與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的探究題【典例1】如圖1,在△MC中，NA=900,A5=AC="力+1,點(diǎn)D,E分別在邊AB,AC上，且AD=AE=1,連接DE.現(xiàn)將^ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a（0。<a<360。）如圖2,連接CE,BD,CD.,(1)當(dāng)00<a<180。時(shí)，求證：CE=BD；(2)如圖3,當(dāng)a=90。時(shí)，延長(zhǎng)CE交BD于點(diǎn)F，求證：CF垂直平分BD；(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，求*CD的面積的最大值，并寫出此時(shí)旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù).【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)aBCD的面積的最大值為3"；+5，旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)為135。【解析】【分析】(1)利用“SAS”證得4ACE=AABD即可得到結(jié)論；(2)利用“SAS”證得4ACE=AABD,推出NACE=NABD,計(jì)算得出AD=BC二%.;2+2，利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)即可得到結(jié)論；(3)觀察圖形，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的垂直平分線上時(shí)，aBCD的面積取得最大值，利用等

腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形面積公式即可求解.【詳解】(1)根據(jù)題意:AB=AC,AD=AE,NCAB=NEAD=90。,/ZCAE+ZBAE=NBAD+NBAE=90。,???NCAE=NBAD,在4ACE和AABD中,AC=AB

/CAE=/BAD,

AE=AD.二△ACE=AABD(SAS),.*.CE=BD；(2)根據(jù)題意：AB=AC,AD=AE,ZCAB=ZEAD=90°在AACE和AABD中,\^CAE=ZBAD,AE=AD.二△ACE=AABD(SAS),.*.ZACE=ZABD,VZACE+ZAEC=90o,且NAEC=/FEB,.*.ZABD+ZFEB=90o,.,.ZEFB=90°,.*.CF±BD,?二AB二AC二V2+1,AD=AE=1,ZCAB=ZEAD=90°ABC=&AB=近+2,CD=AC+AD=垃+2,ABC=CD,VCFXBD,???CF是線段BD的垂直平分線；(3)&BCD中，邊BC的長(zhǎng)是定值，則BC邊上的高取最大值時(shí)*CD的面積有最大值，???當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的垂直平分線上時(shí)，*CD的面積取得最大值，如圖：?「.?AB=AC=J2+1,AD=AE=1,ZCAB=ZEAD=90°,DGLBC于G,1 V2+2???AG=-BC= ，NGAB=45。，22<2+2, 22+4 °cc???DG=AG+AD= +1= ,NDAB=1800-450=135022???^BCD的面積的最大值為:G+20+4)342+5-BC-DG=12222)旋轉(zhuǎn)角a=135?！镜淅?】如圖，在Rt^ABC中，NACB=90°,NA=30°,點(diǎn)O為AB中點(diǎn)，點(diǎn)P為直線BC上的動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B、點(diǎn)C重合)，連接OC、OP,將線段OP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到線段PQ,連接BQ.(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段BQ與CP的數(shù)量關(guān)系;⑵如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在CB延長(zhǎng)線上時(shí)，(1)中結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)加以證明；若不成立，請(qǐng)說明理由;⑶如圖③，當(dāng)點(diǎn)P在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，若NBPO=45°,AC=也，請(qǐng)直接寫出BQ的長(zhǎng).圖①【答案】解：(1)CP=BQ;【解法提示】如解圖①，連接OQ,P

cfi①由旋轉(zhuǎn)可知，PQ=OP,NOPQ=60??.△POQ是等邊三角形，.,.OP=OQ,ZP0Q=60°,在Rt^ABC中，。是AB中點(diǎn)，.,.OC=OA=OB,,-.ZB0C=2ZA=60°=ZP0Q,.,.ZC0P=ZB0Q,fOC=OB在△COP和ABOQ中，＜NC0P=NB0Q,、OP=OQ.,.ACOP^ABOQ(SAS),.,.CP=BQ；(2)成立，理由如下：如解圖②，連接0Q,由旋轉(zhuǎn)知PQ=OP,NOPQ=60°,?.△POQ是等邊三角形，?.OP=OQ,NPOQ=60°,??在Rt^ABC中，O是AB中點(diǎn)，.?.OC=OA=OB,.\ZBOC=2ZA=60°=ZPOQ,AZCOP=ZBOQ,fOC=OB在4COP和4BOQ中，1ZCOP=ZBOQ,、OP=OQ???△COP"BOQ(SAS),??,CP=BQ；(3)BQ=\'6-\.'2

‘2’【解法提示】在Rt^ABC中，ZA=30°,AC=\,'6,.*.BC=AC?tanA=^2,如解圖③，過點(diǎn)。作OH^BC于點(diǎn)H,B③??.NOHB=90°=NBCA,???OH〃AC,???O是AB中點(diǎn)，??.ch=2bc=,,oh=2ac=,,VZBPO=45°,ZOHP=90°,??.NBPO=NPOH,???PH=OH=理，乙.?.CP=PH—CH=*—卓=%讓,乙 乙 乙連接OQ,同⑴的方法得，BQ=CP='M—、’2乙【典例3】在RtAABC中，ZBAC=90°,ZB=30°,線段AD是BC邊上的中線，如圖1,將4ADC沿直線BC平移,使點(diǎn)D與點(diǎn)C重合,得到^FCE,如圖2,再將4FCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn),設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a（0°<aW90°），連接AF,DE.⑴在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)NACE=150°時(shí),求旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)；⑵探究旋轉(zhuǎn)過程中四邊形ADEF能形成哪些特殊四邊形？請(qǐng)說明理由.【解析】（1）由題意分析可知此問需分兩種情況討論：①點(diǎn)E和點(diǎn)D在直線AC兩側(cè)；②點(diǎn)E和點(diǎn)D在直線AC同側(cè)；（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，總是存在AC=CE,DC=CE.由圖形的對(duì)稱性可知,將會(huì)出現(xiàn)兩種對(duì)角線相等的特殊四邊形：等腰梯形和矩形.抓住平移和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),較易證明.【答案】：（1）在圖1中，?.?/BAC=90°，/B=30°,AZACE=ZBAC+ZB=120°.如圖2,當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)D在直線AC兩側(cè)時(shí)，由于NACE=150°,；.a=150°-120°=30°.當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)0在直線AC同側(cè)時(shí)，由于NACB=180°-ZBAC-ZB=60°,AZDCE=ZACE-ZACB=150-60°=90°.??a=180°-NDCE=90°.?,.旋轉(zhuǎn)角a為30°或90°;⑵四邊形ADEF能形成等腰梯形和矩形.VZBAC=90°,ZB=30°,.AC=1BC.2又二飛0是BC邊上的中線，..AD二DC=1BC=AC..4ADC為正三角形.2①當(dāng)a=60°時(shí)，如圖3,NACE=120°+60°=180°.?「CA=CE=CD=CF,???四邊形ADEF為矩形.②當(dāng)aW60°時(shí)，NACFW120°，/DCE=360°-60°-60°-NACFW

120°.顯然DEWAF.^AC;CF,CD=CE,

..2ZFAC+ZACF=2ZCDE+ZDCE=180°.VZACF+ZDCE=360°-60°-60°=240°,.\ZFAC+ZCDE=60°.AZDAF+ZADE=120°+60°=180°..AF〃DE.又?「DEWAF,AD=EF,??.四邊形ADEF為等腰梯形.【典例4】已知正方形ABCD中，E為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，過E點(diǎn)作EFLBD交BC于F,連接DF,G為DF中點(diǎn)，連接EG,CG.(1)直接寫出線段EG與CG的數(shù)量關(guān)系；(2)將圖1中4BEF繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,如圖2所示，取DF中點(diǎn)G,連接EG,CG.你在(1)中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明.(3)將圖1中4BEF繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖3所示，再連接相應(yīng)的線段，問(1)中的結(jié)論是否仍然成立？(不要求證明)圖1圖2圖3【答案】解：(1)CG=EG(1)中結(jié)論沒有發(fā)生變化，即EG二CG.證明：連接AG,過G點(diǎn)作MNLAD于M,與EF的延長(zhǎng)線交于N點(diǎn).在4DAG與4DCG中，AD=CD,ZADG=ZCDG,DG=DG,??△DAG^^DCG.??AG-CG.在4DMG與4FNG中，??ZDGM=ZFGN,FG=DG,ZMDG=ZNFG,??△DMG^AFNG.??MG=NG在矩形AENM中，AM=EN.在Rt^AMG與Rt^ENG中，??AM=EN,MG=NG,??△AMG^AENG.??AG=EG.??EG=CG.(1)中的結(jié)論仍然成立.【典例5】如圖1,已知NABC=90°,△ABE是等邊三角形，點(diǎn)P為射線BC上任意一點(diǎn)(點(diǎn)P與點(diǎn)B不重合)，連結(jié)AP,將線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AQ,連結(jié)QE并延長(zhǎng)交射線BC于點(diǎn)F.(1)如圖2,當(dāng)BP二BA時(shí)，NEBF二 。，猜想NQFC二 °；(2)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P為射線BC上任意一點(diǎn)時(shí)，猜想NQFC的度數(shù)，并加以證明;(3)已知線段AB：2%'3，設(shè)BP=％，點(diǎn)Q到射線BC的距離為y,求y關(guān)于％的函數(shù)關(guān)系式.【答案】解：（1）/EBF=30/QFC60°⑵/QFC=60°不妨設(shè)BP>七3AB,如圖1所示 VZBAP=ZBAE+ZEAP=60°+ZEAPZEAQ=ZQAP+ZEAP=60°+ZEAP.\ZBAP=ZEAQ在^ABP和^AEQ中AB=AE,ZBAP=ZEAQ,AP=AQAAABP^AAEQ(SAS).\ZAEQ=ZABP=90°^...NBEF=18°°—/AEQ—/AEB=180。—90°—60°=30°.../QFC=/EBF+/BEF=30°+30°=60。（事實(shí)上當(dāng)BPW"3AB時(shí)，如圖2情形，不失一般性結(jié)論仍然成立，不分類討論不扣分）⑶在圖1中，過點(diǎn)F作FGLBE