上海市崇明區(qū)2021屆第一次高考模擬考試數(shù)學(xué)試卷 時(shí)間：120分鐘；總分值：150分一.填空題〔本大題共12題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分〕1.設(shè)集合，集合，那么2.不等式的解集是3.復(fù)數(shù)滿足〔是虛數(shù)單位〕，那么4.設(shè)函數(shù)的反函數(shù)為，那么5.點(diǎn)到直線的距離是6.計(jì)算：7.假設(shè)關(guān)于、的方程組無(wú)解，那么實(shí)數(shù)8.用數(shù)字0、1、2、3、4、5組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為〔結(jié)果用數(shù)值表示〕9.假設(shè)的二項(xiàng)展開(kāi)式中有一項(xiàng)為，那么10.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與雙曲線〔，〕的兩條漸近線分別交于、兩點(diǎn)，假設(shè)△的面積為1，那么雙曲線的焦距的最小值為11.函數(shù)，對(duì)任意，都有〔為常數(shù)〕，且當(dāng)時(shí)，，那么12.點(diǎn)為圓的弦的中點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，那么的最大值為二.選擇題〔本大題共4題，每題5分，共20分〕13.假設(shè)，那么以下不等式恒成立的是〔〕A.B.C.D.14.正方體上點(diǎn)、、、是其所在棱的中點(diǎn)，那么直線與異面的圖形是〔〕A.B.C.D.15.設(shè)為等比數(shù)列，那么“對(duì)于任意的，〞是“為遞增數(shù)列〞的〔〕A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件16.設(shè)函數(shù)的定義域是，對(duì)于以下四個(gè)命題：〔1〕假設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)，那么函數(shù)是奇函數(shù)；〔2〕假設(shè)函數(shù)是周期函數(shù)，那么函數(shù)是周期函數(shù)；〔3〕假設(shè)函數(shù)是單調(diào)減函數(shù)，那么函數(shù)是單調(diào)減函數(shù)；〔4〕假設(shè)函數(shù)存在反函數(shù)，且函數(shù)有零點(diǎn)，那么函數(shù)也有零點(diǎn)；其中正確的命題共有〔〕A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)三.解答題〔本大題共5題，共14+14+14+16+18=76分〕17.如圖，平面，，直線與平面所成的角為30°，且.〔1〕求三棱錐的體積；〔2〕設(shè)為的中點(diǎn)，求異面直線與所成角的大小.〔結(jié)果用反三角函數(shù)值表示〕18.函數(shù).〔1〕求函數(shù)的最小正周期；〔2〕在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，假設(shè)銳角滿足，，，求的面積.19.研究說(shuō)明：在一節(jié)40分鐘的網(wǎng)課中，學(xué)生的注意力指數(shù)與聽(tīng)課時(shí)間〔單位：分鐘〕之間的變化曲線如下圖，當(dāng)時(shí)，曲線是二次函數(shù)圖像的一局部；當(dāng)時(shí)，曲線是函數(shù)圖像的一局部，當(dāng)學(xué)生的注意力指數(shù)不高于68時(shí)，稱學(xué)生處于“欠佳聽(tīng)課狀態(tài)〞.〔1〕求函數(shù)的解析式；〔2〕在一節(jié)40分鐘的網(wǎng)課中，學(xué)生處于“欠佳聽(tīng)課狀態(tài)〞的時(shí)間有多長(zhǎng)？〔精確到1分鐘〕20.橢圓的左右頂點(diǎn)分別為、，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，直線與橢圓的另一交點(diǎn)為，直線與橢圓的另一交點(diǎn)為.〔1〕假設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；〔2〕假設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，求以為直徑的圓的方程；〔3〕求證：直線過(guò)定點(diǎn).21.對(duì)于數(shù)列，假設(shè)從第二項(xiàng)起的每一項(xiàng)均大于該項(xiàng)之前的所有項(xiàng)的和，那么稱為數(shù)列.〔1〕假設(shè)數(shù)列1，2，，8是數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍；〔2〕設(shè)數(shù)列，，，，是首項(xiàng)為、公差為的等差數(shù)列，假設(shè)該數(shù)列是數(shù)列，求的取值范圍；〔3〕設(shè)無(wú)窮數(shù)列是首項(xiàng)為、公比為的等比數(shù)列，有窮數(shù)列、是從中取出局部項(xiàng)按原來(lái)的順序所組成的不同數(shù)列，起所有項(xiàng)和分別記為、，求證：當(dāng)且時(shí)，數(shù)列不是數(shù)列.上海市崇明區(qū)2021屆第一次高考模擬考試數(shù)學(xué)試卷(教師解析版〕一.填空題〔本大題共12題，1-6每題4分，7-12每題5分，共54分〕1.設(shè)集合，集合，那么【答案】2.不等式的解集是【答案】3.復(fù)數(shù)滿足〔是虛數(shù)單位〕，那么【解析】因?yàn)?，所以，所?4.設(shè)函數(shù)的反函數(shù)為，那么【解析】在中，令，得，所以.5.點(diǎn)到直線的距離是【解析】由點(diǎn)到直線的距離公式得.6.計(jì)算：【解析】.7.假設(shè)關(guān)于、的方程組無(wú)解，那么實(shí)數(shù)【解析】由題意得，所以，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意，所以.8.用數(shù)字0、1、2、3、4、5組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為〔結(jié)果用數(shù)值表示〕【解析】先挑個(gè)位，有種；再挑百位，有種；最后挑十位，有種；故奇數(shù)的個(gè)數(shù)為個(gè).9.假設(shè)的二項(xiàng)展開(kāi)式中有一項(xiàng)為，那么【解析】展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，解得，所以.10.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與雙曲線〔，〕的兩條漸近線分別交于、兩點(diǎn)，假設(shè)△的面積為1，那么雙曲線的焦距的最小值為【解析】雙曲線的漸近線為，所以，因?yàn)榈拿娣e為1，所以，即，因?yàn)椋?，即雙曲線的焦距的最小值為.11.函數(shù)，對(duì)任意，都有〔為常數(shù)〕，且當(dāng)時(shí)，，那么【解析】因?yàn)閷?duì)任意，都有為常數(shù)，所以，從而，即的周期為4，所以.12.點(diǎn)為圓的弦的中點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，那么的最大值為【解析】設(shè)，那么，因?yàn)?，所以，整理得，即為點(diǎn)的軌跡方程，所以，故的最大值為2.二.選擇題〔本大題共4題，每題5分，共20分〕13.假設(shè)，那么以下不等式恒成立的是〔D〕A.B.C.D.14.正方體上點(diǎn)、、、是其所在棱的中點(diǎn)，那么直線與異面的圖形是〔B〕A.B.C.D.、15.設(shè)為等比數(shù)列，那么“對(duì)于任意的，〞是“為遞增數(shù)列〞的〔C〕A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】對(duì)任意的，必有，即，所以為遞增數(shù)列；反之，假設(shè)為遞增數(shù)列，那么，故為充要條件，應(yīng)選C.16.設(shè)函數(shù)的定義域是，對(duì)于以下四個(gè)命題：〔1〕假設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)，那么函數(shù)是奇函數(shù)；〔2〕假設(shè)函數(shù)是周期函數(shù)，那么函數(shù)是周期函數(shù)；〔3〕假設(shè)函數(shù)是單調(diào)減函數(shù)，那么函數(shù)是單調(diào)減函數(shù)；〔4〕假設(shè)函數(shù)存在反函數(shù)，且函數(shù)有零點(diǎn)，那么函數(shù)也有零點(diǎn)；其中正確的命題共有〔B〕A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)【解析】①假設(shè)是奇函數(shù)，那么，也是奇函數(shù)，正確；②假設(shè)是周期函數(shù)，那么，也是周期函數(shù)，正確；③假設(shè)是單調(diào)遞減函數(shù)，那么根據(jù)復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，是單調(diào)遞增函數(shù)，不正確；④函數(shù)、反函數(shù)的圖像與直線可以沒(méi)有交點(diǎn)，可以只有唯一交點(diǎn)，也可以有假設(shè)干個(gè)、甚至無(wú)窮多個(gè)公共點(diǎn)；函數(shù)與反函數(shù)的圖像在直線之外也可能有交點(diǎn)，函數(shù)與其反函數(shù)確實(shí)有三個(gè)交點(diǎn)，分別是：,其中只有一個(gè)交點(diǎn)是在直線上.這里是個(gè)近似數(shù)，它的準(zhǔn)確值是個(gè)超越數(shù)，即無(wú)法用有理數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示的無(wú)理數(shù)，不正確；應(yīng)選D.三.解答題〔本大題共5題，共14+14+14+16+18=76分〕17.如圖，平面，，直線與平面所成的角為30°，且.〔1〕求三棱錐的體積；〔2〕設(shè)為的中點(diǎn)，求異面直線與所成角的大小.〔結(jié)果用反三角函數(shù)值表示〕【解析】〔1〕因?yàn)槠矫妫跃褪桥c平面所成的角，即，所以，所以；〔2〕取中點(diǎn)，連結(jié)，那么，所以就是異面直線與所成的角〔或其補(bǔ)角〕，在中，，所以，即，所以異面直線與所成的角為.18.函數(shù).〔1〕求函數(shù)的最小正周期；〔2〕在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，假設(shè)銳角滿足，，，求的面積.【解析】〔1〕，所以最小正周期；〔2〕因?yàn)?，所以，又為銳角，所以，所以，所以，又，由正弦定理得，解得，而，所以的面積.19.研究說(shuō)明：在一節(jié)40分鐘的網(wǎng)課中，學(xué)生的注意力指數(shù)與聽(tīng)課時(shí)間〔單位：分鐘〕之間的變化曲線如下圖，當(dāng)時(shí)，曲線是二次函數(shù)圖像的一局部；當(dāng)時(shí)，曲線是函數(shù)圖像的一局部，當(dāng)學(xué)生的注意力指數(shù)不高于68時(shí)，稱學(xué)生處于“欠佳聽(tīng)課狀態(tài)〞.〔1〕求函數(shù)的解析式；〔2〕在一節(jié)40分鐘的網(wǎng)課中，學(xué)生處于“欠佳聽(tīng)課狀態(tài)〞的時(shí)間有多長(zhǎng)？〔精確到1分鐘〕【解析】〔1〕當(dāng)時(shí)，設(shè)，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)時(shí)，，由，解得，所以，綜上，；〔2〕當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)時(shí)，令，得，所以，所以學(xué)生處于“欠佳聽(tīng)課狀態(tài)〞的時(shí)間長(zhǎng)為分鐘.20.橢圓的左右頂點(diǎn)分別為、，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，直線與橢圓的另一交點(diǎn)為，直線與橢圓的另一交點(diǎn)為.〔1〕假設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；〔2〕假設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，求以為直徑的圓的方程；〔3〕求證：直線過(guò)定點(diǎn).【解析】〔1〕因?yàn)?，所以直線的方程為，令，得，所以；〔2〕因?yàn)?，所以直線的方程為，由得，所以，所以以為直徑的圓的方程為，即；〔3〕設(shè)，因?yàn)?，直線的方程為，由得，由韋達(dá)定理得，所以，所以，同理，直線的方程為，由得 ，由韋達(dá)定理得，所以，所以，由橢圓的對(duì)稱性知這樣的定點(diǎn)在軸上，設(shè)為，那么三點(diǎn)共線，所以共線，所以恒成立，整理得恒成立，所以，故直線過(guò)定點(diǎn).21.對(duì)于數(shù)列，假設(shè)從第二項(xiàng)起的每一項(xiàng)均大于該項(xiàng)之前的所有項(xiàng)的和，那么稱為數(shù)列.〔1〕假設(shè)數(shù)列1，2，，8是數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍；〔2〕設(shè)數(shù)列，，，，是首項(xiàng)為、公差為的等差數(shù)列，假設(shè)該數(shù)列是數(shù)列，求的取值范圍；〔3〕設(shè)無(wú)窮數(shù)列是首項(xiàng)為、公比為的等比數(shù)列，有窮數(shù)列、是從中取出局部項(xiàng)按原來(lái)的順序所組成的不同數(shù)列，起所有項(xiàng)和分別記為、，求證：當(dāng)且時(shí)，數(shù)列不是數(shù)列.【解析】〔1〕由題意得，所以；〔2〕由題意得，該數(shù)列的前項(xiàng)和為，由數(shù)列是數(shù)列，得，故公差，對(duì)滿足的所有都成立