2019-2020年高二數(shù)學(xué)第六章不等式：6.2算術(shù)平均數(shù)與幾

何平均數(shù)優(yōu)秀教案教學(xué)目的：1學(xué)會(huì)推導(dǎo)并掌握兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)這個(gè)重要定理2理解這個(gè)定理的幾何意義，并掌握定理中的不等號(hào)“>”取等號(hào)的條件是：當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)數(shù)相等3．通過(guò)掌握公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，運(yùn)用公式的適當(dāng)變形，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神，進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生的實(shí)踐能力教學(xué)重點(diǎn)：均值定理證明教學(xué)難點(diǎn)：等號(hào)成立條件授課類型：新授課課時(shí)安排：1課時(shí)教具：多媒體、實(shí)物投影儀教學(xué)過(guò)程：一、復(fù)習(xí)引入：1．同向不等式：兩個(gè)不等號(hào)方向相同的不等式，例如：a>b,c>d,是同向不等式異向不等式：兩個(gè)不等號(hào)方向相反的不等式例如：a>b,c<d,是異向不等式2.不等式的性質(zhì)：定理1：如果a>b,那么b<a,如果b<a,那么a>b.（對(duì)稱性）即：a>bb<a;b<aa>b定理2:如果@>>且b>c,那么a>c.（傳遞性）即a>b,b>ca>c定理3:如果a>b,那么a+c>b+c.即a>ba+c>b+c推論：如果@也且c>d,那么a+c>b+d.（相加法則）即a>b,c>da+c>b+d.定理4：如果@>>且c>0,那么ac>bc;如果@>>且c<0,那么ac<bc.推論1如果a>b>0,且c>d>0,那么ac>bd.（相乘法則）推論2若a>b>0,則an>bn（neN且n>1）定理5若a>b>0,則n-a>nb（neN且n>1）二、講解新課：.重要不等式：如果a,beR,那么a2+b2>2。匕（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取"="號(hào)）證明：當(dāng)a豐b時(shí),（a—b）2>0,當(dāng)a=b時(shí),（a—b）2=0,所以，，即由上面的結(jié)論，我們又可得到．定理：如果a,b是正數(shù)，那么"b>Oab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取"="號(hào)）.2證明：???，即顯然，當(dāng)且僅當(dāng)說(shuō)明：i）我們稱的算術(shù)平均數(shù)，稱的幾何平均數(shù)，因

而，此定理又可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)11）a2+b2>2ab和"b>標(biāo)成立的條件是不同的2者只要求a,b都是實(shí)數(shù)，而后者要求a,b都是正數(shù)A出）“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義是充要條件3.均值定理的幾何意義是“半徑不小于半弦”以長(zhǎng)為a+b的線段為直徑作圓，在直徑AB上取點(diǎn)C,

使AC=a,CB=b過(guò)點(diǎn)C作垂直于直徑AB的弦DD'，那么，即這個(gè)圓的半徑為，顯然，它不小于C，即，其中當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)c與圓心重合；即a=b時(shí)，等號(hào)成立4．關(guān)于“平均數(shù)”的概念如果a,a，…，aeR+,n〉1且neN+貝U：叫做這n個(gè)正數(shù)的12 n算術(shù)平均數(shù)；叫做這n個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)推廣：〉語(yǔ)言表述：n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)上述重要不等式有著廣泛的應(yīng)用，例如：證明不等式，求函數(shù)最值，判斷變量或數(shù)學(xué)式子的取值范圍等等它們涉及到的題目活，變形多，必須把握好湊形技巧今天，我們就來(lái)進(jìn)一步學(xué)習(xí)均值不等式的應(yīng)用三、講解范例：例1已知a,b,cGR,求證a2+b2+c2>ab+bc+ac證明：???，，以上三式相加：2(a2+b2+c2)>2(ab+bc+ac)?=a2+b2+c2>ab+bc+ac例2已知x,y都是正數(shù)，求證：(1)如果積“是定值上那么當(dāng)x=y時(shí)，和x+y有最小值(2)如果和x+y是定值S，那么當(dāng)戶y時(shí)，積沖有最大值證明：因?yàn)閤,y都是正數(shù)，所以(1)積xy為定值P時(shí)，有上式當(dāng)時(shí)，取“=”號(hào)，因此，當(dāng)時(shí)，和有最小值(2)和x+y為定值S時(shí)，有上式當(dāng)x=y時(shí)取“=”號(hào)，因此，當(dāng)x=y時(shí)，積xy有最大值說(shuō)明：此例題反映的是利用均值定理求最值的方法，但應(yīng)注意三個(gè)條件：：)函數(shù)式中各項(xiàng)必須都是正數(shù)；仃)函數(shù)式中含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須是常數(shù)；出)等號(hào)成立條件必須存在例3已知：(a+b)(x+y)>2(ay+bx)，求證：分析：本題結(jié)論中，注意互為倒數(shù)，它們的積為1，可利用公式a+b>2,但要注意條件a、b為正數(shù)故此題應(yīng)從已知條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)變形，說(shuō)明為正數(shù)開(kāi)始證題證明：???(〃+b)(x+y)>2(ay+bx).=ax+ay+bx+by>2ay+2bx...ax—ay+by—bx>0.\(ax-bx)—(ay—by)>0/.(a—b)(x—y)>0,即a—b與x—y同號(hào)???均為正數(shù)x—y,a—b-x—ya—b=2? + N21 ? -4a—bx—y aa—bx—y(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào))?>2點(diǎn)評(píng)：我們?cè)谶\(yùn)用重要不等式a2+b2>2ab時(shí)，只要求a、b為實(shí)數(shù)就可以了而運(yùn)用定理：“”時(shí)，必須使a、b滿足同為正數(shù)本題通過(guò)對(duì)已知條件變形(恰當(dāng)?shù)匾蚴椒纸?，從討論因式乘積的符號(hào)來(lái)判斷與是正還是負(fù)，是我們今后解題中常用的方法四、課堂練習(xí)：求證：比較大小&x+log10<-2(0<x<1)x若x>-1,則x為何值時(shí)，有最小值,最小值為幾？答案:當(dāng)x=0時(shí)，有最小值1思考:已知a,b,x,yCR+且x+y=1,求的最小值5已知〃、b、c都是正數(shù)，求證(。+b)(b+c)(c+〃)>8abc分析：對(duì)于此類題目，選擇定理：(a>0,b>0)靈活變形，可求得結(jié)果答案：???a,b,c都是正數(shù).\a+b>2>0;b+c>2>0;c+a>2>0.?.(a+b)(b+c)(c+a)>2?2?2=8abc即(a+b)(b+c)(c+a)>8abc6已知x、y都是正數(shù)，求證：(1)>2;(2)(x+y)(x2+y2)(X3+y3)>8x3y3分析：在運(yùn)用定理：時(shí)，注意條件a、b均為正數(shù)，結(jié)合不等式的性質(zhì)(把握好每條性質(zhì)成立的條件)，進(jìn)行變形答案：,.,x,y都是正數(shù)，..>0,>0,x2>0,y2>0,x3>0,y3>0(1)=2即>2(2)x+y>2>0;x2+y2>2>0;x3+y3>2>0.(x+y)(x2+y2)(x3+y3)>2?2?2=8x3y3即(x+y)(x2+y2)(x3+y3)>8x3y37求證：()2<分析：利用完全平方公式，結(jié)合重要不等式：〃2+b2>2ab，恰當(dāng)變形，是證明本題的關(guān)鍵答案：:a2+b2>2ab,2(a2+b2)>a2+b2+2ab=(a+b)2.\2(a2+b2)>(a+b)2不等式兩邊同除以4，得>()2,即()2<五、小結(jié)：本節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了重要不等式a2+b2>2ab;兩正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)()，幾何平均數(shù)()及它們的關(guān)系(>)它們成立的條件不同，前者只要求a、b都是實(shí)數(shù),而后者要求a、b都是正數(shù)它們既是不等式變形的基本工具，又是求函數(shù)最值的重要工具六、課后作業(yè)：⑴“a+b>2”是“aGR+,beR+”的(B)A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D即不充分也不必要條件⑵設(shè)b>a>0,且a+b=1,則此四個(gè)數(shù)，2ab,a2+b2,b中最大的是(A)Ab Ba2+b2 C2ab D⑶設(shè)a,b6旦且a*b,a+b=2,則必有(B)A1<ab<BabvlvCabvvlDvabv1(4)已知a,bCR+且a+b=4,則下列各式恒成立的是8)A B>1 C>2 D⑸若a>b>0,則下面不等式正確的是(C)ABCD(6)若a,b6R且a*b,在下列式子中，恒成立的個(gè)數(shù)為D)①a2+3ab>2b2②a5+b5>a3b2+a2b3③a2+b2>2(a—b-1)④>2A4 B3 C2 D1(7)設(shè)a,b,c是區(qū)間(0,1)內(nèi)的三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)且p=logc,q=,r=，則p,q,r的大小關(guān)系是(C)Ap>q>r Bpvqvr CrvPvq Dpvrvq(8)已知x>y>0,xy=1,求證：>2證明：<x>y>0,xy=1二X2+y2 (X—y)2+2盯/ 、 2——^=:__￡=(x—y)+——x—yx—y x—y>2=2，即>2(9)已知a>2,求證：loga(a-1)?loga(a+1)v1證明：:a>2.=loga(a—1)>0,loga(a+1)>0,loga(a—1)于log(a+1)aMoga(a—1)?loga(a+1)<[]2=[loga(a2—1))2<(logaa2)2=1即10ga(a—1)?loga(a+1)<1(10)已知a,bGR,證明：log2(2a+2b)>證明：???a,bGR?log2(2a+2b)>log2⑵=log2(2?2)=1+=，即log2(2a+2b)>(11)若a,b,cGR+,且a+b+c=1,求證：證明：:a,b,cGR+,且a+b+c=12=(a+b)+(b+c)+(c+a)二[(a+b)+(b+c)+(c+a)]?()>3?x3,=9卅1 1 1、9故 + + >-a+bb+cc+a2(12)已知方程ax2+bx+c=0有一根x1>0,求證：方程cx2+bx