2.3.2二面角兩直線所成角的取值范圍：AB1O平面的斜線和平面所成的角的取值范圍：直線和平面所成角的取值范圍：復(fù)習(xí)回顧[0o,90o][0o,90o](0o,90o)1.在平面幾何中"角"是怎樣定義的？從一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線所組成的圖形叫做角。或:一條射線繞其端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的圖形叫做角。2.在立體幾何中,"異面直線所成的角"是怎樣定義的？

直線a、b是異面直線,在空間任選一點(diǎn)O,分別引直線a'//a,b'//b,我們把相交直線a'和b'所成的銳角（或直角）叫做異面直線所成的角。

3.在立體幾何中,"直線和平面所成的角"是怎樣定義的？

平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角,叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角。

問(wèn)題:異面直線所成的角、直線和平面所成的角有什么共同的特征？結(jié)論:它們的共同特征都是將三維空間的角轉(zhuǎn)化為二維空間的角,即平面角。攔洪壩水平面二面角1半平面定義平面的一條直線把平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做一個(gè)半平面。半平面:αlαl2．二面角的定義從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，每個(gè)半平面叫做二面角的面．棱為l，兩個(gè)面分別為、的二面角記為-l-

．llAB二面角－AB－l二面角－l－二面角C－AB－DABCD5OBA∠AOB二面角的認(rèn)識(shí)你從圖中看出了二面角的幾種寫法?⑴平臥式：⑵直立式：ABABllABl3．畫二面角怎樣度量二面角的大?。磕芊褶D(zhuǎn)化為兩相交直線所成的角？4．二面角的大小l在二面角-l-的棱l上任取一點(diǎn)O，如圖，在半平面和內(nèi)，從點(diǎn)O分別作垂直于棱l的射線OA、OB，射線OA、OB組成∠AOB．則∠AOB叫做二面角-l-的平面角怎樣度量二面角的大??？能否轉(zhuǎn)化為兩相交直線所成的角？OBAl4．二面角的大小在二面角-l-的棱l上任取一點(diǎn)O，如圖，在半平面和內(nèi)，從點(diǎn)O分別作垂直于棱l的射線OA、OB，射線OA、OB組成∠AOB．則∠AOB叫做二面角-l-的平面角怎樣度量二面角的大小？能否轉(zhuǎn)化為兩相交直線所成的角？OO1BAB1lA14．二面角的大小∠AOB的大小一定．1、二面角的平面角：

以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面上分別引垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。==?注:（1）二面角的平面角與點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)，只與二面角的張角大小有關(guān)。（2）二面角是用它的平面角來(lái)度量的，一個(gè)二面角的平面角多大，就說(shuō)這個(gè)二面角是多少度的二面角。

二面角的平面角的定義、范圍及作法

二面角的大小可以用它的平面角來(lái)度量．即二面角的平面角是多少度，就說(shuō)這個(gè)二面角是多少度．二面角的范圍：[0o,180o]．①二面角的兩個(gè)面重合：0o；②二面角的兩個(gè)面合成一個(gè)平面：180o；4．二面角的大?、燮矫娼鞘侵苯堑亩娼墙兄倍娼牵甇AB二面角的平面角必須滿足：3）角的邊都要垂直于二面角的棱1）角的頂點(diǎn)在棱上2）角的兩邊分別在兩個(gè)面內(nèi)10lOABAOB二面角的平面角哪個(gè)對(duì)?怎么畫才對(duì)?1.定義法根據(jù)定義作出來(lái)2.垂面法作與棱垂直的平面與兩半平面的交線得到lγABO12lOAB3.垂線法二面角的平面角的作法AOlD歸納：求二面角大小的步驟為：（1）找出或作出二面角的平面角；（2）證明其符合定義(垂直于棱)；（3）計(jì)算.尋找二面角的平面角在正方體ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二面角的平面角：（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D；（2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A.BACDA’B’C’D’（3）二面角A’-DB-B’的正切值BACDA’B’C’D’尋找二面角的平面角在正方體ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二面角的平面角：（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D；（2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A.尋找二面角的平面角BACDA’B’C’D’O尋找二面角的平面角在正方體ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二面角的平面角：（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D；（2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A.BACDA’B’C’D’O尋找二面角的平面角在正方體ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二面角的平面角：（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D；（2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A.例2已知空間四邊形ABCD的四條邊和對(duì)角線都相等，求平面ACD和平面BCD所成二面角的大小.

如圖，在三棱錐S-ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，

DE⊥SC，SA=AB=a，BC=

a

，E為SC中點(diǎn)，求二面角E-BD-C的大小。EDCBASA.O解：則由三垂線定理得AD⊥.∵sin∠ADO=

∴∠ADO=60°.∴二面角－l－的大小為60°.在Rt△ADO中，AOAD

例1、已知二面角－l

－，A為面內(nèi)一點(diǎn)，A到的距離為2，到l

的距離為4。求二面角－l

－的大小。lD過(guò)A作AO⊥于O，過(guò)O作OD⊥l

于D，連AD，l

就是二面角－l

－的平面角.分析：首先應(yīng)找到或作出二面角的平面角,然后證明這個(gè)角就是所求的平面角,最后求出這個(gè)角的大小。1．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB=2，BC=BB1=1，E為D1C1的中點(diǎn)，求二面角E－BD－C的正切值．AA1BB1CC1DD1EFG解：過(guò)E作EF⊥CD于F，于是，∠EGF為二面角E－BD－C的平面角．∵BC=1，CD=2，而EF=1，在△EFG中∵ABCD－A1B1C1D1是長(zhǎng)方體，∴EF⊥平面BCD，且F為CD中點(diǎn)，過(guò)F作FG⊥BD于G，連結(jié)EG，則EG⊥BD．∴M3.已知PA垂直于矩形ABCD所在面,PA=3,AB=1,BC=,(1)求二面角P-BD-A的正切值E2(2)求二面角B-PD-A的正切值C2PABD3CPABD3E1．如圖，M是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱AB的中點(diǎn)，求二面角A1－MC－A的正切值．ABCDMA1B1C1D1NH解：作AH⊥CM交CM的延長(zhǎng)線于H，連結(jié)A1H．∵A1A⊥平面AC，AH是A1H

在平面AC內(nèi)的射影，∴A1H⊥CM，∴∠A1HA為二面角A1－CM－A的平面角．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1．∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，且AM∥CD，則在直角△AMN中，AM=0.5，AN=1，MN=．PABCD過(guò)E作BD⊥PC于D，則∠BDE就是此二面角的平面角。連結(jié)ED，過(guò)B作BE⊥AC于E，E

∵△ABC為正△，∴BE=在Rt△PAC中，E為AC中點(diǎn)，則DE=在Rt△DEB中tan∠BDE=例1:已知正三角形ABC，PA⊥面ABC，且PA=AB=a，求二面角A-PC-B的的正切值。三垂線法:βαABPι例3．如圖P為二面角α–ι–β內(nèi)一點(diǎn)，PA⊥α,PB⊥β,且PA=5，PB=8，AB=7