[[[[概率論與數(shù)理統(tǒng)計（數(shù)二不考）分階精講精練講主講：張干教《高等數(shù)學(xué)18題源探析經(jīng)典1000題》作者，高等教 第一講隨機事件與概 第二講一維隨機變量及其概率分 第三講二維(n維)隨機變量及其概率分 第四講隨機變量的數(shù)字特 第五講大數(shù)定律與中心極限定 第六講數(shù)理統(tǒng) PAGEPAGE1PAGEPAGE2【注（1）數(shù)二的考生不需要學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容第一講隨機與概隨機試①我們是通過研究隨機試驗來研究隨機現(xiàn)象的，為方便起見，將隨機試驗簡EE1，E2?示．次試驗一定不發(fā)生的稱為不可能，記為φ．Ω，即Ω＝{ω}，隨機A總是由若干個基本組成，即A是Ω的子集，AΩ．A發(fā)生等價于構(gòu)成A的基本有一個發(fā)生．些結(jié)果，如x＞10000，是不會出現(xiàn)的，我們甚至可以把這范圍取為(－∞，∞)也無妨．這如果A發(fā)生必導(dǎo)致B發(fā)生，則稱B包含A(或A被B包含)，記為AB．如果AB且BA，則稱A與B相等，記為A＝B．A與B相等，事實上也．限個(或可列個)A1，A2，?A至少有一個發(fā)生”的為A1，A2，?A 的并(或和)，記為Ai或Ai；稱 A與B同時發(fā)生” A與B的交( [[[[A1，A2，? 為A1,?

An?交(或積)，記為Ai或Ai．稱 A發(fā)生 B不發(fā)生”

ABAABABBAAB且ABA1，A2，，AnAiAiAjiABA∪B＝B，AB＝A；ABAB,AB隨機 A發(fā)生可能性大小的度量(非負值)，稱為A發(fā)生的概率，記為P(A)．這是概率的描述性定義．近。n越大，頻率偏離這個常數(shù)p的可能性越小。這個常數(shù)p就被稱為A的概率．比如你說某批產(chǎn)品的是95%，我們做實驗，抽取樣品進行計算，得出的結(jié)果，， 總數(shù)為n A包含k個基本 ，即有利于A的基本 k個．則A的， n4nN(nN個盒子中，每個盒子可放任意多個球，求下列事A={nB={nC={k(kn如：12個人回母校參加百年校慶，求下列的概率：A={12B={12稱隨機試驗(隨機現(xiàn)象)的概率模型為幾何概型，如果(1)樣本空間(基本空間)Ω是一個可度量的幾何區(qū)域；(2)每個樣本點(基本)發(fā)生的可能性都一樣，即樣本點落入Ω在幾何概型隨機試驗中，如果SA是樣本空間Ω一個可度量的子區(qū)域，則A＝“樣SA”的概率定義為P(A)

SA

5設(shè)隨機試驗的樣本空間為Ω，如果對每一個A都賦于一個確定的實數(shù)P(A)，且事件函數(shù)P A1A2?P()為概率，P(A)為A的概率

i

i概率P()是的函數(shù)．有界性0≤P(A)≤1，P(φ(2)單調(diào)性若ABP(A)≤P(B)．A1，A2，，

加法

i

inniAi)P(1P(A∪B∪nniAi)P(1

)

P(AA)

P(AAA)

＋(－1)n－1P(AA i i ij

1i

1ijk減法P(A－B)＝P(A)

P(A)1【評注】P(A)＝0A＝φ；P(B)＝1條件概率及與其有關(guān)的三乘法全概率P(B｜A)，并定義P(B|A)

P(P(

【評注(1)條件概率P(B|A)1P(B|

P(BC|A)1P(B|A-P(BC|A)＞0．P(A)＞0，則P(AB)＝P(A)P(B｜APA1An－10則n如果AiAiAj(i

j),P(Ai)0，則對任一B， BAiB,P(B)P(Ai)P(B|Aii in如果AiAiAj(i

P(Ai|B)

P(Ai)P(B|Ai)(i1,2,,nnP(ABΩ時，ABP(B｜AA已AA發(fā)生”等等，均要考慮條件概率．(2)全概率是用于計算某個“結(jié)果”B發(fā)生的可能性大?。绻粋€結(jié)果B的發(fā)生總是與某些前提條件(或原因、因素或前一階段結(jié)果)Ai相聯(lián)系，那么在計算P(B總是將B對Ai作分解：BAiB，應(yīng)用全概 i各種“原因”Ai發(fā)生的可能性大小P(Ai｜B)，則要應(yīng)用Bayes隨機相互獨立與獨立試驗序列概A1，A2，?響，則稱A1，A2，?A n相互獨立．?dāng)?shù)學(xué)定義設(shè)A、B為，如果P(AB)＝P(A)P(B)，則稱A與B相互獨立，簡AB獨立．A1，A2，，Ai1，Ai2，，有PA1A2Ak)PA1)(A2)P(A)則稱n個A1，A2，?A n相互獨立． 〈1〉A(chǔ)1An相互獨立k≥2P(Aij)PAijj jA、B獨立P(AB)＝P(A)P(B0＜P(A)＜1，A、B獨立P(B|A)P(B|A)P(B).〈2〉n個相互獨立的充要條件是，它們中任意一部分換成各自的對立所得到的n個相互獨立．〈2〉n個相互獨立，則不含相同的組經(jīng)某種運算后所得的是相互獨立的．例如，A、B、C、DABCD相互獨立，ABCD相互獨立，AB在現(xiàn)實生活中，難于想像兩兩獨立而不相互獨立的情況，可以這樣想：獨立各出現(xiàn)一次}，A4={正面出現(xiàn)兩次}，則（） 如果各個試驗結(jié)果是相互獨立的，則稱這些試驗是相互獨立的．例如，稱隨機試驗E1E1，E2，，結(jié)果Ai(i＝1，2，，n)，A1，A2，，An相互獨立．即對其中任意k個有 P(Aij)P(Aij)(kj j獨立試驗序列概型與n重概型（放到第二章中講這種試驗獨立重復(fù)n次，則稱這種試驗為n重概型．在n重概型中，A發(fā)生k次(次數(shù)，不論位置)的概率nCkpk(1p)nk(k0，1，，n)，如果用X表示n重概型中A發(fā)生的次數(shù)，XB(n，p)．n n次對重復(fù) 典型例題精率為β，甲先射擊，誰先命中誰取勝，求甲、乙獲勝的概率分別是多少？一次，堅持十年（每年52周則他從未的概率為多少？[[[[PAGEPAGE8PAGEPAGE9第二講一維隨量及其概率分隨量的定EΩ＝}，如果對每一個∈Ω，都有唯一X)與之對應(yīng)，并且對x：X)≤x}是隨機，則稱定義在ΩX)為隨量．簡記為隨量X．一般用大寫字母X，Y，Z?希臘字母ξ，η，ξ?表示隨量．【評注】隨機是從靜態(tài)的觀點來研究隨機現(xiàn)象而隨量則是一種動態(tài)的觀點，隨量的分布函充分必要條件函數(shù)F(x)為某一隨量X的分布函數(shù)的充要條件1F(xxx1＜x22°F(xxx∈RlimF(xF

0)F(x)03°F()=limF(x)0,F()limF(x)

x x1，x2，，pi＝P(X＝x1)，i＝1，2?為 或X~ 數(shù)列{pi＝12?是離散型隨量概率分布的充要條件是p≥0(12?pii設(shè)離散型隨量X的概率分布為pi＝P(X＝xi)，則X的分布函F(x)P(Xx)P(XxiB有P(XB)P(Xxi如果隨量X的分布函數(shù)可以表示xF(x)f(t)dt(xR)x其中f(x)是非負可積函數(shù)，則稱X為連續(xù)型隨量，稱f(x)為X的概率密度函數(shù)，X～f(x)． 量X概率密度的充要條件是，f(x)≥0且f(x)dx1(由此可知，可以改變f(x)有限個點的值，f(x)仍然是密度函數(shù))．f(x)＝F＇(xF＇(xf(x)＝0或取其他值)．有P(XB)fBbP(aXb)af(x)dxF(b)Fb【評注】(1x，則按分布函數(shù)的定義，{x＜X≤x＋h}的概率(h＞0為常數(shù))，應(yīng)為F(x＋h)－F(x)．所以，比值[F(x＋b1，概率密度相當(dāng)于桿上各點的質(zhì)量密度．(2P(aXbaf(x)dx0—1 0XX~

1Pp0—1如果X的概率分布為pP(Xk)Ckpk(1p)nk,k ,n,0p1，則稱X服 【評注】①如果X是n重試驗中A發(fā)生的次數(shù)，則X～B(n，p)，其中p＝k

k布近似，即Cnp(1 k!eXpkPXk

k k!e,k 0Xλ [[[[kXp＝P(X＝k)＝qk－1p，k＝1，2，，0＜p＜1，q＝1－pkCkCnXp

P(

k)

NCC

k0,1,min(MnMNn

xbf(x)b

ax

F(x)xab

ax

b【評注】exf(x)

x

1exF(x)

x

(

x

xF(x)＝XλX的概率密度 1(xf(x)

e2

(x1唯一最大值f()1(x)

11e1

Φ(0)1,Φ(x)12F(x)P(Xx)Φ(x);F(x)F(x)P(aXb)Φ(b)Φ(a “【例1】設(shè)X1,X2相互獨立且為連續(xù)型隨量，概率密度分別為f1(x)，f2(x)，分布函F1(x)F2(x，則（）f1(x)f2(x)必為某一 f1(x)f2(x)必為某一隨量的概率密F1(x)F2(x)必為某一 F1(x)F2(x)必為某一隨量的分布函【例2X1X2F1(xF2(xF(xaF1(xbF2(x是某一隨量的分布函數(shù)，則a,b的取值為（）（A）a3,b （C）a1,b

（B）a2,b （D）a1,b 0x 量X的概率密度為f(x) PXaPXa，求a（2）設(shè)隨量X的概率密度為f(x)

(2

A31 0x39 量X的概率密度為f(x) 3x9 若k使得P(Xk)2，求k的取值范圍 3 k123P(Xk2(1(1PX2)3，求未知參數(shù)X4【例2】已知隨量X的分布函數(shù)為F(x)，概率密度函數(shù)為f(x).當(dāng)x0時，f(x)連續(xù)f(x)=F(xF(0)=1F(x)，f(x). 量X的絕對值不大于1，P(X1)1，P(X1)1， (1X1X(1,1成正比，求XtN(t)服從參數(shù)為t 量X的概率密度為f(x) 0x X1出現(xiàn)的次數(shù)，則P(Y2) 2 N(,2)(0)，且二次方程y24yX0無實根的概率為1，2 【例1】設(shè)隨量X的概率密度為f

(x)

1(1x2

，Y13

fY(y)Y E(2)，Y1e2X，求Y的概率密度f(y)Y

x 量X的概率密度為f(x)33 FX(xXYFX(x U[0,]，求YsinX的概率密度fY(y),1 1x,1【例5】設(shè)隨量X的概率密度為f

(x 0x2,YX2YY

(y) 第三講二維(n維)隨量及其概率分二維(n維)隨量及其分布函二維(n維)隨量的定隨量(或二維隨機向量)．如果X1，X2，，Xn是定義在同一樣本空間Ω上的n個隨機(X1，X2，，二維(n維)隨量的分布函數(shù)與邊緣(邊際)分布函定義設(shè)(X，Y)為二維隨量，對任意的實數(shù)x，y，稱二元函 nx，xxnF(x，x， X2≤x2，，(X1，X2，?【評注】意(A＝X}當(dāng)＝Y(jié)≤}時生概率此0F(，)≤1，更為重要是，以利用概率及其關(guān)的質(zhì)、求分布數(shù)，論分布函數(shù)的2°F(x，yxylimF(x,y)F(x0,y)F(x,xx0 limF(x,y)F(x,y0)F(x,yyy0 3°4°對任意x1＜x2，y1＜y2有FY(y)分別稱為(X，YXY的邊緣(邊際)分布函數(shù)．由概率性質(zhì)得

P(Xx,YF(x,y)F二維離散型 (XY)(x1y1)(x1y2)?

n p=P(Xx,Y ?? ? ?數(shù)列{pi：，＝，2?是二維離散型隨量概率分布的充要條件pij0且piji,1設(shè)(X，Y)的概率分布為pij，則(X，Y)的聯(lián)合分布函F(x,y)P{Xx,Yy}pijxixyjG是平面上的某個區(qū)域，則P{(X,Y)G}

(x,yj

2°X、Y) p=P{Xx}P{Xx,Yy}p(i) i )p)p=P{Yy}p(j1, i3°如果(X，Y)～pij，對固定j，如果pj＝P(Y＝y(tǒng)j)＞0，則 (x|y)=P{Xx|Yy}P{Xxi,YyjX

P{Yyjpijp

(i (y|x)

Y

pi F(x,y)

f(u,)dud(x,y)其中f(x，y)是非負可積函數(shù)，則稱(X，Y)為二維連續(xù)型隨量，稱f(x，y)為(X，f(x,y)dxdy【評注】f(x，y)的部分值(仍取非負的)，f(x，y)仍然是密度函數(shù)．1xF(x，y)=P{X≤x,Y≤y}＝fxGP{(X,Y)G}f(x,y)dxdyG2F(x,

f(x,2°

2F(x,

Fx(x)F(x,)[ffX(x)f(x,y)dyfX(x)為(X，YX的邊緣概率密度．同理，Y也是連續(xù)型隨量，其密度為fY(y)f(x,3°

f(x,y)fX(x)

(x|y)

f(x,y)(

(y)X

fY(Yf(x，y)＝fX(x)fY｜x(y｜x)＝fY(y)fXY(x｜y)．Y4° yfFY|Xy|xfY|X(|x)d

fXY在“X＝x”條件下的條件分布函數(shù)．X在“Y＝y(tǒng)”下的條件分布函數(shù) (x|y)x

|Y(u|y)du

xf(u,X

fY(設(shè)二維隨量(X，Y)聯(lián)合分布函數(shù)為F(x，y)，邊緣分布函數(shù)分別為FX(x)，F(xiàn)Y(y)，如果對任意的實數(shù)x，y都有Fxy＝FX(xF(y)(x∈RyR(即{X≤x}與{Y≤yXYXY不相互獨立．(X1，X2，?F(x1，x2，?X1，X2，，X1，X2，?

Xn?互獨立，如果對任 (k≥)X1X2?

Xk相(X1X2?

Xn)與(Y1Y2?

Ym)相互獨立，如果對任意實數(shù)＝1，n)與yj(＝?

P{X1≤x1?

XnxnY1≤y1?

Ym≤ym}＝P{X1≤x1，Xn≤xn2

Y1≤1?

Ym≤ym}，即聯(lián)合分布函數(shù)等于各F(x1，?xn，y1，?ym)＝F1(x1，?xn)2F2(y1，?y n個隨量X1，X2，，Xn相互獨立對任意n個實數(shù)xi(i＝1，2，?n 個{X1≤x1}，，{Xn≤xn}相互獨立．設(shè)(X，Y)為二維離散型隨量，則X與Y相互獨立聯(lián)合分布等于邊緣分布YX1，X2，，有P(X1x1,,X

nnxn)P(Xi

xi(3)(X，Y)為二維連續(xù)型隨量，則X與Y相互獨立聯(lián)合概率密度等于邊緣密度設(shè)(X1，X2?

X1，X2，?

Xn相互獨立：f(x1，x2，，(1)設(shè)X1，X2，，Xn相互獨立，則其中任意k個(2≤k≤n)隨量也相互獨立．(2)設(shè)(X，Y)為二維離散型隨量，X與Y獨立，則條件分布等于邊緣分布：P(X＝xi｜Y＝y(tǒng)j)＝P(X＝xi)(P(Y＝y(tǒng)j)＞0)P(Y＝y(tǒng)j｜XYXY (x|y)

f(x,y)

(x)(

(y)X|

fY( (y|x)

f(x,y)

(y)(

(x)

fXYXX1X2?YX

Xn相互獨立g1(x?

gn(x)為一元連g1(X1g2(X2，gn(Xn)相互獨立；一般地，若X11?

Xn1,Xnn相互獨立，giti(i＝1，2?

g1(X11,，X1t1)，2(X21?

X2t2)，，gnn1,?

【例1設(shè)某電子儀器由兩個部件組成以X和Y分別表示兩個部件的 1e05xe05ye05(xyF(x,y)

x0,y 量(X，Y)的概率密度為f(x,y) 0x1,0y f(x,y)

(x,y)

SDD

其他1

x

x

y

y2π1 2π1 1

2(1

1)2

1)(

2)(

2)2μ1∈R，μ2∈R，σ1＞0，σ2＞0，則稱(X，Y,2,2 (X,Y)~N(;2,2 1X~N(2Y~N(2)，ρX cov(X,Y

cov(X,Y4°XYXY

111，1 4

1 1P(X1X20) 2（Ⅱ） U(0,1)，在Xx(0x1)的條件下，Y在(0,x)內(nèi)服從均勻分布（Ⅰ（XY（Y（ⅢP(定義設(shè)X，Y為隨量，g(x，y)是二元函數(shù)，則以隨量X，Y作為變量的函數(shù)U＝g(X，Y)也是隨量，稱之為隨量X，Y的函數(shù)．例如U＝X＋Y；XY；UXY;XY;U

XYXY

我們的問題是：已知(X，YU＝g(X，YV＝φ(X，Y)，求設(shè)(X，Y)是二維離散型隨量，聯(lián)合分布為pij＝P(X＝xi，Y＝y(tǒng)j)，則(1)U＝g(X，Y)也是離散型隨量，其分布列為P{U＝g(xi，yj)}＝P{X＝xi，Y＝y(tǒng)j}＝pijg(x1,y1 g(x1,y2 U~

g(xi，yj)的概率[[[[UFu(u)

u}

P{g(X,Y

u}

g(xi,yj)

P(

xi,

yj1°P{Ua,Vb}

g1(x,y

P(Xxi,Yyjg(x,y2°首先求出U、V的邊緣分布列，再求得(U，V)聯(lián)合分布的部分值，最后通過邊緣分布3°這是求解離散型隨量函數(shù)分布或聯(lián)合分布的一般解題模式(參看典型例題分析部分)： ? ???????P{Uui}f(x,y)dxdy(iDFU(u)P{g(X,Y)u}

g(x,y

f(x,y)dxdyFU,V(u,)P{g1(X,Y)u,g2(X,Y)}

g1(x,yg2(x,y

f(x,2°若(U，V)是二維離散型隨量，則求(U，V)聯(lián)合分布的常用方法是直接計算法計算P{U＝ui，V＝vj}P{g1(X,Y)ui,g2(X,Y)vjP{(X,Y)D}f(x,y)dxdyDU、V的分布，而后求出某些聯(lián)合分布的值，最后應(yīng)用聯(lián)合分布3°若(U、V)是二維連續(xù)型隨量，則可應(yīng)用1°中的方法先求(U、V)聯(lián)合分布函 相互獨立隨量函數(shù)的分布 fZ(z)f(x,zx)dxf(zy,XY相互獨立時，有卷積 f2(z)fX*fYfX(x)fY(zx)dxfX(zy)fY(注意：被積函數(shù)變元之和xzxzyy設(shè)(X，Y)～f(x，yZ1＝XY f1(z)f(x,xz)dxf(xz, fX(xz)fYf2(z)f(x,x fX(x)fY(x設(shè)(X，Y)～f(x，yZfZ(z)|y|f(yz,XY

YfZ(z)|y|fX(yz)fY(yzzyf(z)1 z 1 f(z)1 z 1 |x |y XYf(z)1 z 1 fX(x)fY(f(z)1 z 1 |x |y xzx

zyz設(shè)(X，Y)～F(x，yZ＝max(X，Y)的分布函數(shù)[[[[XY獨立時Fa()＝F()F()．XY【評注】上述結(jié)果容易推廣到n個相互獨立隨量X1，X2，?FaF 特別地，當(dāng)Xi獨立且有相同的分布函數(shù)F(x)、密度函數(shù)f(x)時，

Xn的情況，2分布．設(shè)隨量X與Y相互獨立X～B(n，p)，Y～B(m，pX＋Y～B(n＋m，p)；(注意：p相同)X～P(λ1)，Y～P(λ2X＋Y～P(λ1＋λ2);X~N(,2),Y~N(,2)，則XY~N(22 X～2(n)，Y～2(mX＋Y～2【例1】設(shè)A，B為兩個隨 ，且P(A)1，P(BA)1，P(AB)1，X

A發(fā)生，A不發(fā)

Y

（Ⅱ） 量(X,Y)的概率密度為f(x,y) 0x1,0y 求（Ⅰ）X,YfX(xfYyZ2XYZfZ(z)；P(Y

X1)12212 1 量X，Y相互獨立，X的概率分布為 1，Y的概率密度 3fy 0y1 12（Ⅰ）P(Z12

X0;（Ⅱ）求ZfZ(z).第四講隨量的數(shù)字特基本概定義設(shè)X是隨量，Y是X的函數(shù)如果X是離散型隨量，其分布律為pi＝P{X＝xi}(i＝1，2，)．若級 量X的數(shù)學(xué)期望存在，并將級數(shù)xiP{Xxi}和

EXxiP{Xxi若級數(shù)g(xi)P{XxiY＝g(XEg(X＝g(xi)P{Xxi}g(X如果X是連續(xù)型 X數(shù)學(xué)期望EX存在，且EXxf(x)dxX的數(shù)學(xué)期望不存在．若積分 g(xf(x)dxg(XEgXg(xf(x)dx．否則g(X)的數(shù)學(xué)期望不存在．(2XXi(i＝1，， E(aiXi)ai 特別地XYYYX1，X2，， E(Xi)EXi,E(gi(Xi))Egi(Xi

隨量的方差(Variance)與標(biāo)準X定義設(shè)X是隨量，如果E(X－EX)2存在，則稱E(X－EX)2為X的方差，記DXVar(XDX＝Var(XE(X－EX)2＝EX2－(X 為X的標(biāo)準差或均方差，稱隨量X*

為X的標(biāo)準化隨量(2)Dc＝0(c EX)(Y－EY) nD(aiXi)aiajE(XiEXi)(XjEXj i1nn

2aaE(

EX)(XEX

1i

i nna2 a2

cov(Xi,Xj 1iXY獨立，則DYYXX1，X2，?X D(aX)a2DX

D(gi(Xi))Dgi(Xi cDX＝E(X如果隨量X的方差DX存在，則對任意ε＞0，P{|XEX|DX，或P{|XEX|1DX 【評注】由切不等式知，當(dāng)DX愈小時，概率P{X－EX＜ε}愈大．這表明方差是刻畫隨量與其期望值偏離的程度，是描述隨量X“分散程度”特征的指標(biāo)．設(shè)X，Y為隨量，g(X，Y)為X，Y的函數(shù)，如果(X，Y)為離散型的，其聯(lián)合分pij＝P(X＝xi，Y＝y(tǒng)j)，若級數(shù)g(xiyjpiji,EgX,Y)g(xi,yjpij．如果(X，Yf(x，yi,g(xyf(xy)dxdyEg(X,Y)g(x,y)f(x,y)dxdy定義如果隨量X與Y的方差DX＞0，DY＞0存在，則稱E(X－EX)(Y－EY)為隨量X與Y的協(xié)方差并記為cov(X，Y)，即cov(X，Y)YX稱

cov(X,Y

為隨量X與Y的相關(guān)系數(shù)如果

＝0≠0XY

【評注】相關(guān)系數(shù)ρXY是描述隨量X與Y之間線性相依性，｜ρXY｜的大小是刻畫X與Y之間線性相關(guān)程度的一種度量．ρXY＝0表示X與Y之間不存性關(guān)系，故稱XYXY之間不存在相依關(guān)系，它們之間還可能存在某種非線性1°對稱性cov(X，Y)＝cov(Y，X)，ρXY＝ρYX， 2°線性性cov(X，c)＝0，cov(aX＋b，Y)＝acov(X，Y) cov(aiXi,Y)aicov(Xi,Y D(aX)

2a

cov(X,

X1，X2?

Xn兩

i D(aX)a2X i

3°

DY,a ,

a，bP{Y＝aX＋b}＝1

4°如果Y＝aX＋b，則

aa如果X與Y相關(guān)系數(shù)為ρ，ξ＝aX＋b，η＝cY＋d(ac≠0)，則ξ與η ac |ac求數(shù)字34

14

【例2】已知二維隨量(X,Y)的聯(lián)合概率分布YX-0101求Cov(X2,Y20.90.4 XY N(0,1)，YX2，討論X，Y的獨立性與相關(guān)性，并說明理由計數(shù)變量的引入與應(yīng)【例1】某一 大巴載有20位乘客從機場開出，有10個車站可下車，假設(shè)每位乘客在各站下車是等可能的，且相互獨立，如到達一站沒有乘客下車就不停車，以X表示停車次數(shù)，求EX.的和地址發(fā)出，以Sn表示n個考生中收到自己書的人數(shù)，求E(Sn)和D(Sn).數(shù)字特 U[10,30].當(dāng)商店進貨改為[10,30]中的某一整數(shù)時，切不等式及其使設(shè) 量X，E(X),D(X)2都存在，則對任意0均) ) 量X，Y，EXEY2，DX1，DY4，XY0.5.由 等式知P(XY6) 全概思想在求期望中的應(yīng)第五講大數(shù)定律與中心極限定定義設(shè)X與X1，X2，?一列隨量，如果對任意 limP{|XnX|ε}0或limP{|XnX|ε}1，則稱隨量序列{Xn，n≥1} n概率收斂于隨量X，記為limn

Xp

X(nf(x)nn(1n2x2【例】設(shè)隨量序列X，X，，f(x)nn(1n2x2 Xn大數(shù)定D(Xk)(k≥1CD(Xk)≤C，ninii

1nEXni1

ii A發(fā)生的概率為p(0＜p＜1)，則nn

pε＞0limP{|np|ε}

n1【定理5.3】(辛欽大數(shù)定律)假設(shè){Xn，n≥1}是獨立同分布的隨量序列，如果n1

1Xε＞0，有l(wèi)im

Xi|ε}inii

n【例】設(shè)總體X2，X1?

XnX.當(dāng)n1 nYn XiP n中心極限定EXn＝μ，DXn＝σ2＞0(n≥1)存在，則{Xn，n≥1}服從中心極限定理，即對任意的實數(shù)有nnXi x}

1

1e2dt 【定理5.5】(棣莫弗——拉斯中心極限定理，即二項分布以正態(tài)分布為其極限分布定理)假設(shè)隨量Yn～B(n，p)，(0＜p＜1，n≥1)，則對任意實數(shù)x，有YnYnnpnp(1p)

x}

xex/2dt11X1?

Xn，為獨立同分布的隨量序列，且均服從參數(shù)為（1）的數(shù)分布.記(x為標(biāo)準正態(tài)分布函數(shù)，則（nnXilimP( x)(x

nnXilimP( x)(xnnXinlimP( x)(x)n

nnXilimP( x)(x第六理統(tǒng)統(tǒng)計量及其分總體與樣總體研究對象的全體稱為總體，組成總體的每一個元素稱為．在對總體進行統(tǒng)計X可能取值的全體所組成的集合等同起來，或直接將總體與隨量X等同起來，說“總體X．所謂總體的分布就是指隨量X的樣本(簡單隨機樣本)n個相互獨立且與總體X具有相同慨率分布的隨量X2，，(X1?(x1x2?

xn)，稱為樣本(X1?

Xn)的一個觀樣本值)．樣本(X1，，Xn)所有可能取值的全體稱為樣本空間(或子樣空間)，樣本空間是RnRn)．設(shè)(X1?

XnX的樣本，g(x1?

數(shù)，則稱g(X1，，Xn)為樣本(X1，，X n)的一個統(tǒng)計量．若(x1，，xn)為樣本值，稱g(x1，?x n)為g(X1，?

Xn)的觀測值1n1、樣本均值X Xinn1 2 n111nn(XXi

(XiXnin

[Xi

nX32典型模式若隨量X1，X2，，Xn相互獨立，且都服從標(biāo)準正態(tài)分布，則隨nXX2n2x～2(n)X2~2(1n P{22(n)

f(x)dxxx22(n2(nα6—2α，n2(n)分布α分位點可通過查表求得．ααμα意指：μα上側(cè)(即右側(cè))，該分布密度曲線下方，X軸上方圖形面αα分位點．2 1°與正態(tài)分布相同，2～2(n1)，～2(n (ni)(i＝12? mmm相互獨立，則

~~(ni2X～2(n4、t典型模式設(shè)隨量X～N(0，1)，Y～2(n)，X與Y相互獨立，則隨Y/tY/

nttt1－α(n)＝－tα(n6－3αα[[[[5、F X～2(n)，Y～2(nXYFX Y/自由度．Ff(x6—4所示．F1F1°F～F(n，nF

~F(n,n2°

(n,n) F F

(n2,n1X1X2?

XnN(,2XS2

Xnn(Xnn(X)X~N n

~N (2)2(Xi)~

(n1)S

n(Xn(Xn

Xi

)2~

(n1；(μ未知，在(2XX

S

~t(n1(σ未知，在(1S)n(X

~F(1,n,Xn1 N(,2)，總體 N(,2)，X,X,Xn1

和Y,Y 分2 2 (XYE

X)2 j n1n2

Y) 【例2】設(shè)X，Y獨立，且均服從正態(tài)分布N(0,32)，X,X ,X

Y，則U

服 X1 XX1 X9Y21Y9N(,2,216x20(cmS1(cm0.90求統(tǒng)計量的數(shù)字 N(,2)，X,X ,X獨立同分布于X（n1均值為X. XP(XX

a)

b，則比值（b（A）與，n都有 （B）與，n都無（C）與無關(guān)，與n有 （D）與有關(guān)，與n無n n 【例2】設(shè)X1,X2 ,Xn 2)獨立同分布于N(0,1)，記 Xi， X （Ⅱ）（Ⅲ）點估計及評選標(biāo)估計量、估計值與點估)(X1X2，XnXT(X1,，Xnθ的估計，則T(X1,，Xnθ的估計量，通常記為??X1,Xn).(x1，x2，，(x1，，θθ的點估計問題．Xkθ1，θ2?θk，(X1，X2，本，如果X的原點矩EXl(l≥k)存在，即EXl xlf(x,;

XnX)dx [[[[EXlxlP{Xx;,,}存在．令樣本矩＝ i1 n即Xin

(i1,2,,k)θ1? ,

則?為θl的矩估計量，?(x1，，x n)為θl的矩估計值 【評注】EXl1 n及解矩法方程n

θ矩估計量lXEX＝λλ的矩估計量

X11 1

X)2DX1 1 n的另一個矩估計量2 (XiX)n1 n①樣本原點矩XiEXniE1XkEXk1XkEXk(nini

1

iln②樣本矩Al Xi的連續(xù)函數(shù)是相應(yīng)總體矩αl＝EX連續(xù)函數(shù)的一致性估計，但nPEg(A1,，g(α1，(1)x 0x f(x,)

，求(x1?(x1，?x

xn)”的概率最大的參數(shù)值?θ的估計，這樣選定的(X1,?(X1,?(x1，?x n)的概率 P{X1x1,,Xnxn}P{Xixi}P(xi, nnL()L(x1,,xn;)P(x1;(x1，?x n)的似然函數(shù)．若? L(x1,,xn;?)maxL(x1,,xn;H則稱??(x1,xnθ?(X1,XnnnL()L(x1,xn;)f(xi,

然估計值，相應(yīng)的統(tǒng)計量?X1,Xnθ L(x1,,xn;1,,k)P(xi;1,,k)或f(xi;1,,k p(x；θ1，，f(x；θ1，?θ k)關(guān)于θi可微，則 ln

0

0(i1,kL(θlnxx

最大似然估計量??X,

p(x；θ1?

θkf(x；θ1?

θk)不可微，或似然方程無解，則應(yīng)由定其他方法求得?i，例L(θ)為θ單調(diào)增(或減)函數(shù)時，?θ取值上限【評注】θ的最大似然估計量必須知道總體的概率分布或密