專題分類討論思想

分類討論就是將要研究的數(shù)學(xué)對象按照一定的標(biāo)準(zhǔn)劃分為若干不同的情形，然后再逐類進(jìn)行研究和求解的一種數(shù)學(xué)解題思想.

分類討論問題是創(chuàng)新性問題之一，此類題綜合性強(qiáng)。在中考中，通常利用幾何的動態(tài)問題來考察學(xué)生的分類討論思想，加大試卷的區(qū)分度。中考導(dǎo)航

常見的需分類討論的知識點有三大類:（1）代數(shù)類:有絕對值、方程及根的定義,函數(shù)的定義以及點(坐標(biāo)未給定)所在象限等.（2）幾何類:幾何圖形的形狀與位置，未明確對應(yīng)關(guān)系的全等或相似的可能對應(yīng)情況等.（3）綜合類:代數(shù)與幾何類分類情況的綜合運(yùn)用.中考導(dǎo)航中考導(dǎo)航知識梳理

引起分類討論的主要原因：（1）概念本身是分類定義的（如絕對值）；（2）某些公式、定理、性質(zhì)、法則是有條件和范圍限制的；（3）題目條件和結(jié)論的不唯一；（4）含有字母系數(shù)的問題，需對該字母的不同取值范圍進(jìn)行討論；（5）圖形的位置和形狀不確定．中考導(dǎo)航分類思想的解題策略：（1）確定分類對象；（2）進(jìn)行合理分類（選擇分類標(biāo)準(zhǔn)，理清分類界限，不重復(fù)，不遺漏）；（3）逐類進(jìn)行討論；（4）歸納并作出結(jié)論.注重特征詞語：例：1.在邊AB所在直線上的動點;2.直線l把四邊形ABCD的面積分成2:3兩部分;

3.“⊙M與邊AB有且只有一個公共點”和“⊙M與直線AB有且只有一個公共點”的區(qū)別知識梳理考點突破代數(shù)類常常涉及絕對值，方程及根的定義，分式、根式方程.

1.已知|a|=5，|b|=3，且ab＜0，求a-b的值．

2.已知實數(shù)a，b分別滿足a2+2a=2，b2+2b=2，求的值.

3.已知直角三角形兩邊x，y的長滿足

則第三邊長為多少?4.（2016·荊門市）已知3是關(guān)于x的方程x2-（m+1）x+2m=0的一個實數(shù)根，并且這個方程的兩個實數(shù)根恰好是等腰三角形ABC的兩條邊的邊長，則△ABC的周長為（）A．7

B．10

C．11

D．10或11答案題型一

代數(shù)類分類討論在函數(shù)與方程題中滲透答案題型一

代數(shù)類5.函數(shù)

與x軸只有一個交點，求a的值與交點的坐標(biāo).6.關(guān)于x的方程，當(dāng)x在實數(shù)范圍內(nèi)時存在實數(shù)根，求滿足條件的實數(shù)m的取值范圍.7.甲、乙兩人分別從相距30km的Ａ,B兩地同時相向而行，經(jīng)過3h后相距3km，再經(jīng)過2h,甲到B地所剩的路程是乙到A地所剩路程的2倍，求甲、乙兩人的速度.答案題型一

代數(shù)類8．在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝－x＋2與反比例函數(shù)y＝x(1)的圖象有唯一公共點，若直線y＝－x＋b與反比例函數(shù)y＝x(1)的圖象有2個公共點，則b的取值范圍是(

)A．b>2B．－2<b<2C．b>2或b<－2D．b<－2答案題型二

幾何類

一、圖形形狀和位置的分類討論：比如等腰三角形中腰和底的分類討論，直角三角形中直角邊和斜邊的分類討論以及平行四邊形中邊和對角線的分類討論.

二、動點位置的分類討論9.矩形一個角的平分線分矩形一邊為1cm和3cm兩部分，則這個矩形的面積為多少？10.在半徑為5cm的⊙O中，弦AB=6cm，弦CD=8cm，且AB∥CD，求AB與CD之間的距離.答案題型二

幾何類

11.（中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考P34例6）答案題型二

幾何類

12.（零障礙中考P131T7）答案題型二

幾何類

13.（零障礙中考P131T8）答案題型三

綜合類

14.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考P115例315.(2016·黃岡)如圖，拋物線y＝

與x軸交于點A，點B，與y軸交于點C，點D與點C關(guān)于x軸對稱，點P是x軸上的一個動點.設(shè)點P的坐標(biāo)為(m,0)，過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q.(1)求點A，點B，點C的坐標(biāo)；答案壓軸題特殊三角形、四邊形問題的分類討論(2)求直線BD的解析式；(3)當(dāng)點P在線段OB上運(yùn)動時，直線l交BD于點M，試探究m為何值時，四邊形CQMD是平行四邊形；(4)在點P的運(yùn)動過程中，是否存在點Q，使△BDQ是以BD為直角邊的直角三角形？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.16.

(2016·寧波)從三角形(不是等腰三角形)一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個三角形的完美分割線.(1)如圖1，在△ABC中，CD為角平分線，∠A＝40°，∠B＝60°，求證：CD為△ABC的完美分割線；答案壓軸題相似三角形問題的分類討論(2)在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD為等腰三角形，求∠ACB的度數(shù)；16.(2016·蘭州)對于一個矩形ABCD及⊙M給出如下定

義：在同一平面內(nèi)，如果矩形ABCD的四個頂點到⊙M

上一點的距離相等，那么稱這個矩形ABCD是⊙M的

“伴侶矩形”.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：

y＝

x－3交x軸于點M，⊙M的半徑為2，矩形ABCD沿

直線運(yùn)動(BD在直線l上)，BD＝2，AB∥y軸，答案分析規(guī)律方法壓軸題與圓有關(guān)問題的分類討論當(dāng)矩形ABCD是⊙M的“伴侶矩形”時，點C的坐標(biāo)為__________________________.17.

(2016·大連)如圖1，△ABC中，∠C＝90°，線段DE在射線BC上，且DE＝AC，線段DE沿射線BC運(yùn)動，開始時，點D與點B重合，點D到達(dá)點C時運(yùn)動停止，過點D作DF＝DB，與射線BA相交于點F，過點E作BC的垂線，與射線BA相交于點G.設(shè)BD＝x，四邊形DEGF與△ABC重疊部分的面積為S，S關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示(其中0＜x≤m,1＜x≤m，m＜x≤3時，函數(shù)的解析式不同).(1)填空：BC的長是________；答案壓軸題方程、函數(shù)問題的分類討論解由圖象可知，BC＝3.3(2)求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍.答案規(guī)律方法解①如答圖1，當(dāng)0≤x≤1時，作DM⊥AB于M，結(jié)合題意與圖象可得，BC＝3，AC＝3－1＝2，∠C＝90°，∵∠B＝∠B，∠DMB＝∠C＝90°，∴△BMD∽△BCA，∵BD＝DF，DM⊥BF，∴BM＝MF，答案規(guī)律方法答案規(guī)律方法②如答圖2，作AN∥DF交BC于N，設(shè)BN＝AN＝x，在Rt△ANC中，∵AN2＝CN2＋AC2，答案規(guī)律方法規(guī)律方法本題考查四邊形綜合題、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會分類討論，正確畫出圖形，屬于中考壓軸題.規(guī)律方法∴C(0,2).∴A(－1,0)，B(4,0).(2)求直線BD的解析式；15.解∵點D與點C關(guān)于x軸對稱，∴D(0，－2).設(shè)直線BD的解析式為y＝kx－2，(3)當(dāng)點P在線段OB上運(yùn)動時，直線l交BD于點M，試探究m為何值時，四邊形CQMD是平行四邊形；答案解∵P(m,0)，∵四邊形CQMD為平行四邊形，∴QM∥CD，QM＝CD＝4，當(dāng)P在線段OB上運(yùn)動時，∴m＝2時，四邊形CQMD是平行四邊形.BD2＝22＋42＝20.①當(dāng)以點B為直角頂點時，有DQ2＝BQ2＋BD2，解得：m1＝3，m2＝4(不合題意，舍去)，∴點Q的坐標(biāo)為(3,2).答案規(guī)律方法(4)在點P的運(yùn)動過程中，是否存在點Q，使△BDQ是以BD為直角邊的直角三角形？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.②當(dāng)以點D為直角頂點時，有BQ2＝DQ2＋BD2，解得：m1＝－1，m2＝8，∴點Q的坐標(biāo)為(－1,0)，(8，－18).綜上可知，所求點Q的坐標(biāo)為(3,2)，(－1,0)，(8，－18).規(guī)律方法本題考查知識點較多，綜合性較強(qiáng)，主要考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，涉及待定系數(shù)法、平行四邊形的判定和性質(zhì)、直角三角形的判定和性質(zhì)、解一元二次方程、一次函數(shù)、對稱、動點問題等知識點.在第(4)小題中要注意分類討論思想的應(yīng)用.規(guī)律方法16.解∵∠A＝40°，∠B＝60°，∴∠ACB＝80°，∴△ABC不是等腰三角形，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠A＝40°，∴△ACD是等腰三角形，∵∠DCB＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD是△ABC的完美分割線.(2)在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD為等腰三角形，求∠ACB的度數(shù)；答案解①如答圖1，當(dāng)AD＝CD時，∠ACD＝∠A＝48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝48°＋48°＝96°.②如答圖2，當(dāng)AD＝AC時，答案∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝66°＋48°＝114°.③如答圖3，當(dāng)AC＝CD時，∠ADC＝∠A＝48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，∵∠ADC＝∠B＋∠BCD＞∠BCD，∴∠BCD≠48°，即這種情況不存在.綜上可知，∠ACB＝96°或114°.(3)如圖2，△ABC中，AC＝2，BC＝

，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD是以CD為底邊的等腰三角形，求完美分割線CD的長.答案規(guī)律方法解由題意可得，AC＝AD＝2，本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會分類討論思想，屬于中考?？碱}型