公式時，右端的積分用梯形積分公式可得：第十八頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六梯形法的迭代計(jì)算和收斂性注：的確有局部截?cái)嗾`差，即梯形公式具有2

階精度，比歐拉方法有了進(jìn)步。但注意到該公式是隱式公式，計(jì)算時不得不用到迭代法，其迭代收斂性與歐拉公式相似。第十九頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六第二十頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六5.2.4

改進(jìn)的歐拉格式

歐拉方法容易計(jì)算，但精度較低；梯形公式精度高，但是隱式形式，不易求解；若將二者結(jié)合，可得到改進(jìn)的歐拉格式。第二十一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六

上述方法也可以表示為下述兩種形式：第二十二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六5.2.5歐拉兩步公式中心差商近似導(dǎo)數(shù)x0x2x1假設(shè)，則可以導(dǎo)出即中點(diǎn)公式也具有2階精度，且是顯式的。需要2個初值y0和y1來啟動遞推過程，這樣的算法稱為雙步法第二十三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六預(yù)測-校正系統(tǒng)中點(diǎn)法具有二階精度，且是顯式的，與梯形公式精度相匹配，用中點(diǎn)公式作預(yù)測，梯形公式作校正，得到如下預(yù)測校正系統(tǒng)：校正誤差約為預(yù)測誤差的1/4第二十四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六預(yù)測誤差和校正誤差的事后誤差估計(jì)式利用上兩式可以估計(jì)預(yù)測值和校正值與準(zhǔn)確值的誤差，可以期望，利用這兩個誤差分別作預(yù)測值和校正值的補(bǔ)償，有可能提高精度。設(shè)pn,cn分別為第n步的預(yù)測值和校正值，即此時cn+1未知，故用pn-cn代替第二十五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期六預(yù)測-校正-改進(jìn)公式注：利用該算法計(jì)算yn+1時，