計算題專項練〔二〕能量與動量綜合題過關練1.如下圖，光滑水平直軌道上有三個質量均為m的物塊A、B、C。B的左側固定一輕彈簧(彈簧左側的擋板質量不計)。設A以速度v0朝B運動，壓縮彈簧；當A、B速度相等時，B與C恰好相碰并粘接在一起，然后連續(xù)運動。假設B和C碰撞過程時間極短，求從A開頭壓縮彈簧直至與彈簧別離的過程中，(1)整個系統(tǒng)損失的機械能；(2)彈簧被壓縮到最短時的彈性勢能。解析：(1)從A壓縮彈簧到A與B具有相同速度v1時，對A、B與彈簧組成的系統(tǒng)，由動量守恒定律得mv0＝2mv1此時B與C發(fā)生完全非彈性碰撞，設碰撞后的瞬時速度為v2，損失的機械能為ΔE，對B、C組成的系統(tǒng)，由動量守恒定律和能量守恒定律得mv1＝2mv2eq\f(1,2)mv12＝ΔE＋eq\f(1,2)×(2m)v22解得ΔE＝eq\f(1,16)mv02。(2)由于v2＜v1，A將連續(xù)壓縮彈簧，直至A、B、C三者速度相同，設此速度為v3，此時彈簧被壓縮至最短，其彈性勢能為Ep，由動量守恒定律和能量守恒定律得mv0＝3mv3eq\f(1,2)mv02－ΔE＝eq\f(1,2)×(3m)v32＋Ep解得Ep＝eq\f(13,48)mv02。答案：(1)eq\f(1,16)mv02(2)eq\f(13,48)mv022.如下圖，光滑的eq\f(1,4)圓弧AB(質量可忽視)固定在甲車的左端，其半徑R＝1m。質量均為M＝3kg的甲、乙兩輛小車靜止于光滑水平面上，兩車之間通過一感應開關相連(當滑塊滑過感應開關時，兩車自動別離)。其中甲車上外表光滑，乙車上外表與滑塊P之間的動摩擦因數μ＝0.4。將質量為m＝2kg的滑塊P(可視為質點)從A處由靜止釋放，滑塊P滑上乙車后最終未滑離乙車。求：(1)滑塊P剛滑上乙車時的速度大??；(2)滑塊P在乙車上滑行的距離。解析：(1)設滑塊P剛滑上乙車時的速度為v1，此時兩車的速度為v2，以滑塊和甲、乙兩輛小車組成系統(tǒng)，規(guī)定向右為正方向，依據系統(tǒng)水平方向動量守恒列出等式：mv1－2Mv2＝0對整體應用能量守恒定律有：mgR＝eq\f(1,2)mv12＋eq\f(1,2)×2Mv22解得：v1＝eq\r(15)m/s，v2＝eq\f(\r(15),3)m/s。(2)設滑塊P和小車乙到達的共同速度為v，滑塊P在乙車上滑行的距離為L，規(guī)定向右為正方向，對滑塊P和小車乙應用動量守恒定律有：mv1－Mv2＝(m＋M)v對滑塊P和小車乙應用能量守恒定律有：μmgL＝eq\f(1,2)mv12＋eq\f(1,2)Mv22－eq\f(1,2)(M＋m)v2解得：L＝2m。答案：(1)eq\r(15)m/s(2)2m3.如下圖，水平固定一個光滑長桿，有一個質量為2m的小滑塊A套在細桿上可自由滑動。在水平桿上豎直固定一個擋板P，小滑塊靠在擋板的右側處于靜止狀態(tài)，在小滑塊的下端用長為L的細線懸掛一個質量為m的小球B，將小球拉至左端水平位置使細線處于自然長度，由靜止釋放，重力加速度為g。求：(1)小球第一次運動到最低點時，細繩對小球的拉力大??；(2)小球運動過程中，相對最低點所能上升的最大高度；(3)小滑塊運動過程中，所能獲得的最大速度。解析：(1)小球第一次擺到最低點過程中，由機械能守恒定律得mgL＝eq\f(1,2)mv2解得v＝eq\r(2gL)在最低點，由牛頓其次定律得F－mg＝meq\f(v2,L)解得F＝3mg。(2)小球與滑塊共速時，小球運動到最大高度h。取水平向右為正方向，由動量守恒定律與機械能守恒定律得mv＝(2m＋m)v共eq\f(1,2)mv2＝mgh＋eq\f(1,2)(2m＋m)v共2聯立解得h＝eq\f(2,3)L。(3)小球擺回最低點，滑塊獲得最大速度，此時小球速度為v1，滑塊速度為v2mv＝mv1＋2mv2eq\f(1,2)mv2＝eq\f(1,2)mv12＋eq\f(1,2)×2mv22解得v2＝eq\f(2,3)eq\r(2gL)。答案：(1)3mg(2)eq\f(2,3)L(3)eq\f(2,3)eq\r(2gL)4.(2018·安徽四校聯考)如下圖，半徑為R的四分之一光滑圓形固定軌道右端連接一光滑的水平面，質量為M＝3m的小球Q連接著輕質彈簧靜止在水平面上，現有一質量為m的滑塊P(可看成質點)從B點正上方h＝R高處由靜止釋放，重力加速度為g。(1)求滑塊到達圓形軌道最低點C時的速度大小和對軌道的壓力；(2)求在滑塊壓縮彈簧的過程中，彈簧具有的最大彈性勢能Epm；(3)假設滑塊從B上方高H處釋放，求恰好使滑塊經彈簧反彈后能夠回到B點時高度H的大小。解析：(1)滑塊P從A運動到C過程，依據機械能守恒定律得mg(h＋R)＝eq\f(1,2)mvC2又h＝R，代入解得vC＝2eq\r(gR)在最低點C處，依據牛頓其次定律得：FN－mg＝meq\f(vC2,R)解得FN＝5mg依據牛頓第三定律知滑塊P對軌道的壓力大小為5mg，方向豎直向下。(2)彈簧被壓縮過程中，當滑塊與小球速度相等時，彈簧具有最大彈性勢能，依據動量守恒定律得mvC＝(m＋M)v依據機械能守恒定律得eq\f(1,2)mvC2＝Epm＋eq\f(1,2)(m＋M)v2聯立解得Epm＝eq\f(3,2)mgR。(3)設滑塊P從B上方高H處釋放，到達水平面速度為v0，那么有mg(H＋R)＝eq\f(1,2)mv02彈簧被壓縮后再次恢復到原長時，設滑塊P和小球Q的速度大小分別為v1和v2，依據動量守恒定律得mv0＝－mv1＋Mv2依據機械能守恒定律得eq\f(1,2)mv02＝eq\f(1,2)mv12＋eq\f(1,2)Mv22要使滑塊P經彈簧反彈后恰好回到B點，那么有mgR＝eq\f(1,2)mv12聯立解得H＝3R。答案：(1)2eq\r(gR)5mg，方向豎直向下(2)eq\f(3,2)mgR(3)3R5.如下圖，質量mB＝2kg的木板B靜止于光滑水平面上，質量mA＝6kg的物塊A停在木板B的左端，質量mC＝2kg的小球C用長L＝0.8m的輕繩懸掛在固定點O?，F將小球C及輕繩拉直至水平位置后由靜止釋放，小球C在最低點與A發(fā)生正碰，碰撞作用時間很短為Δt＝10－2s，之后小球C反彈所能上升的最大高度h＝0.2m。A、B間的動摩擦因數μ＝0.1，物塊與小球均可視為質點，不計空氣阻力，取g＝10m/s2。求：(1)小球C與物塊A碰撞過程中所受的撞擊力大?。?2)為使物塊A不滑離木板B，木板B至少多長。解析：(1)C下擺至最低點的過程，依據動能定理有：mCgL＝eq\f(1,2)mCvC2解得碰前C的速度大小vC＝4m/sC反彈過程，依據動能定理有：－mCgh＝0－eq\f(1,2)mCvC′2解得碰后C的速度大小vC′＝2m/s取向右為正方向，對C依據動量定理有：－F·Δt＝－mCvC′－mCvC解得碰撞過程中C所受的撞擊力大小F＝1200N。(2)C與A碰撞過程，依據動量守恒定律有：mCvC＝－mCvC′＋mAvA解得碰后A的速度vA＝2m/sA恰好滑至木板B右端并與其共速時，所求B的長度最小，依據動量守恒定律有：mAvA＝(mA＋mB)v解得A、B的共同速度v＝1.5m/s依據能量守恒定律有：μmAgx＝eq\f(1,2)mAvA2－eq\f(1,2)(mA＋mB)v2解得x＝0.5m。答案：(1)1200N(2)0.5m6.如下圖，質量為4kg的小車靜止在光滑水平面上。小車AB段是半徑為0.45m的四分之一光滑圓弧軌道，BC段是長為2.0m的水平粗糙軌道，兩段軌道相切于B點。一質量為0.95kg的小物塊(可視為質點)靜止在小車右端。質量為0.05kg的子彈，以100m/s的水平速度從小物塊右端射入并留在物塊中，子彈與小物塊的作用時間極短。當小車固定時，小物塊恰好運動到A點。不計空氣阻力，重力加速度為10m/s2。(1)求小物塊與BC段的動摩擦因數和小物塊剛剛通過B點時對小車的壓力；(2)假設子彈射入前小車不固定，求小物塊在AB段上升的最大高度。解析：(1)小車質量M＝4kg，小物塊質量m＝0.95kg，子彈質量m0＝0.05kg，子彈初速度v0＝100m/s。子彈從小物塊右端射入物塊的過程動量守恒，設子彈與小物塊到達共同速度vC，取水平向左為正方向。依據動量守恒定律得：m0v0＝(m0＋m)vC代入數據解得vC＝5m/s圓弧光滑軌道半徑R＝0.45m，小車固定時，小物塊恰好運動到A點，設物塊和子彈到達B點時的速度大小為vB，物塊從B到A的過程，由機械能守恒定律可得：(m0＋m)gR＝eq\f(1,2)(m0＋m)vB2代入數據解得vB＝3m/sBC段長L＝2.0m，設小物塊與BC段的動摩擦因數為μ，物塊從C到B的過程，由動能定理得：－μ(m0＋m)gL＝eq\f(1,2)(m0＋m)vB2－eq\f(1,2)(m0＋m)vC2代入數據解得μ設小物塊剛通過B點時，受的支持力為FN。由牛頓其次定律得：FN－(m0＋m)g＝(m0＋m)eq\f(vB2,R)代入數據解得FN＝30N由牛頓第三定律可得，小物塊對小車的壓力大小為30N，方向豎直向下。(2)假設子彈射入前小車不固定，小物塊在AB段上升到最大高度時，小物塊和小車到達共同速度，設最終的共同速度為v，取水平向左為正方向，依據動量守恒定律得(m0＋m)vC＝(m0