§2中值定理

【考試要求】

1.理解并會(huì)應(yīng)用羅爾定理、拉格朗日中值

定理和泰勒定理，了解并會(huì)用柯西中值定理.

2.掌握用洛必達(dá)法則求未定式極限的方

法.

一、基本定理

1.費(fèi)爾馬定理

設(shè)函數(shù)/(%)在點(diǎn)尤0處可導(dǎo)，且在點(diǎn)與的某

個(gè)鄰域U(%o)內(nèi)，有/(%)</(々)或

(/(x)N/(%o))，則/'(/)=0?

2.羅爾定理

設(shè)函數(shù)/（%）滿足條件（1）在［。,可上連續(xù);

（2）在（凡4內(nèi)可導(dǎo)；（3）f（a）=f（b},則

書￡（〃,“，使得，（J）=0.

3.拉格朗日中值定理

設(shè)函數(shù)/（X）滿足條件（1）在［〃封上連續(xù);

（2）在（火。）內(nèi)可導(dǎo)，則使得

/(，)-/(")=-(〃<A<6)，

或?qū)懗蒮(Z>)-/(?)=f'\a+0(b-a)^b-a

=a+e(b-a),0<6<1).

注拉格朗日中值公式也可寫成

/(x+Ax)-/(x)=r(x+^Xx>Ax

(Ov"l),

稱為函數(shù)的有限增量公式.

推論1設(shè)函數(shù)/（無）在（〃⑼內(nèi)可導(dǎo)，且

/'（%）三0,則/（無）三。（常數(shù)）.

推論2設(shè)函數(shù)/（X）與g（x）在內(nèi)可

導(dǎo)，且/'（%）三gf貝I]/（元）三g（元）+C.

4.柯西中值定理

設(shè)函數(shù)/（尤）和g（x）滿足條件（1）在閉區(qū)

間［見習(xí)上連續(xù)；（2）在（〃⑼內(nèi)可導(dǎo)，且

g〈X）WO,則帶,使得

半口哭二圈（yc）.

g（b）-g（a）gg）I

5.泰勒公式

定理1設(shè)函數(shù)/(x)在巧的某個(gè)鄰域u(x0)內(nèi)

〃階可導(dǎo)，則有泰勒公式

,2

/(x)=/(x0)+/(x0)(x-x0)+^^(x-x0)

+…+---------(X7()J>

n1

其中K(元)=o((尤-尤0))(元―>龍。)稱為皮亞諾

型余項(xiàng).

定理2設(shè)函數(shù)/(%)在含有米的某個(gè)開區(qū)

內(nèi)〃+1階可導(dǎo)，則當(dāng)工￡(〃/)時(shí)，有泰

勒公式

r(x)

f0f2

/(x)=/(x)+/(x)(x-x)+X-X0)

0002!I

(〃))(無o)(

/%-%o)

+???+n\I

〃+i

其中A（x）=(〃+l)!I)

學(xué)在x與與之間），稱為拉格朗日型余項(xiàng).

當(dāng)“0=0時(shí)，得麥克勞林公式

/(x)=/(O)+r(O)x+^-^x2

廠）（嘰”

+???++M("卜

n\

其中衣(x)=o(x")(xf0)或

n+l

n+1)!

（J在0與x之間），也可寫為

￡（x）=/；：《；）x""（Q<e<i）.

常用的麥克勞林公式

2一3一〃

XXX

(1)e=l+x+——+——+???+——+H+1

2!3!n\(n+1)!

（J在0與x之間）,

或

23n/八

x.XXX

e=1+XH-----1-------F???H------O\X);

2!3!n\v7

(2)

5

sinx=x-—+

3!5!

.（eIm+1'

2m-1sincH---------兀

I2J2m+l

+（-廣-7-------------r----F

（2zn-l）!（2m+l）!

或

32m-l

xX/<\機(jī)一1

sinx=+…+㈠）+01為-1）；

3!?■（2/w-l）!

cosx=l-—+—

2!4!

(3)

2/w4+四與

…+(-I2)2m+1

（2zw）!(2/n+l)!

或

2m

/\帆X

cosx=l-—+—---F(-1)7----O(x2m)；

2!4!

(5)

a(a-l)?

(l+xf=1+axH——--------x+???

2!

a-n-l

產(chǎn)(aT)?,(丫。（。一

a—"+l）?1）…（a—”）（l+4）_________

n\（^Zl）!

或

/\aa(a-i),

(1+x)=l+ax-i——+…

.a(……(…+1)；

n\v)

二、重要結(jié)論

求輔助函數(shù)(原函數(shù))時(shí)常用的幾個(gè)求導(dǎo)

公式:

(?G

J

v+

)(

-W

>+

+、

(N

xL

)\

~H

H一「〔

一?(7X

))X+

>、X(

點(diǎn)一)

〕

。、

〕〕

(((s

Ld8

)))

⑸(同=/(刈;

(6)[Z>f(x)-ttg(x)]="'(元)—ag'(x)；

(7)[/(x)lnx=9'(元)ln元+/(%)；

三、典型例題

題型1關(guān)于三一個(gè)使

/⑺⑷=0(〃=1,2,…)的證明

提示：證法有以下三條思路：

(1)驗(yàn)證在［。,可上s/羅爾定理?xiàng)l

件，可得證明；

(2)利用泰勒公式證明(適合于二階及二階

以上可導(dǎo)的情況)；

（3）利用費(fèi)爾馬定理證明.

例1設(shè)/（X）在［0,1］上連續(xù)，在（0,1）內(nèi)可

導(dǎo)，且3.=/（0）,證明：在（0,1）內(nèi)至

3

少存在一點(diǎn)晟使得,（劣=0.

提示：利用積分中值定理，找合適的子區(qū)

間［巧,％］u（0,1）,使/（/）=/（%）,在子區(qū)間

［修,%］上應(yīng)用羅爾定理即可?

證明由積分中值定理知三5使

3p(x)dx=/(^),即/信)=/(0),又

3

?.?/(%)在［0&］上連續(xù)，在(0/J內(nèi)可導(dǎo)，由羅

爾定理知，書?0&)(=(0,1),使/(4)=0.口

例2設(shè)/（x）在［0,2］上連續(xù)，在（0,2）內(nèi)具

有二階導(dǎo)數(shù)，且lim&D=0,

COS7TX

2

2p（x）dx=/（2）,證明書w（0,2）,使得

2

r（^）=o.

提示：在［0,2］上尋找不同的兩點(diǎn)X］,馬，構(gòu)

造子區(qū)間［元1，元2］U(0,2),使/(%1)=/(%2)，

再對r(x)在上,芍］應(yīng)用羅爾定理即可.

證明由條件2￡/(x)dx=/(2)及積分中

2

J川，使『(力”2)，對

值定理知，3^

/(%)在子區(qū)間［幾2］上應(yīng)用洛爾定理知,

玲￡（左2）,使r值）=o,又已知/（X）在（0,2）

內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，知r（x）連續(xù)，

/（x）/'（X）

???lim乂/=limJv7=0,

X^1cosnxX^1-Ttsin7ix

22

nlim/f(x)=/f-=0,再對r(x)在區(qū)間

T(2J

2

-^2上應(yīng)用洛爾定理知，

(\\(\\

梏￡彳&u不,2u(O,2),使r'K)=O.

127k27

例3已知/(“)在［a,可上連續(xù),在(〃/)內(nèi)

/"(X)存在,又連結(jié)A(a"(a)),兩

點(diǎn)的直線交曲線y=/(x)于點(diǎn)。卜"k))，且

a<c<b,試證：三一個(gè)自￡(生。)，使得

r'⑷=。?

提不：由點(diǎn)A/,C共線

—P/(>/—(〃)_—/㈤-/⑷

c-ab-cb-a

證明對/(x)在［a,c］和卜，可上分別應(yīng)用拉

格朗日中值定理得

r（「）C，行（飲），

廣㈤W，$.城），

由切線〃弦A3及A,￡。三點(diǎn)共線可知，

「（o）=r?）J（C，再對廣（尤）在

區(qū)看2〕上應(yīng)用羅爾定理知，

"￡（&怎）U（a,"使尸⑷=0.

例4若/（x）在［〃,可上具有〃階導(dǎo)數(shù)，且

/（〃）=/（方）=f@）=/",）=.=/g）（b）=o

則轉(zhuǎn)使得/（"）（/）=0.

提不：有兩種方法（1）連續(xù)使用"次羅爾

定理,即書￡（配⑷U（G,9,使"）管）=0；

（2）若題設(shè)條件為/（元）〃階可導(dǎo)，選取合適的

點(diǎn)X0,使/（元）在元0展成比〃低一階的泰勒公式,

使問題得證.

證法1對/（無）在［〃,句上應(yīng)用羅爾定理知，

監(jiān)￡（〃,方）,使r（3=0,

??/㈤=r㈤=o；對r⑺在憂例上應(yīng)用

羅爾定理知,抽￡（幾6）,使尸⑸=o,

??.f"值）=f"e）=o；

再對了"（"）在依村上應(yīng)用羅爾定理知，

孤￡（務(wù)?,使

/"'（4）=0,尸）（久J=尸）㈤=0；

最后再對/(I)(x)在歸7,可上應(yīng)用羅爾定

理知,理￡(配,154,方)，使/⑺⑷=0.□

證法2取

g(?.?/㈤=/㈤=尸㈤=…=尸(/>)=(

，將/(%)在尤0=力展開為〃-1階泰勒公式，即

/(x)=/(^)+//(Z>)(x-^)+^^(x-Zr)2+--

W）/7T+*"G）（/i7）

（Ji在無與之間）.

由條件

/（?）=/（/＞）=r㈤=尸（方）==尸）㈤=o

得

f（、/⑺信）/N

廣（I）?

令

X=?=>/（?）=—~~—8）“，J￡（。,））,

，，?

??,/（〃）=0,〃一）/0,故有

/⑺⑷=0,」￡（〃,〃）.

例5設(shè)/（x）在［〃,可上可導(dǎo)，且

力⑷?￡伍）＜0,則轉(zhuǎn)￡（火方）,使得了'⑷=0.

提示：此題找不到子區(qū)間使兩端點(diǎn)的函數(shù)

值相等，所以不能用羅爾定理，若用泰勒公式,

通常要知道一個(gè)端點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)值，條件也無,

因此，只能考慮用費(fèi)爾馬定理.

證明由力（〃>￡（8）<0知，月（〃）與

￡（“異號，不妨設(shè)以'（。）>0,工'（方）<0,由導(dǎo)

數(shù)定義

/；(?)=lim'）八J>0及

x^ax-a

""）一/㈤<0.由極限的保號性

x-b

知，3^>0,及心>0,當(dāng)%￡（%〃+必）及

X￡一32M時(shí)，有

/(x)-/(tt)ZXZX

…>~(”)>/(〃)(X>?)(1),

及

?。┮弧何椋?lt;0^>/(x)>/(Z>)(x<Z>)(2)

x-b

又???f(x)在［〃,可上連續(xù),f(x)在［〃,可上必有

最大值，由(1),(2)知，最大值不在［凡目的

端點(diǎn)上取得，必在(〃,“內(nèi)部取得.不妨設(shè)

/(f)=max/(x)=>/(x)</(^),xe(a,Z>),

又:/（x）在可上可導(dǎo)，由費(fèi)爾馬定理知

/⑷=0.

題型2關(guān)于存在一個(gè)3使

尸[4"⑷"'⑷]=0的證明

提示：構(gòu)造輔助函數(shù)，用羅爾定理.

構(gòu)造函數(shù)步驟：（1）將J換為?。?）恒等

變形，便于積分；(3)積分(或解微分方程);

(4)分離常數(shù)：F(x,/(x))=C,貝IJ

耳卜"(％))即為所需的輔助函數(shù).

例1設(shè)/(X)在&句上可導(dǎo)，/(〃)=/㈤,

證明：道￡(〃,方),使/(〃)—/(/=斤'(/.

提示：方法1構(gòu)造輔助函數(shù)

方(x)=獷(x)-/(〃)%在［見習(xí)上應(yīng)用羅爾定

理即可.

方法2構(gòu)造輔助函數(shù)耳(2)=4>(%),在［〃,可上

應(yīng)用拉格朗日中值定理即可.

證明法1

,?"（4）+"（g）-/（a）=H（x）-/（Q）xL=0

令b(x)=-/⑷x,則夕(x)在［a,可

上連續(xù)，在(〃⑼內(nèi)可導(dǎo),且歹(。)=方(5)=0,

由羅爾定理知，帶￡(〃,方)，使『(/=0,即結(jié)

論成立.

法2v/(?)=/(^),所證等式即

/(〃)=/⑷+“⑷

bf(b^-af(a)f

b-aW(“)L，

令網(wǎng)x)=w(x),則方(x)在［a,可上連續(xù)，在

(a,9內(nèi)可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理知,

使.(2.(")二b'(4)，

b-a

即結(jié)論成立.

注將含4的項(xiàng)移至等號的右端，左端化為差

商求輔助函數(shù).

例2設(shè)/(X),g(x)在［%可上連續(xù),在(。,力)

內(nèi)可導(dǎo)，且對有g(shù)'(x)w0,求證:

近e(a,b),使得g何-g(向g，(1

提示：構(gòu)造輔助函數(shù)

F(x)=/(x)g(^)+/(?)g(x)-/(x)g(x)

在儲(chǔ)口上應(yīng)用羅爾定理即可.

證明將結(jié)論中的J換為“得

/(〃)一/(%)=/'(%)

g(x)-g(Z>)/(?

即/'(x)ge)+/(a)g'(元)

=r(x)g(無)+/(尤)g'(x),

兩邊積分得

/(x)g(Z>)+/(?)g(x)=/(x)g(x)+C,

分離常數(shù)

/(x)g(Z>)+/(?)g(x)-/(x)g(x)=C,

令

F(x)=/(x)g(Z>)+/(?)g(x)-/(x)g(x),

vF(a)=f(a)g(d)+f(a)g(a)-f(a)g(a)

=/(〃)gW)=F(b)

由羅爾定理知，3^G使F《)=0,

??尸⑶=/'(殺伍'⑶g⑶+/⑶g")=0,

g灑-gdg，（媒

例3設(shè)f（x）在［0,1］上連續(xù)，（0,1）內(nèi)可導(dǎo),且

/(o)=/(i)=o,嗎)=1，

證明

（1）存在〃￡使/（〃）=〃；

(2)對任意實(shí)數(shù);I,必存在《￡(0,〃)，使得

r⑷-3⑷-小i.

提示：(1)構(gòu)造輔助函數(shù)方(x)=/(x)-x在

上應(yīng)用由零點(diǎn)定理即可；

(2)構(gòu)造輔助函數(shù)G(x)=[/(x)-x]ef

在［0,〃］上應(yīng)用羅爾定理即可.

證明(1)將結(jié)論中〃換為X,得/(元)=”,

「11

令。(%)=/(%)-%，則M")在一/u［oj］上

2

連續(xù)，

>0,

^(1)=/(1)-1=-1<0,由零點(diǎn)定理知,

三〃￡,使得

2’

夕⑺=0,即/(〃)=〃.

(2)把結(jié)論中J換為”得

r(x)-2[/(x)-x]=L恒等變形為

f

[/(%)-%=丸[/(%)-%，

^y=f(X)-Xf.-.y=2j,即r=4兩邊積分

y

得：Inj=Ax+Cp

/.j=Ce2x(C=eC1),即/(x)—x=Ce",分離

常數(shù)得卜⑺_x『二C.

令輔助函數(shù)為5(x)=［/(x)r］「x,KljF(x)

在［0,〃］上連續(xù)，在(0月)內(nèi)可導(dǎo)，且方(0)=0,

由(1)知，方(〃)=［/(〃)一〃上一沏=0,對夕(%)

在［0力］上應(yīng)用羅爾定理知，養(yǎng)?0力)，使得

P⑷=0,即

苗為［/⑷3］+e%［r⑷—+0,故

/⑷-丸［/⑷8］=L□

例4設(shè)/(%),g(x)在［〃,可上連續(xù),證明:

書?心。)，使得

/⑷￡g3dx=g@f/O0dx.

提示：構(gòu)造輔助函數(shù)

(x)=j/(x)dx-g(x)dx,在［a,上應(yīng)用

羅爾定理即可.

證明將結(jié)論中的身奐為X,并移項(xiàng)得

/(x)￡g(r)dr-g(x)￡/(r)dr=0,兩邊積分

得

￡/(r)dr-￡g(r)dr=c,設(shè)輔助函數(shù)

F(X)=￡/(r)dr-￡g(r)dr,于是F(無)在［〃,可

上連續(xù)，在（“M內(nèi)可導(dǎo)，且尸⑷辛e）=o,

由羅爾定理知，m遇（“M，使得〃管）=0,即

結(jié)論成立.

例5設(shè)/（X）在［0,1］上連續(xù)，在（0,1）內(nèi)可

導(dǎo),/（0）=0,且當(dāng)2>0時(shí),/（x）>0,試證

明：對任意正數(shù)左，必存在《￡（0,1）,使得

廣(4“(18)

提示：構(gòu)造輔助函數(shù)

/(x)=/(x)r(l-元)在(0,1)上應(yīng)用羅爾定理

即可.

證明將結(jié)論中的J換為％,并移項(xiàng)得

f八,日

f'(x}-k々f(一l-x^\=o,兩邊積分得

/(X)/(1-x)

In/(x)+kln/(1-x)=C

=^ln[/(x)-/^(l-x)]=C,

c

即/(x)r(l-x)=C1(C1=e),

令爪X)=〃X)/(17),

則耳（元）在［0,1］上連續(xù)，在（0,1）內(nèi)可導(dǎo)，且

F（0）=F（l）=0,由羅爾定理知，3^e（O,l）,

使得尸g）=o,即韜=需力成立.

/⑺八1一勺

題型3直接用拉格朗日或柯西中值定理證

明存在一個(gè)J的命題

例1設(shè)/（元）在可上連續(xù)，在（"M內(nèi)可導(dǎo),

試證明：轉(zhuǎn)￡（〃/）,使得

嗎*=/（加“?.

提示：若欲證的結(jié)論中出現(xiàn)/U）-4（a）

或/（4）+4尸（4），則構(gòu)造輔助函數(shù)

F（x）=xf（x）,在［a,可上應(yīng)用拉格朗日中值定

理即可.

證明令歹（%）=則F（x）在［〃,可上

連續(xù)，在（〃,與內(nèi)可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理知

/\，土皿方仿）一夕

帶￡（〃,辦），使得，/~~山=〃匕），即

b-a

=/管）+療'（/成立.

例2設(shè)/（元）在&可上連續(xù)，在（〃⑼內(nèi)可

導(dǎo)，且Ova<8,證明：書￡（〃,方），使得

1eaeb

7^7/（?）f（b）=f?—fC

提示：構(gòu)造輔助函數(shù)萬(無)=/詈,

1

G(x)=A在［〃,可上應(yīng)用柯西中值定理即可.

e

證明將結(jié)論變形為

嘰“力『⑷，

左端分子、分母同除以e%e〃，得

/㈤/⑷

。f=外）/⑷.

ebefl

令方（x）=q^,G（x）=《，則&無）,G（x）在

[a,b]上滿足柯西i中值定理的條件，

3^e（〃,力）,

方㈤一方⑷〃⑷

使得即

G（b）—G（a）G'⑷

=/(4)-r(j),亦即結(jié)論成

ee

立.

例3設(shè)/(X),g(x)在&可上連續(xù)，且

g(X)WO,證明：帶￡(〃,。)，使得

f/（x）dx/（^）

￡g（x）dxg（《）

提示：構(gòu)造輔助函數(shù)方（%）=￡7（。也,

G（x）=[g（，）也在[〃，句上應(yīng)用柯西中值定理

即可.

證明將結(jié)論變形為

f7(x)dx-「/(x)dxJ/,

￡g(x)dx-￡g(x)dxg(A>

可設(shè)方(x)=￡7(。也，G(x)=[gG)也,

則方（4G（x）在［〃,可上滿足柯西中值定理的

方㈤-尸⑷P⑷

條件,至￡（a,b）,使得

G(b)-G(a)G?

￡g（x）dx

例4設(shè)/（元）在（-，/）內(nèi)連續(xù)，且在x=0可

導(dǎo),廣（0）。0

（1）求證對VOvx<K30<<9<1,使

(2)求lii*(x)=?

提示：(1)構(gòu)造輔助函數(shù)

方(x)=在［0,可上應(yīng)用

拉格朗日中值定理;

(2)利用導(dǎo)數(shù)定義求極限.

證明(1)作輔助函數(shù)

方（%）=￡7（%）也+17（%）山，vF（O）=O,對

&x）在［0/］上應(yīng)用拉格朗日中值定理知,

30<^<1,使耳(％)-尸(o)="(ex)?x,又

?.?廠'(6%)=/(6%)——(一6%),

故

[)⑴&+『/(/)&=%[/(%)-/(-%)

(2)由r(O)wO,對(1)的結(jié)論兩邊除

以/(xwo)湊導(dǎo)數(shù)定義，即

￡/(r)dr+￡x/(Odz_x[/(<9x)-/(-6>x)]

—?c

X2X2-0

n「⑴山+『/(，)"=/(/)-/(-%)e

x2xO

當(dāng)xfo+時(shí)，上式兩邊取極限

-4—±LU

]皿￡/6山+廣/?)"

2

x->0+X

="(")一/(一”)

工.。+2x

_lim[/W-/(0)]-[/M-/(0)]

—11II1

Xfo+2x

=lim—小)一----/-(+0l)im------/--（-川----一---/（0）

x->o+2xx-（）+-2x

1i

=/'（°）+孑r（°）=r（°）；

右?guī)焁LD

=lim但1止明

X->O+0X

U+

I0

=2

6?

(

〔O

()

0

』

)X

76

XI

(

0

s

)』

1+

bO

XT

(0H

+、

0

(

)

oII

?

\)(〔

'O

—￡

?、

xK

a

e+

))((

」

、Oo

〕KK

昌+U+

0I0

TTZ

H=X〕

HH

H

1

??./'（0）=2/'（0）癡/故lim6=—.

\7\/Xfo+Xfo+2

題型4關(guān)于存在雙介值久〃，使

F或〃"⑷=0的證明

1.一個(gè)函數(shù)存在兩個(gè)不同的中間值久〃的

命題

提示：要在所給區(qū)間（出力）內(nèi)找兩個(gè)不同的

點(diǎn)久小想法把（。,辦）分成兩個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)

小區(qū)間上應(yīng)用拉格朗日中值定理即可.

例1已知/（%）在［0,1］上連續(xù)，（0,1）內(nèi)可

導(dǎo)，且/（0）=0"（1）=1,證明：

（1）存在火（0,1）,使得/⑷=1一2

（2）存在兩個(gè)不同的點(diǎn)7,4￡（。，1），

使得r（7）r（〃2）=i.

證明（1）令g（x）=/（x）+x-L則g（x）在

[0,1]上連續(xù)，且

g（0）=/（0）-l=-l<0,

g⑴=/。）+1-1=1>0，

由零點(diǎn)定理知，3^e（O,l）,使g⑷=0,即

/（J）=T

（2）由（1）穴（0,1）,/（X）在［0,1］上連續(xù),

則/（%）在［0?及歸國上也連續(xù)，在（0,1）內(nèi)可

導(dǎo),則在（0看）及（41）內(nèi)也可導(dǎo)，對/（元）分別

在［0?及陸1］上應(yīng)用拉格朗日中值定理得:

￡（og）及三〃2￡（虞1），使

4-044

及r⑷/⑴7⑷=9—

\'2）1g1—4I

故rMJr（%）=/*=L

2.兩個(gè)函數(shù)存在共同的兩個(gè)中間值久〃的

命題

提示：這樣的命題或使用兩次拉格朗日中

值定理或柯西中值定理，或一次使用拉格朗日

中值定理一次使用柯西中值定理,第一次使用

中值定理將問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)中值問題，第二次

使用中值定理則得結(jié)論.

例2設(shè)/(x)在［〃,可上連續(xù)，在(“M內(nèi)可

導(dǎo)，且0<〃<8，證明：通力式a,b),使得

廣吐丁’(力

///

提示：先用柯西中值定理，再用拉格朗日中值

定理.

證明因?yàn)?(%)及g(x)=/在［a,可上滿足

柯西中值定理的條件,7使

,即

b2-a22rl

/（力）一/（〃）=（Q+8）/,（〃）

b-aIT]（

又因?yàn)?（X）在,㈤上滿足拉格朗日中值定理

的條件，.tMGaM，使

⑷=^r（）

例3設(shè)/（X）在［〃,可上連續(xù)，在（〃1）內(nèi)可導(dǎo),

且/'（%）＞。，若lim，（2"_由存在'試證明:

za+x—a

（1）在3。）內(nèi)/（x）＞o；

⑵安（叫’使得I嬴

⑶切￡（〃,方），"〃，使得

，⑺僅2_叫=言門3dx

s.

提示：（1）只要證明/（。）=0且/（元）在

（a,力）內(nèi)單調(diào)增.（2）應(yīng)用柯西中值定理.（3）

再用拉格朗日中值定理.

證明(1),/lim'(2"__"存在，而

%->〃+x-a

Um(x-?)=0/.lim/(2x-?)=0.

AC>>d

又,?，/(無)在％〃連續(xù),

f⑷=H嗎/（2x-a）=0.

＞d

?.?在（〃,方）內(nèi)r（%）＞o,.?./（%）…?.對

Vxe（a,Z＞）,W/（x）＞/（a）=0.

（2）設(shè)方（X）=A：2,G（x）=1/a）d￡,對

廠（x）,G（x）在［〃,可上應(yīng)用柯西中值定理知,

b12-a2

書￡(生力)，使得紋

￡/(x)dx/⑷

(3)將所證等式變形為

il2

b-a24

,與(2)中的結(jié)論

￡/(x)dx(4一。)/'(〃)

等式相比較可知，即證，三

使/⑷=(J-〃)/(〃).,對〃元)在［a?上使

用拉格朗日中值定理知

打w〃)，使得

/⑷-/(a)=r(〃)(i)，即

題型5含有/〃（》或更高階的介值命題

的證明

例1設(shè)/(X)，g(x)在［〃,可上二階可導(dǎo),

且g"(x)，0，/(?)=/9)=g(a)=g(8)=O'

證明：(1)在(〃,方)內(nèi)g(x)wO;(2)

書e(")),使得筆^僧.

g⑷g⑷

提示：(1)用反證法證gG)wO,(2)構(gòu)

造輔助函數(shù)歹(x)=g(x)/'(x)-/(x)g'(x),

在［%可上應(yīng)用羅爾定理即可.

證明(1)假設(shè)玉：0￡(。,。)，使g(x())=o,

則對有g(shù)(a)=g(元o)=g(，)，由羅

爾定理，3XjG(?,X0),X2G(X0,Z>),使得

r

)=0,g(x2)=0,3X3G(X19X2),使得

g"("3)=0,與題設(shè)條件相矛盾，故對

Vxe(a,Z>),都有g(shù)(x)w0.

(2)法1將結(jié)論中的4換為元,

r(x)/(x)

g"(x)g(x)=/"(x)g(x)-f(x)g"(x)=0,

???[r(x)g(x)-/(x)g，(x)]=0

=/'(尤”(無)-小”'(無)二。，

非常數(shù)的一端即為所構(gòu)造的函數(shù)方(x),即令

F(x)=/x(x)g(x)-/(x)gr(x),則方(元)在

k可上可導(dǎo)，且)(。)=尸e)=o,由羅爾定理

知，￡（%〃）"吏萬〈/=0,即

g"⑷

法2構(gòu)造輔助函數(shù)

蛆）=工［?。┦?-/（，），'3亞

=（g（wa）-1/（，）dg，a）

=g（，）r（，）|：-fr⑺/⑺也一/。）/（比+「/?）〃，）也

r

=g（x）r（x）-/（x）g（x）,

對方（元）在可上應(yīng)用定理知，3^e（a,Z＞）,使

尸"）=0,即奈^=嚕.

g（4）g（4）

例2設(shè)/（無）在［0,1］上二階可導(dǎo)，且

/（。）=八1）=0,試證：3^G（O,1）,使得

年）強(qiáng)

提示：構(gòu)造輔助函數(shù)

r（x）=（i-x）2r（x）*應(yīng)用羅爾定理即可.

證明將j換為x,得r’（元）=空?，即

等|=二_,積分得

r(x)lr

In=-21n(l—x)+Cj,

即(l-x)2r(x)=C(C=eG).

令夕(%)=(1一%)2/'(%)，

丁f(0)=f(1)=°，由羅爾定理可知

3^e（O,l）,使尸（當(dāng)）=0,于是有

F（l）=F（^）=0,再對方（龍）在［幾1］上應(yīng)用羅

爾定理知,”e信,l）u（O,l）,使叫切=0,

即歹，（4）=一2（1—4）/'（4）+。一4）2/"（4）=0,

亦即/"（§）=*￡.

例3設(shè)/(%)在區(qū)間［-。,。］(。＞0)上具有

二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，/(0)=0,

(1)寫出/(X)的拉格朗日余項(xiàng)的一階麥克

勞林公式；

(2)證明在［-巴同上至少存在一點(diǎn)〃，使得

//"(〃)=31/(%)加.

提示：利用最值定理再利用介值定理即可.

證明（1）對VxG[一〃,〃],

/(x)=/(O)+r(O)x+^-^x2

,，小/"⑷2

=/,(O)x+-^-^x2,

其中J在0與X之間.

（2）對（1）的結(jié)論兩邊積分得

￡/(x)dx=￡r(o)

???r'（x）在［-。,可上連續(xù),則廣（X）在可上

必有最大值M和最小值m,

所以加卜w22

2dx<1￡/(^)xdx<MjTxdx

即％<￡/(x)dx〈絲/

J一〃3

<^-￡/(x)dx<M

由介值定理知，37e[-a,a\,使得

/"(〃)=?￡/(“)此故

〃""(〃)=3￡/(x)dx.

例4設(shè)/(x)在［-1,1］上具有三階連續(xù)導(dǎo)

數(shù)，且/(-1)=0"(1)=1,，(0)=0,試證:

3fe(-l,l),使得"@=3.

提示：利用麥克勞林公式及連續(xù)函數(shù)的最

值定理和介值定理即可.

證明由麥克勞林公式有

/w=/（o）+r（o）x+m^m

（〃在0與%之間）

將"=-1,%=1分別代入上式得

—(。)+坐+竽(o<.2<i).

1L1

將上面兩式相減得i=V「r"(7)+r“(％)，

6L」

.〃(%)+〃(％)_3

??■

2

???〃(％)在［T1］上連續(xù),

.?.〃(%)在［〃”相上有最小值機(jī)與最大值M.

于是

m<L"\"I<M,

2

即，m<3<M.

由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理可知,

"?如相?-1,1),使r"⑷=3.

例5設(shè)/(%)在［G習(xí)上連續(xù)，在(火。)內(nèi)有二階

連續(xù)導(dǎo)數(shù)，試證：至少叮，使得

提示：取“0=歲，將/(")在處

展為一階泰勒公式,再利用最值定理和介值定

理即可.

證明取“0=。，將/(X)在X。處展為一

階泰勒公式:

a+b,(a+b'a+b+儂*3

/(%)=/+/JC--------

2J2212

（〃在幺吆與x之間）.

2

將*=〃/=力分別代入上式得

+byb-a/"(〃1)(方一〃)2

f(a

、2,224

（名在〃與"2之間）①

2

小）=/（審〉《審百

24

（名在空與力之間）②

由①+②得

?。?加?。ㄒ徊犯蛂也整

??,/"(X)在上連續(xù)，

??./"(%)在［如相上有最小值機(jī)與最大值使

得??屋/”(%)〈監(jiān)m<r^2)<M9

于是

m<<M,

2

由介值定理可知,至相u(%6),使

以4J"(7)+/"(%),

即使

/9)一2/(*+/(〃)=誓L"⑷.

注:/(“)在“。處的泰勒展開式中要求了(X)

在元。處的某鄰域內(nèi)具有〃+1階導(dǎo)數(shù)，可證明僅

與叫(3有關(guān)的結(jié)論.

題型6關(guān)于介值不等式的證明

例1設(shè)/(元)在［。㈤上二階可導(dǎo)，

/(〃)=/(5)=0，且R￡(〃,力)，使/(c)>o,

試證明使得了"⑷<0.

證明方法1利用泰勒公式

由題意知玉（且不妨設(shè)/WC）,

使/(巧)=max/(x)>0,由費(fèi)爾馬定理知,

/'（巧）=0.將/（%）在與展開為一階泰勒公式

有:

/(x)=/(x)+/r(x)(x-x)+f"G)X-X)2

0002!0

，41在“與乙之間.

令x=c,于是,

/?

=/（元o）+q^（c_“o）2，g在c與無。之間?

f"?(

/(c)"/(xo)=C一巧廣

2!I

由于/（。）一/（々）<0,而（c-Xo）2>o,

故尸'⑷<0

方法2（反證法）

設(shè)若不然，即Vxf"（x）N0,則廣（X）

在（“M內(nèi)單調(diào)增，由/,）=/伍）=o和羅爾定

理知，玉￡(處白)，使/'(%)=0,于是,在[〃,尤0]

rr

上/(x)</(xo)=o,.\/(x)在(〃,/)上單

調(diào)減，W/(x)</(a)=O,而在國㈤上，

r(X)N/(巧)=0,/(X)在(與⑼上單調(diào)增，

W/(x)</(^)=0.

可見，/(X)在上恒有這與

在(〃,5)內(nèi)部存在c,使/(c)>0相矛盾，故

三4￡(。,9,使/"(4<0.

例2設(shè)/(“)在［〃,可上二階可導(dǎo)，且

r(Q)=r(》)=o,試證明：書￡(生。)，使

得

I/(亦7AV，㈤一人叫

\rb-aj

證明(利用泰勒公式)將/(X)分別在無=〃和

“=力處展為一階泰勒公式：

/(x)=/(a)+/f(tt)(x-tt)+^^(x-a)2

“\"⑻/V

=/(〃)+—…)

（J1在Q與X之間）,

/(X)=/(^)+//(ZF)(X-ZF)+^^(X-ZF)2

/?

=/(")+

2!

（乙在"與方之間）.

a+b

令X=,代入以上兩式得

"T"

廣⑸("丫

(a+b

=/(?)+

22!27

(女在?與。之間).

f(〃+仿)?/"(1)(a-b\②

，2廠八12!(2J

?在審與，之間).

由②-①式得

[r(^)-r(^b

令

r(^)|=max{|r(^4)|,/"(4)?，

.-.|/(^)-/(?)|<^^-

尸團(tuán)(安(〃M)，

故廠⑷歸?71^/㈤一/（叫

\b-a）

I、練習(xí)題

1.設(shè)/（%）在［0,1］上連續(xù)，（0,1）內(nèi)可導(dǎo),

且滿足/⑴=0,證明笄￡（0,1）,使

“⑷+/⑷=0?

證明將結(jié)論中自換為元，

A/'(X)+/(X)=O,即xf(x)］=0,兩邊積分

得4>(%)=。.

令f(x)=4(x),則b(%)在［0,1］上連續(xù),

在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且尸(0)=b(1)=0,由羅爾定

理知，

3^G（O,I）,使P（A）=O,即“（」）+/（/=（）.

2.設(shè)函數(shù)/(%)在區(qū)間［0,1］上可導(dǎo)，對于

［0,1］上每一個(gè)元，函數(shù)/(元)的值都在開區(qū)間

(0,1)內(nèi)，且r(x)wL證明：在(0,1)內(nèi)有且僅

有一個(gè)X,使得/(x)=x.

證明令方(%)=/(%)—%,則小工)在［0,1］

上連續(xù)，且方(0)=/(0)>0,

F(l)=/(l)-l<0,由零點(diǎn)定理知，3xe(O,l),

=0,RP/(x)=x-

下證唯一性，假設(shè)有0<巧</<1，使

/(x1)=x1,/(X2)=x2,BPF(X1)=F(X2)=0,

又因?yàn)?/p>

方（元）在［/，元2］上連續(xù)，在（元1，尤2）內(nèi)可導(dǎo)，由羅

爾定理知，書?巧,元2），使/修）=0,即

/（4=1,與題設(shè)廣（“）。1矛盾，故結(jié)論正確.

3.設(shè)/（X）在［1,2］上有二階導(dǎo)數(shù)，且

/(1)=/(2)=0,XF(X)=(X-1)2/(X),證

明：在（1,2）內(nèi)至少三一個(gè)3使得〃'（3=0.

證明??丁(元)在［1,2］上二階可導(dǎo)，且

F(l)=F(2)=0,由羅爾定理知,3^G(1,2),

使〃G)=o,又

vFr(x)=2(x-l)/(x)+(x-l)2/'(x),顯然,

Fr(l)=O,對〃(x)在［1居］上再用羅爾定理知,

君居)u(l,2),使方"⑷=0.

4.設(shè)/（x）在［〃,可上連續(xù)，在（。⑼內(nèi)可導(dǎo)，

（0<4<。）求證：書￡（〃,5）使得

?。?/（〃）=片

證明方法1將結(jié)論中的4換為工,并變形

為，［”。）-/（叫！=吟/'（"），

兩邊積分得

=In—/(x)+C,

d

分離常數(shù)

[/(^)-/(?)]lnx-ln-/(x)=C(非常數(shù)的

ci

一端就是所構(gòu)造的函數(shù)).

令方(%)=[/U)-/(a)]lnx-ln2./(x),則

CL

F(x)在可上連續(xù),在(a,。)內(nèi)可導(dǎo)，且

F(a)=F(Z>)=/(^)ln?-/(a)ln^,由羅爾定

理知，有羅爾定理知，書￡(見。),使『管)=0,

即/㈤—/(〃)=/加上廣⑷成立.

方法2將結(jié)論中的J換為“，并變形為

7r(x)，

Inb-lna

兩邊積分得了(')一/(")lnx=/(x)7+C,

Inb-lna、

分離常數(shù)/(x)-Q^@/nx=C(非常數(shù)

Inb-lna

的一端就是所構(gòu)造的函數(shù)).

令b(x)=/(x)—?lnx,

Inb-lna

?"⑷J（叱:伊。份由羅爾

定理知，至￡（“＞）,使/（4=0,即

/㈤-/（〃）=8n±r⑹成立.

方法3（利用柯西中值定理）

分析將結(jié)論變形為

Inb-lna，

1

證明設(shè)函數(shù)/(X),g(x)=lnx在［〃,可上

1

連續(xù)，在(生。)內(nèi)可導(dǎo)，且g(x)=—wO,由柯

西中值定理知,火(見。)，使

Inb-lna1

1

/㈤一/⑷、.吟r⑷成立.

5.設(shè)/(%)，g(x),M")在上連續(xù)，

在(。,5)內(nèi)可導(dǎo)，證明：3(?,/>),使得

/(?)g(“)仆)

/而g汨h(b)=0.

r迄)/運(yùn))市)

證明將結(jié)論中的J換為“得

/(?)g(〃)h(a)

f(6g(6h(b)=0,兩邊積分得

/()/")"(x)

/(?)g(〃)h(a)

f(6g(6h(b)=C.

f(x)g(x)/z(x)

/(?)g(。)M。)

令小g&)M",則尸(元)在

/(^)g(%)h(x)

[G,。]上連續(xù),在⑼內(nèi)可導(dǎo),且

/(?)g(a)M。)/(?)g

F(a)=f(b)g(b)h(b)=0,F(b)=f(b)g

/(?)g(。)M")f(b)g

9

由羅爾定理知，3型(〃,5),使『(1)=0,

/(?)g(〃)

vFf(x)=f(b，g(b，h(b),即結(jié)論成立.

gr(x)

6.設(shè)/(x)在［0,打上連續(xù)，在(O,x)內(nèi)可導(dǎo),

且L(0)=0,試證在(O,x)內(nèi)三一個(gè)。使得

/(x)=(l+^)ln(l+

證明(利用柯西中值定理)

將所證結(jié)論變形為=/鳥，

ln(l+x)-lnl1

1+4

對函數(shù)/(，)，ga)=ln(l+￡)在［0,引上應(yīng)用柯

西中值定理知，3FG(O,X),使

/(x)-/(o)=r(^)

g(G—g(oj，析,

ZWz/f01_,亦即結(jié)論成立.

*

7.設(shè)/(x)在［〃,可上連續(xù)，在(a,力)內(nèi)可導(dǎo),

試證：

至￡（〃,力），使得

=[a2+ab+b2^-

b-a

證明（利用柯西中值定理）

將所證結(jié)論變形為

,對函數(shù)/(%),

(b-a){a2+ab+b2>j3^2

g(x)=Y在［〃,可上應(yīng)用柯西中值定理知,

3^G(^),使“：1一4嘰4^，即結(jié)論成

D-Cl3c

立.

設(shè)/(X)在&可上連續(xù),在內(nèi)可

導(dǎo)，則對V"N1,*￡（生。），使得

■

證明將所證結(jié)論變形為

nn

bf（b}-af（a}irzx，/c

-"匕、1=夕[-）+"（2],可設(shè)

%在［見習(xí)上連續(xù)，在（〃⑼內(nèi)可導(dǎo),

由拉格朗日中值定理得,3^G使得

F(b)_F(a)

=〃⑷，即

b-a

=3”(4)+“(即,

b-a

故結(jié)論

白|。）國=2卬⑷+“⑼成

立.

9.設(shè)/（X）在［0,1］上連續(xù)，（0,1）內(nèi)可導(dǎo),

1

且滿足/（1）-2?JI/（無）dx=0,證明：

片￡（o,i）,使得r（/=-q1

提示：構(gòu)造輔助函數(shù)方（X）=A/（元），尋找

的子區(qū)間，在子區(qū)間上應(yīng)用羅爾定理即可.

證明將4換為”并變形為4勇=-工，兩

/（尤）2

c

邊積分得加/(%)=-lnx+C,RP/(x)=—,分

離常數(shù)得M?(無)=C(非常數(shù)的一端就是所要構(gòu)

造的函數(shù)).

令萬(X)=A/(X),則萬(X)在［0,1］上連續(xù),

在(0,1)內(nèi)可導(dǎo),由積分中值定理知，

1

七￡0,-，使

_2_

1

2^x/,（x）dx=7/（7）,而

F（1）=1/（1）=^/（7）=F（^）,由羅爾定理

知，3^G（77,1）c（0,1）,使

p(4)=o,即r(/=—上^成立.

10.設(shè)/(x)在［0,1］上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可

1

導(dǎo)，且/⑴=