格林公式曲線積分第一頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六一、格林公式設(shè)區(qū)域

D的邊界

L是由一條或幾條光滑曲線所組成.邊界曲線的正方向規(guī)定為:當(dāng)人沿邊界行走時,區(qū)域

D總在它的左邊,如圖

21-12所示.與上述規(guī)定的方向相反的方向稱為負(fù)方向,記為第二頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六定理21.11若函數(shù)在閉區(qū)域

D

上

有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),則有(1)這里

L為區(qū)域

D的邊界曲線,并取正方向.公式(1)稱為格林公式.證根據(jù)區(qū)域

D的不同形狀,這里對以下三種情形(i)若

D

既是

x

型又是

y

型區(qū)域(圖21-13),則可表為作出證明:第三頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六又可表為這里和分分別是曲線和的方程.于是

別為曲線和的方程,而和則圖

21-13第四頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六同理又可證得第五頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六將上述兩個結(jié)果相加即得(ii)若區(qū)域

D是由一條按段光滑的閉曲線圍成,且可用幾段光滑曲線將D分成有限個既是

x型第六頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六又是

y

型的子區(qū)域

(如圖21-14),則可逐塊按

(i)

得到它們的格林公式,然后相加即可.如圖21-14所示的區(qū)域

D,可將它分成三個既是

x

型又是

y

型的區(qū)域于是第七頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六(iii)若區(qū)域

D由幾條閉曲線所圍成,如圖21-15所示.

這把區(qū)域化為

(ii)

的情形來處時可適當(dāng)添加線段

理.在圖21-15中添加了

后,D的邊界則由第八頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六注1并非任何單連通區(qū)域都可分解為有限多個既是型又是型區(qū)域的并集,例如由及構(gòu)成.由(ii)知第九頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六所圍成的區(qū)域便是如此.注2為便于記憶,格林公式

(1)也可寫成下述形式:注3應(yīng)用格林公式可以簡化某些曲線積分的計算.請看以下二例:第十頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六第一象限部分

(圖21-16).

解對半徑為

r

的四分之一圓域D,應(yīng)用格林公式:由于因此例1計算其中曲線是半徑為

r

的圓在

第十一頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六例2計算其中

L為任一不包含原

點的閉區(qū)域的邊界線.解因為它們在上述區(qū)域

D上連續(xù)且相等,于是第十二頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六所以由格林公式立即可得在格林公式中,令則得到一個計算平面區(qū)域

D的面積

SD的公式:(2)第十三頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六例3計算拋物線與

x軸所圍圖形的面積

(圖21-17).解曲線由函數(shù)

表示,為直線于是第十四頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六第十五頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六二、曲線積分與路線的無關(guān)性在第二十章§2中計算第二型曲線積分的開始兩個例子中,讀者可能已經(jīng)看到,在例1中,以

A

為起點B

為終點的曲線積分,若所沿的路線不同,則其積分值也不同,但在例2中的曲線積分值只與起點和終點有關(guān),與路線的選取無關(guān).本段將討論曲線積分在什么條件下,它的值與所沿路線的選取無關(guān).首先介紹單連通區(qū)域的概念.若對于平面區(qū)域

D

內(nèi)任一封閉曲線,皆可不經(jīng)過

D第十六頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六以外的點而連續(xù)收縮于屬于

D的某一點,則稱此平面區(qū)域為單連通區(qū)域;否則稱為復(fù)連通區(qū)域.在圖

21-18

中,與是單連通區(qū)域,而與則

是復(fù)連通區(qū)域.單連通區(qū)域也可以這樣敘述:D

內(nèi)任一封閉曲線所圍成的區(qū)域只含有

D中的點.更通第十七頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六俗地說,單連通區(qū)域就是沒有“洞”的區(qū)域,復(fù)連通區(qū)域則是有“洞”的區(qū)域.定理21.12設(shè)

D

是單連通閉區(qū)域.若函數(shù)

在

D

內(nèi)連續(xù),且具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則以

下四個條件兩兩等價:(i)沿

D

內(nèi)任一按段光滑封閉曲線

L,有(ii)對

D中任一按段光滑曲線

L,曲線積分第十八頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六與路線無關(guān),只與

L的起點及終點有關(guān);(iii)是

D內(nèi)某一函數(shù)的全微分,即在

D內(nèi)有(iv)在

D內(nèi)處處成立證

(i)(ii)如圖

21-19,設(shè)與為聯(lián)結(jié)點

A,B的任意兩條按段光滑曲線,由

(i)可推得第十九頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六所以第二十頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六D內(nèi)任意一點.由

(ii),曲線積分與路線的選擇無關(guān),故當(dāng)在

D內(nèi)變動時,其

積分值是的函數(shù),即有

取充分小,使

則函數(shù)對于

x的偏增量(圖21-20)

(ii)(iii)設(shè)為

D內(nèi)某一定點,為

第二十一頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六因為在

D內(nèi)曲線積分與路線無關(guān),所以因直線段

BC

平行于

x

軸,故,從而由積分中值定理可得第二十二頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六其中根據(jù)在

D

上連續(xù),于是有同理可證所以證得(iii)(iv)設(shè)存在函數(shù)使得因此于是由第二十三頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六一點處都有(iv)(i)設(shè)

L

為

D

內(nèi)任一按段光滑封閉曲線,記L

所圍的區(qū)域為.由于

D

為單連通區(qū)域,所以區(qū)域含在

D

內(nèi).應(yīng)用格林公式及在

D

內(nèi)恒有的

條件,就得到以及

P,Q具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),便可知道在

D內(nèi)每第二十四頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六上面我們將四個條件循環(huán)推導(dǎo)了一遍,這就證明了它們是相互等價的.應(yīng)用定理21.12中的條件(iv)考察第二十章§2中的例1與例2.在例1中由于故積分與路線有關(guān).

在例2中由于

第二十五頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六所以積分與路線無關(guān).例4計算其中到點

D(0,1)的路徑(見圖21-21).分析如果第二型曲線積分在某單連通區(qū)域內(nèi)滿足與路徑無關(guān)的條件,則可改變積分路徑,使易于計算.L為沿著右半圓周由點

A(0,-1)第二十六頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六解記

易知除去點

E(0.5,0)外,處處滿足設(shè)為由點到點再到點最

圖

21-21第二十七頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六的折線段.后到點可被包含在某一不含奇點

E的單連通區(qū)域內(nèi),所以有第二十八頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六注1定理

21.12

中對“單連通區(qū)域”的要求是重要何不包含原點的單連通區(qū)域,已證得在這個區(qū)域內(nèi)的任何封閉曲線

L上,皆有(3)的.如本例若取沿

y軸由點

A到點

D的路徑,雖然算起來很簡單,但卻不可用.因為任何包含的單連通區(qū)域必定含有奇點

E.又如本節(jié)例

2,對任第二十九頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六只在剔除原點外的任何區(qū)域

D上有定義,所以

L必含在某個復(fù)連通區(qū)域內(nèi).這時它不滿足定理

21.12

的條件,因而就不能保證(3)式成立.事實上,若取

L

為繞原點一周的圓則有倘若

L為繞原點一周的封閉曲線,則函數(shù)第三十頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六注2若滿足定理21.12的條件,則由上述證明可看到二元函數(shù)具有性質(zhì)第三十一頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六例5試應(yīng)用曲線積分求的原函數(shù).解這里在整個平面上成立由定理21.12,曲線積分我們也稱為的一個原函數(shù).

第三十二頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六為此,取取路線為圖21-22中的折

注由例4

可見,若線段

于是有只與起點

A和終點

B有關(guān),而與路線的選擇無關(guān).

則求全微分的原函數(shù)可用公式第三十三頁，共三十七頁，編輯于2023年，星期六